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數(shù)學(xué)建模差分法范文第1篇

[關(guān)鍵詞]視頻監(jiān)控；智能視頻分析；運動目標(biāo)檢測；

[中圖分類號]TP391.4 [文獻標(biāo)識碼]A [文章編號]1672-5158（2013）06-0203-01

1 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展以及人們對安全防范意識的不斷增強，具有智能分析功能的新一代視頻監(jiān)控系統(tǒng)，已經(jīng)開始滲入到我們的日常生活當(dāng)中。

智能視頻監(jiān)控是指在不需要人為干預(yù)的情況下，利用計算機視覺分析方法對視頻序列進行自動分析，實現(xiàn)運動目標(biāo)檢測、分類、識別、跟蹤等，并在此基礎(chǔ)上，通過預(yù)先設(shè)定的規(guī)則對目標(biāo)的行為進行分析，從而為采取進一步措施提供參考（比如在對象進入設(shè)防區(qū)時自動報警）。其中，運動檢測的目的是通過對監(jiān)控視頻圖像序列的分析，確定監(jiān)控場景中有無運動目標(biāo)，進而把運動區(qū)域（也稱前景區(qū)域）從檢測圖像中提取出來。在智能視頻監(jiān)控中扮演著重要的角色，是后續(xù)目標(biāo)跟蹤和運動分析的基礎(chǔ)。

2 運動目標(biāo)檢測算法發(fā)展?fàn)顩r

國外對運動目標(biāo)檢測的理論及應(yīng)用的研究較早，尤其在1996年至1999年間美國國防高級研究項目署的視頻監(jiān)控重大項目VSAM（Videosurveillance and Monitoring）。主要目標(biāo)是通過視頻理解、傳感器融合、網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)實現(xiàn)對未來戰(zhàn)場、城市、機場等進行自動監(jiān)控。

在國內(nèi)，中國科學(xué)院自動化研究所里的生物識別與安全技術(shù)研究中心CBSR（Center for Biometrics and Security Research）研究開發(fā)有行人與車輛的多目標(biāo)檢測、跟蹤以及分類、目標(biāo)異常行為的識別與報警等智能分析技術(shù)，并實現(xiàn)一個動態(tài)場景集成、分析和演示系統(tǒng)，并最終推向?qū)嵱谩?/p>

3 現(xiàn)有的運動目標(biāo)檢測算法

根據(jù)序列圖像的背景情況，運動目標(biāo)檢測算法可以分為靜態(tài)背景下運動目標(biāo)檢測算法和動態(tài)背景下運動目標(biāo)檢測算法。靜態(tài)背景是指攝像機在整個監(jiān)視過程是靜止的，而動態(tài)背景是指在監(jiān)視過程中攝像機發(fā)生了移動，如平動、旋轉(zhuǎn)或多自由度運動。動態(tài)背景下的運動目標(biāo)檢測由于目標(biāo)與攝像機之間存在著復(fù)雜的相對運動，所以檢測算法要比靜態(tài)背景下的檢測算法復(fù)雜的多。目前，—般的視頻監(jiān)控系統(tǒng)都是采用固定攝像頭的方式，因此這里主要是研究靜態(tài)背景下的運動目標(biāo)檢測算法。

運動目標(biāo)檢測方法主要有以下幾種：幀間差分法、背景差分法、光流法以及混合高斯模型法。這些方法基于的原理不同，且各有優(yōu)劣，以下詳細(xì)介紹這幾種方法。

3.1 幀間差分法

幀間差分法是一種基于像素的運動檢測方法，它通過對視頻圖像序列中相鄰兩幀或相鄰幾幀圖像進行差分運算來獲得運動物體輪廓。

該法是運動目標(biāo)檢測方法最簡單的一種，具有較低的時間復(fù)雜度以及運算簡單等特點，可用于實時檢測的系統(tǒng)。但是，這種算法存在一些局限性：（1）檢測的運動目標(biāo)區(qū)域大小與目標(biāo)的運動速度有直接關(guān)系。當(dāng)物體運動緩慢時，相鄰兩幀間的目標(biāo)移動的距離小，檢測的區(qū)域和實體相差也小，但如果速度慢到一定程度就會檢測不到；當(dāng)運動目標(biāo)的速度很大時，檢測的區(qū)域相應(yīng)的會變大，從而造成檢測的運動目標(biāo)準(zhǔn)確性偏低。（2）提取的運動區(qū)域會產(chǎn)生“空洞”現(xiàn)象。

3.2 背景差分法

背景差分法是通過對給定的視頻序列圖像進行學(xué)習(xí)，使用特定的數(shù)學(xué)模型來對圖像中場景的背景進行建模并存儲起來，然后用當(dāng)前的視頻序列圖像與存儲的背景模型做差分并通過選定適當(dāng)?shù)拈撝祦矶祷?，最終就得到相應(yīng)的運動區(qū)域。該法在場景比較簡單時，使用簡單的背景模型可得到很好的檢測效果，但在復(fù)雜多變的場景，就會出現(xiàn)過多的漏檢現(xiàn)象。

因此，該方法仍需解決以下問題：（1）如何獲取理想的背景模型以及建立理想的背景模型；（2）如何保持與更新背景。但是在環(huán)境比較復(fù)雜的情況下，背景都會隨著時間的推移、外界光線變化以及現(xiàn)場環(huán)境的變化而發(fā)生改變，該法還是不能準(zhǔn)確完整地提取運動目標(biāo)。

3.3 光流法

光流是指圖像中灰度模式的運動速度，它是圖像中景物的三維速度矢量在成像平面上的投影，它表示了景物在圖像中位置的瞬時變化，而光流場是運動場在二維圖像上的投影，該物理量包含了有關(guān)運動和結(jié)構(gòu)的重要信息。一般情況下，可以通過物體的運動場研究物體的運動，把光流看作運動場，通過研究光流場來估計圖像序列的運動情況。

光流法的優(yōu)點是檢測精度較高，適合做精確分析，可以獲得目標(biāo)的運動參數(shù)等信息，也可以解決傳統(tǒng)的基于特征的運動目標(biāo)檢測難以解決的遮擋，重合等問題。但實際應(yīng)用中，存在運算量大、件要求較、對噪聲非常敏感等問題。

3.4 混合高斯模型法

Grimson等人首先提出了基于混合高斯模型的背景建模算法，它的基本思想是：每一個像素的顏色值用個單高斯分布描述，的選取依賴于像素值的分布情況，通常值取3～5。由于彩色圖像顏色通道之間相關(guān)性很小，可以忽略各通道間的之間相關(guān)性，假定了三個通道相互獨立，且具有相同的方差，因此只需對均值、方差和協(xié)方差三個參數(shù)進行初始化、計算、更新，即可實現(xiàn)混合高斯模型的背景建模。

因此，該算法具有魯棒性強，受外界條件變化的影響較小，能夠適應(yīng)復(fù)雜環(huán)境下運動目標(biāo)檢測，不僅克服了幀間差分法容易出現(xiàn)遺漏的缺點，也很好地解決背景差分法對光照等外部條件造成的動態(tài)場景變化過于敏感的問題，能夠?qū)\動目標(biāo)進行快速準(zhǔn)確的定位。由于混合高斯模型有其自身的優(yōu)點，所以得到廣泛學(xué)者的研究。

數(shù)學(xué)建模差分法范文第2篇

關(guān)鍵詞：鑄坯凝固傳熱數(shù)學(xué)模型；傳熱；鋼水流動；凝固

連鑄過程是將液態(tài)鋼變?yōu)楣虘B(tài)鋼的過程，在這個過程中，鋼水的固態(tài)化是散發(fā)了大量的熱量實現(xiàn)的，且連鑄過程是一個連續(xù)的非線性過程，因此，建立準(zhǔn)確的鑄坯凝固過程數(shù)學(xué)模型對鑄坯冷卻控制，提高鑄坯質(zhì)量都是很重要的。目前常用的鑄坯凝固傳熱數(shù)學(xué)模型大多是根據(jù)鑄坯的凝固傳熱過程建立的偏微分方程，然后根據(jù)一定的初始條件和邊界條件采用有限差分法對其進行求解。但是在實際應(yīng)用中這種方法由于沒有考慮鋼液液芯中鋼水的對流散熱問題而使建立的數(shù)學(xué)模型不能準(zhǔn)確地描述鑄坯的凝固過程，也不能準(zhǔn)確地預(yù)測鑄坯的表面溫度。因此，如何補償液相區(qū)和兩相區(qū)中鋼水的對流散熱就成為建立鑄坯凝固傳熱數(shù)學(xué)模型中急需解決的一個關(guān)鍵問題。

在本文中綜合考慮了鑄坯在凝固過程中存在的傳熱、流動和凝固三種現(xiàn)象，建立起能夠準(zhǔn)確描述鑄坯凝固傳熱過程的鑄坯凝固傳熱數(shù)學(xué)模型。

1 鑄坯凝固傳熱數(shù)學(xué)模型

為了便于分析，方坯凝固傳熱數(shù)學(xué)模型的假設(shè)條件進行如下設(shè)定：

（1）只考慮鑄坯厚度方向的傳熱，忽略寬度和拉坯方向的傳熱；

（2）在沿拉坯方向上鑄坯內(nèi)各點溫度處于非穩(wěn)態(tài)；

（3）鋼的密度ρ和熱熔C等效為常數(shù)，固定不變；

（4）液相溫度和固相溫度固定不變；

（5）鑄坯在二冷區(qū)的同一個冷卻段內(nèi)被認(rèn)為是冷卻均勻的；

（6）對二冷區(qū)拉輥與鑄坯的接觸傳熱和鑄坯自身的輻射傳熱忽略不計。

基于上述假設(shè)條件，建立鑄坯的凝固傳熱偏微分方程如下：

為了簡化方程，設(shè)對應(yīng)于i=1，2，3，si分別表示x，y和z方向上的拉速u，v，w；Ci分別表示x，y和z坐標(biāo)方向，該方程可以寫為：

式中，ρ表示鋼液密度；C表示比熱容；T表示溫度；x，y和t分別表示鑄坯寬度方向、厚度方向和凝固時間；S表示由凝固潛熱引起的熱流，其計算如下：

式中，Lt為凝固潛熱，δ=δ（t）為凝固殼厚度，它與鑄坯溫度場密切相關(guān)。

求解該偏微分方程需要具備以下邊界條件：

式中，Tb、To、Tw、T0分別表示鑄坯表面溫度、環(huán)境溫度、冷卻水溫度和澆注溫度；qs表示表面熱流；ε表示黑度，取值0.7-0.8；σ表示玻爾茲曼常數(shù)，約為5.675×108W/（m2?k4）；h表示傳熱系數(shù)，結(jié)合實際情況，傳熱系數(shù)h可用下式描述：

h=82W0.75VS 0.4 （7）

式中，W表示水流密度；VS表示噴淋水水滴速度。

上述邊界條件和式（1）共同構(gòu)成了鑄坯凝固傳熱過程數(shù)學(xué)模

型，利用以上的邊界條件對式（1）進行求解，可以得到鑄坯凝固過程中鑄坯的表面溫度分布情況。由于鑄坯凝固傳熱過程受液芯中鋼水流動的影響，因而對鋼水流動情況進行建模。

2 鋼水流動模型

鑄坯凝固過程中液相區(qū)的散熱包括傳導(dǎo)和對流，如何描述液相區(qū)和兩相區(qū)的對流散熱是準(zhǔn)確描述鑄坯凝固狀態(tài)的一個關(guān)鍵問題。根據(jù)動力學(xué)可以建立起鋼水流動模型。

連續(xù)性方程：

式中，ρ為鋼水靜壓力，μe為有效粘度，可由下式計算得出：

式中，C3為待定系數(shù)，Φ為紊流動力學(xué)能量，e為紊流動力學(xué)能量損耗系數(shù)，μm為分子動力學(xué)粘度常數(shù)。

求解上述紊流方程的邊界條件如下：

浸入式水口注流口：

式中，Uo為拉速，Ui為水口注流速度，r為浸入式水口半徑。

利用上述邊界方程就可以對建立的紊流方程進行求解。

3 坯殼生長模型

由于二冷區(qū)的冷卻是直接將冷水噴到鑄坯表面，冷卻強度很大，從而加快了鑄坯的凝固速度，同時基于“液相穴凝固前沿釋放的凝固潛熱等于凝固殼傳導(dǎo)的熱量”這一原理，推導(dǎo)出下面的計算公式：

式中，λ為鋼的熱導(dǎo)率，em為坯殼厚度，ρ為鋼的密度，Lf為鑄坯的凝固潛熱，Ta為凝固初始位置的表面溫度，Tb為鑄坯表面溫度，t為鑄坯整個凝固時間，K為鑄坯的凝固系數(shù)。

對式――進行積分可以得到在二冷區(qū)坯殼生長厚度模型：

由上式可知，二冷區(qū)坯殼的生長服從于平方根定律。并且在二次冷卻區(qū)鑄坯的冷卻方式是噴淋水冷卻，冷卻強度很大，那么鑄坯的凝固速度也很快，所以二冷水量的大小決定了坯殼的生長厚度。

4 模型驗證

由于鋼水凝固過程中的表面溫度模型、鋼液流動模型及其所有的邊界條件都是在非線性條件下建立的，因此在進行模擬驗證的時候需要利用有限差分法進行求解。

對公式（1）進行差分變換，可以得到鑄坯橫截面中不同節(jié)點和表面的差分方程。但是為了計算方便，本文采用有限差分法對式（1）進行求解，可以得到變換后的鑄坯凝固傳熱方程。

式中，λ0為參考導(dǎo)熱系數(shù)。

進行變換后的鑄坯凝固傳熱方程在進行求解時每個差分網(wǎng)格的計算量少了將近一半，大大節(jié)約了計算時間。

為了驗證本文所建立模型的準(zhǔn)確性與可靠性，我們選取某鋼廠1號連鑄機為測驗對象，采用紅外線測溫儀對連鑄二冷段不同位置鑄坯的表面溫度進行了測量。

測驗現(xiàn)場的工藝條件為，鑄機半徑為12m，結(jié)晶器長度為7.04m，鑄坯斷面尺寸為300*360mm2。設(shè)環(huán)境溫度Ta是25℃，冷卻水溫度Tw是25℃，澆注溫度T0是1520℃，液相線溫度Tl=1490℃，固相線溫度Ts是1450℃。

在上述工藝條件下，利用所建立的模型計算出的與實際測量的鑄坯表面溫度的比較結(jié)果如表1所示。

5 結(jié)束語

通過對連鑄二冷段三個不同位置鑄坯表面溫度的測量結(jié)果與計算結(jié)果的比較可以得到，利用模型計算的鑄坯表面溫度與實際測量的數(shù)據(jù)誤差在3%之內(nèi)，符合實際生產(chǎn)現(xiàn)場的誤差范圍，說明本文建立的模型基本可以準(zhǔn)確模擬鑄坯的凝固過程，可以正確預(yù)測鑄坯在不同位置的表面溫度。

參考文獻

[1]張克強，白學(xué)軍，等.連鑄二冷鑄坯表面溫度及配水研究[J].鋼鐵，2000，35（9）：287-290.

[2]高文江，郭亮亮，等.基于瞬態(tài)傳熱數(shù)學(xué)模型的板坯連鑄二冷設(shè)計[J].冶金設(shè)備，2014，209（2）：1-4.

[3]任廷志，李巖，等.板坯連鑄凝固傳熱數(shù)學(xué)模型的研究與開發(fā)[J].鑄造技術(shù)，2016，37（4）：723-726.

[4]Kran Mu S， Gunduz M. A recombination-based hybridization of particle swarm optimization and artificial bee colony algorithm for continuous optimization problems[J]. Applied Soft Computing. 2013， 13（4）：2188-2203.

數(shù)學(xué)建模差分法范文第3篇

關(guān)鍵詞：厚鋼管；X-ray圖像；焊縫區(qū)域；邊緣檢測；圖像預(yù)處理

中圖分類號：TP391 文獻標(biāo)志碼：A

Detection of Weld Regions in X-ray Images of Thick Steel Pipes

CHEN Benzhi1， FANG Zhihong2， XIA Yong2， ZHANG Ling3， LAN Shouren1， WANG Lisheng 1

（1.School of Electronic Information and Electrical Engineering， Shanghai Jiao

Tong University， Shanghai 200240， China； 2. Research Institute，Baoshan Iron Steel Co，

Shanghai 201900，China； 3. Steel Bars Division， Baoshan Iron Steel Co， Shanghai 201900， China ）

Abstract：Since traditional detection algorithms of welding seam area have difficulties in accurately extracting the fuzzy and low-contrast welding areas in the X-ray images of thick steel pipes， this paper proposed a novel robust detection method of weld seam region based on the robust PCA model. The proposed technique can overcome the shortcomings of the traditional methods， and can accurately extract the weld regions. Firstly， a sequence of X-ray images were collected， and their spatial alignment and brightness normalization were carried out. Then， a series of background images were obtained， and these preprocessed images and a test X-ray image were combined to form an observation matrix. The robust PCA was then used to decompose the observation matrix into a low-rank and sparse image. As the uneven intensity and noise are greatly eliminated in the test images， the weld region of the test image is highlighted in the corresponding sparse image， and can be well segmented by a global threshold. The test results show that the uneven brightness distribution and noise from X-ray images of thick steel pipes are largely eliminated， and the weld seam edges and low contrast areas are also enhanced. Compared with the traditional welding area detection methods， the proposed algorithm can better detect the fuzzy and low-contrast welding regions with a higher detection sensitivity （0.952） and accuracy （0.989）.

Key words： thick steel pipe； X-ray images； weld regions； edge detection； image pretreatment

在厚管的X射線圖像中，多數(shù)缺陷位于焊縫區(qū)域內(nèi)，部分缺陷（如搭接）需要通過分析焊縫區(qū)域的輪廓線的變化而確定.因此，準(zhǔn)確提取焊縫區(qū)域是有效檢測焊縫缺陷的前提[1-9].另外，焊縫區(qū)域一般只占整幅圖四分之一左右區(qū)域，在焊縫區(qū)域中檢測各種缺陷可減少系統(tǒng)處理時間，為算法在實際生產(chǎn)線上應(yīng)用提供可能[1].厚鋼管的X射線圖像一般噪聲較大、灰度分布不均勻；焊縫區(qū)域的邊緣模糊，焊縫區(qū)域的對比度低及形狀各異，且其在X圖像中分布位置不固定，如圖1所示.這些使得從X射線圖像自動提取完整焊縫區(qū)域變?yōu)槔щy問題.基于邊緣檢測算法，如Roberts， Sobel， Prewitt， Canny等算子，被廣泛用于焊接區(qū)域的邊緣檢測[1-2].這類方法對于信噪比高的薄鋼板X圖像中的焊縫區(qū)域的邊緣檢測效果較好，但應(yīng)用于厚鋼板中X射線圖像時，容易產(chǎn)生斷裂和虛假瑣碎邊緣.背景差分法是通過中值濾波[3]或混合高斯建模[4]估計測試圖像的背景，從差分圖像中分割出焊縫區(qū)域，由于估計的背景圖像精度不高，加上厚鋼管焊縫圖像噪聲大，灰度分布不均勻，背景差分法無法完整將焊縫區(qū)域檢測出來.局部自適應(yīng)閾值法[5]是根據(jù)局部窗口中焊縫區(qū)域與背景區(qū)域類間方差最大原理來選擇每個窗口的最佳分割閾值，從而自動分離出焊縫區(qū)域，該方法不需要任何預(yù)處理，能夠自適應(yīng)地分割出亮度分布均勻的焊縫區(qū)域，但對于亮度分布不均勻或?qū)Ρ榷鹊偷膮^(qū)域，分割效果欠佳.基于水平集主動輪廓法[6]通過使設(shè)置的初始輪廓在一序列外部力和圖像內(nèi)在能量作用下不斷膨脹或收縮，直到收斂，最終使輪廓線停在圖像的邊緣.該方法檢測結(jié)果精度不太受孤立噪聲、不均勻的亮度分布的影響，但該方法比較依賴初始參數(shù)的選擇，如迭代次數(shù)，初始輪廓的位置.

針對目前方法存在的不足，為準(zhǔn)確提取厚鋼管X射線圖像中的焊縫區(qū)域，本文提出一種新的無監(jiān)督學(xué)習(xí)焊縫區(qū)域檢測算法.首先，收集一個厚鋼管X射線圖像序列，對其進行空域?qū)R，保證每幅圖像在相同坐標(biāo)系下具有相似的分布位置和相同的尺寸，隨后對每幅圖像進行亮度歸一化以消除不同圖像間強度分布不均勻帶來的干擾；其次，從每幅圖像中將焊縫區(qū)域分割出來并去除，并根據(jù)焊縫區(qū)域周圍灰度信息修復(fù)填補焊縫區(qū)域，得到序列圖像的背景圖像；第三，將待測試圖像做同樣的空域和亮度對齊處理，并與預(yù)處理后的序列背景圖像張成一個觀測矩陣；第四，使用魯棒PCA對該矩陣進行分解，得到待測試圖像的對應(yīng)的低秩圖像和稀疏圖像.在待測試圖像對應(yīng)的稀疏圖像中，背景較為均勻，而焊縫區(qū)域被凸顯出來，使用全局閾值可較好地將焊縫區(qū)域分割出來；最后，通過相關(guān)形態(tài)學(xué)等后處理去除孤立噪聲點得到最終的焊縫區(qū)域.

1 焊縫邊緣檢測的數(shù)學(xué)建模

這部分主要介紹檢測焊縫區(qū)域的數(shù)學(xué)模型的建立.用F表示測試圖像（分辨率大小為n×m），F(xiàn)由兩部分組成：焊縫區(qū)域 FW和非焊縫區(qū)域的背景圖像FB，如圖2所示，則焊縫區(qū)域通過式（1）計算出：

由圖2及式（1）可知，只要求得FB，就可從X射線圖像中分離各種焊縫區(qū)域，因而檢測各種焊縫區(qū)域FW的問題轉(zhuǎn)換為求FB，一般常規(guī)算法很難直接從F估計FB，因而需設(shè)計新的方法來估計FB.

本文通過收集一序列X射線圖像作為訓(xùn)練樣本和測試樣本，選擇一幅灰度分布均勻的參考圖像FR，如圖1（a）所示，所有訓(xùn)練和測試圖像參考FR進行空域?qū)R，保證每幅圖像在相同圖像坐標(biāo)系下具有相似的分布位置和相同的尺寸，隨后每幅圖像參考FR進行亮度歸一化，使得每幅圖像具有相同的灰度直方圖以消除圖像間不同強度變化的影響，然后對預(yù)處理后的訓(xùn)練樣本去除焊縫區(qū)域并用其周圍顏色修復(fù)焊縫區(qū)域；去除焊縫區(qū)域的訓(xùn)練樣本外觀基本相似，即這些圖像落在一個低維子空間，每個測試樣本的背景圖像與預(yù)處理后的訓(xùn)練樣本也相似，因此，所有這些訓(xùn)練樣本與單幅測試圖像F張成列向量組成的矩陣是低秩的，而測試圖像中的焊縫區(qū)域FW相對整個圖像序列是稀疏的，使用魯棒PCA方法將該矩陣分解為一個低秩矩陣和稀疏矩陣，在低秩矩陣中，其最后一列張成的圖像為測試圖像的背景圖像FB，而稀疏矩陣中最后一列張成的圖像代表對應(yīng)測試圖像中的焊縫區(qū)域FW.

2 焊縫邊緣檢測計算框架

這部分主要介紹一種新的焊縫區(qū)域檢測計算框架，圖3為算法流程圖.首先收集一序列正常的X射線圖像，并對其進行空域?qū)R和顏色歸一化，接著采用魯棒PCA方法將測試圖像分解成稀疏圖像和低秩圖像，其中稀疏圖像即為所求的測試圖像焊縫區(qū)域FW，低秩圖像為測試圖像的背景圖像FB.通過二值化稀疏圖像，得到焊縫區(qū)域圖像，對其相關(guān)形態(tài)學(xué)后處理，提取出焊縫邊緣.

2.1 對X-ray圖像進行預(yù)處理操作

這部分主要使用一些預(yù)處理操作去處理收集到的X射線圖像，以便使用魯棒PCA對測試圖像分解為稀疏與低秩部分.

1） 首先對收集到的訓(xùn)練樣本Ψ和測試樣本{F}參考FR進行空域?qū)R，如縮放、平移等剛體變換，保證每幅圖像在相同圖像坐標(biāo)系下具有相似的分布位置和相同的尺寸；

2） Ψ∪{F}中每幅圖像參考FR進行亮度歸一化，亮度對齊公式為：

式中：F是歸一化之前的圖像，F(xiàn)N為歸一化后的圖像，μ和σ分別是F的灰度均值和方差，μ1和σ1分別是參考圖像FR的均值和方差.

3） 去除Ψ中每訓(xùn)練樣本中焊縫區(qū)域，使用現(xiàn)有成熟圖像修復(fù)算法[10]，對每個訓(xùn)練樣本的焊縫區(qū)域進行修復(fù).對Ψ中每個圖像依次進行1）～3）步處理，處理后的集合表示為ΨB.圖1（a）～（h）是原始圖像，這些圖像的灰度分布不均勻，圖4（a1）～（h1）為對應(yīng)圖1（a）～（h）中每幅圖像預(yù)處理后背景圖像.從圖中可知，Ψ中每幅圖像依次被空域?qū)R，亮度歸一化以及去除焊縫區(qū)域后，得到的背景圖像表現(xiàn)出非常相似的外觀，不同圖像間的強度變化差異被較大地減小，這些背景圖像組成的矩陣表現(xiàn)出低秩性，便于后續(xù)的魯棒PCA做低秩矩陣恢復(fù).

2.2 基于魯棒PCA提取焊縫區(qū)域

獲得預(yù)處理后的訓(xùn)練樣本集合ΨB， 如何根據(jù)該集合估計出測試圖像F的背景圖像FB， 進而根據(jù)式（1）計算出焊縫區(qū)域FW.由于ΨB中每個圖像都不包含焊縫區(qū)域，且外觀相似，因此ΨB中每個圖像應(yīng)落在一個低維子空間，即ΨB中每個圖像都可用低維子空間中的基向量的線性組合來表示.又因ΨB中每個圖像與測試圖像的背景也相似，因此可通過ΨB所在子空間的基底來逼近測試圖像的背景圖像.本文采用常見的子空間學(xué)習(xí)算法[11]（如PCA，ICA，GMM）學(xué)習(xí)出一個子空間H，將測試圖像F投影到H上，在投影圖像FBH中，F(xiàn)的背景圖像得到較好的逼近，然而F中的焊縫區(qū)域也得到較好地表達(dá)，因而估計的背景圖像FBH與測試圖像F相似，通過FW=F-FB≈F-FBH， 無法較好地提取完整焊縫區(qū)域.可能原因是子空間投影的算法比較合適逼近比較大結(jié)構(gòu)，而焊縫區(qū)域FW屬于較大的結(jié)構(gòu)（一般占整幅圖像的四分之一）.因而，通過逼近或重構(gòu)的思想來檢測大結(jié)構(gòu)的焊縫區(qū)域的效果欠佳，需要采用其他新的方式來估計F的背景圖像FB.

通過對ΨB和經(jīng)過空域和亮度對齊后的測試圖像F觀察發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)除焊縫區(qū)域外，和ΨB中每幅圖像外觀都相似，這些圖像類似一個緩慢變化的背景，可將ΨB和F看成一個視頻序列，F(xiàn)中焊縫區(qū)域類似于突然進入背景的一個運動目標(biāo)，又由于焊縫區(qū)域相對整幅圖像，所占比例相對較小，表現(xiàn)出一定的稀疏性，估計焊縫背景FB的問題類似于視頻序列中的背景建模問題[11]，這實際上是將X射線圖像分解為背景圖像和焊縫區(qū)域的過程.

RPCA（Robust Principal Component Analysis）[12]能夠?qū)⒏呔S原始數(shù)據(jù)矩陣分解為低秩和稀疏部分，即解決低秩部分被嚴(yán)重破壞后恢復(fù)出低秩部分的問題，而測試圖像F的背景估計符合這一特性.通過RPCA對測試圖像F分解為稀疏和低秩部分，低秩部分即為F的背景圖像，稀疏部分為F的焊縫區(qū)域圖像，從而實現(xiàn)焊縫區(qū)域的檢測.下面是基于RPCA進行焊縫區(qū)域提取的具體步驟：

1）將ΨB （I1，I2，…，IN， N=20， 圖像分辨率大小為n×m， m=850， n=540） 中每個訓(xùn)練樣本和單幅測試圖像F分別張成一序列向量，將這些列向量組成觀察矩陣Z（v1，v2，…， vN， vF） ∈Rp×q，其中p=n×m， q=N+1， 且pq， Z的秩r（Z）小于q，表現(xiàn)出低秩性；

2） 觀測矩陣Z分解為兩部分，低秩矩陣G和稀疏矩陣H，為得到G和H，通過增廣拉格朗日乘子算法對式（3）進行優(yōu)化，獲得誤差最小化的最優(yōu)的低秩矩陣G1（g1，g2，…，gN，gq）和稀疏矩陣H1（h1，h2，…，hN，hq）.其中，g1，g2，…，gN和h1，h2，…，hN分別表示對ΨB中每幅訓(xùn)練圖像進行低秩分解后的對應(yīng)的背景部分和由噪聲及不均勻強度構(gòu)成稀疏部分，而gq和hq張成與F相同尺寸的圖像分別代表F的背景圖像FB和焊縫區(qū)域圖像FW：

式中：G為矩陣G的核范數(shù)，H1，1為稀疏矩陣H的（1，1）范數(shù)，〈，〉表示兩個具有相同維數(shù)矩陣的點積，F(xiàn)表示矩陣的Frobenius范數(shù)，λ為稀疏和低秩部分的權(quán)衡因子，μ為懲罰因子，L表示線性約束乘子，根據(jù)經(jīng)驗，文中λ=1/mn，μ=1.25/σmax，L=Z/σmax，σmax為對矩陣Z進行SVD分解得到的對角矩陣中的最大奇異值.

3）對向量gq和hq張成與測試圖像尺寸一樣的圖像， 分別表示為IL，IS，則通過如下公式可將焊縫區(qū)域檢測出來：

4） 對FW二值化，分割出焊縫區(qū)域.圖5為檢測焊縫區(qū)域的過程圖.5（b）為參考FR進行空域和亮度對齊后的圖像；圖5（c）～（d）分別為使用RPCA對圖5（b）和ΨB組成的觀測矩陣分解得到的低秩圖像和稀疏圖像，分解出的低秩圖5（c）與ΨB中的訓(xùn)練樣本較為相似，表現(xiàn)出低秩性，而圖5（d）相比圖5（a）， 不均勻灰度分布帶來的干擾得到一定程度減弱，焊縫區(qū)域被凸顯出來，通過全局閾值將焊縫區(qū)域分割出來，如圖5（e）所示，證明魯棒PCA能夠消除整體亮度不均勻帶來的干擾，對于厚鋼管X射線圖像存在的局部噪聲干擾無法消除，如圖5（e）的右上角的亮灰色橢圓內(nèi)噪聲點，需通過形態(tài)學(xué)后處理圖5（e），過濾掉孤立的噪聲點，消除焊縫邊緣的毛刺，最終結(jié)果如圖5（f）所示.

3 實驗結(jié)果與討論

本文訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測試圖像來自寶鋼的厚鋼管X射線圖像集合.由于厚鋼管圖像的焊縫邊緣較為模糊，焊縫對比度低、強度分布不均勻，焊縫邊緣形狀各異，且焊縫位于不同的位置，使得從厚鋼管X射線圖像直接提取焊縫區(qū)域較為困難.為驗證本文提到方法的有效性，本文測試45幅具有各種不同形狀焊縫圖像.圖6是對不同明暗度，不同形狀的焊縫區(qū)域檢測結(jié)果.盡管圖6（a），6（b）和6（g）中的強度分布不均勻，本文算法能將焊縫區(qū)域較為準(zhǔn)確檢測出來；圖6（d）和6（h）整體亮度差別較大，但是焊縫區(qū)域也能被較好分離出來，如圖6（d1）和6（h1）所示；圖6（a）～（h）中的焊縫形狀各異，且位于不同的位置，本文算法能準(zhǔn)確將焊縫區(qū)域定位，檢測結(jié)果的焊縫邊緣的形狀與原始圖像中焊縫邊緣較為吻合，如圖6（a1）～（h1）所示.

由圖6可知，本文算法能較好地將各種不同形狀、不同明暗度、并位于不同位置的焊縫區(qū)域提取出來.將本文算法與邊緣檢測中的Canny算子[1-2]、混合高斯建模[4]、背景差分[3]、局部自適應(yīng)閾值[5]、水平集主動輪廓法[6]進行對比，將這些方法檢測的二值化結(jié)果疊加在原始圖像上，如圖7所示，對比6組實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，本文算法檢測結(jié)果與原始圖像中的焊縫區(qū)域最吻合.為評估本文算法與同類方法的分割精度，手工標(biāo)記27幅包含有各種焊縫形狀的groundtruth圖像，將檢測結(jié)果與標(biāo)記結(jié)果對比，表1為背景差分法、局部自適應(yīng)閾值法、水平集主動輪廓法以及本文算法總體評價指標(biāo).TP（true positive）表示焊縫區(qū)域像素被正確檢測為焊縫的像素點數(shù)，F(xiàn)P（false positive）為背景區(qū)域像素點被誤檢測為焊縫區(qū)域像素點數(shù)，F(xiàn)N（false negative）為焊縫區(qū)域像素點被誤檢測為背景區(qū)域像素點數(shù)，TN（true positive）為背景像素點被正確檢測為背景的像素點數(shù).通過這4個指標(biāo)，計算其對應(yīng)的靈敏度SE（sensitity）=TP/（TP+FN）， 陽性預(yù)測值PPv（positive predictive value）=TP/（TP+FP），特異度SP（specificity）=TN/（TN+FP）， 精度ACC=（TP+TN）/（TP+TN+FP+FN）， 陰性預(yù)測值NPv（negative predictive value）=TN/（TN+FN）.SE， PPv，SP，ACC， NPv越接近1，表明算法的分割效果越好.

由于厚鋼管X射線圖像亮度分布不均勻、信噪比低，焊縫邊緣模糊，Canny算子檢測如圖7（b）所示，出現(xiàn)很多瑣碎、虛假的邊緣，檢測效果較差；混合高斯法通過3個高斯模型來估計測試圖像的背景FB，然后通過FW=F-FB分離出焊縫區(qū)域，檢測結(jié)果如圖7（c）所示，發(fā)現(xiàn)處理的6組圖像噪聲較多，很多焊縫區(qū)域丟掉，不少非焊縫區(qū)域被誤檢測為焊縫區(qū)域，混合高斯算法對噪聲，不均勻亮度比較敏感，對于對比度低的大結(jié)構(gòu)目標(biāo)的檢測，很容易將焊縫區(qū)域建模為背景；背景差分法通過一個大的中值濾波器，估計出測試圖像的背景FW，最后二值化差分圖像分割出焊縫區(qū)域，結(jié)果如圖7（d）所示，中值濾波器相比混合高斯法估計的背景圖像的精度要高，分割效果要比混合高斯法好，但由于中值濾波器也不能很好地估計測試圖像的背景，在圖像四周邊緣，估計的背景精度變低，導(dǎo)致左右兩端背景邊緣被誤識別為焊縫區(qū)域，其對應(yīng)的平均SE，PPv， SP， ACC，NPv分別為 0.732， 0.754， 0.930， 0.885， 0.884；局部自適應(yīng)閾值法，根據(jù)大津法來選擇每個窗口的最佳分割閾值，能夠自適應(yīng)地分割出亮度分布均勻的焊縫區(qū)域，但對于亮度分布不均勻或?qū)Ρ榷鹊偷膮^(qū)域，由于焊縫區(qū)域灰度與背景區(qū)域有重疊，分割效果欠佳，檢測結(jié)果如圖7（e），其對應(yīng)的統(tǒng)計結(jié)果SE，PPv， SP，ACC， NPv分別為 0.542， 0.834， 0.968， 0.872， 0.871，背景差分法能夠檢測更多的焊縫區(qū)域，但是自適應(yīng)閾值法虛警更少；主動輪廓模型法，使初始輪廓線不斷膨脹或收縮，直到收斂使輪廓線停在圖像的邊緣.檢測結(jié)果精度不太受孤立噪聲、不均勻的亮度分布的影響，但該方法比較依賴初始參數(shù)的選擇，如迭代次數(shù)，初始輪廓的位置.相比背景差分法和自適應(yīng)閾值法，水平集主動輪廓法能獲得更好的分割效果，如圖7（f）所示，其對應(yīng)的平均SE， PPv， SP， ACC， NPv（0.899， 0.932， 0.981， 0.962， 0.961）均高于上述兩種方法；本文算法首先通過預(yù)處理消除部分噪聲點以及不均勻光照帶來的干擾，然后使用低秩恢復(fù)技術(shù)，將圖像中噪聲及不均勻亮度分布帶來的干擾進一步減弱，使得模糊的焊縫邊緣輪廓以及對比度低的焊縫區(qū)域增強，最后通過相關(guān)形態(tài)學(xué)后處理進一步將孤立噪聲點消除，最終檢測結(jié)果如圖7（g）所示，相比邊緣檢測法、混合高斯、背景差分、自m應(yīng)閾值、水平集主動輪廓法，本文分割結(jié)果疊加在原始圖像上，與原始圖像中的焊縫區(qū)域更吻合，通過與groundtruth對比，27幅圖像的平均SE， PPv， SP， ACC，NPv分別為0.952， 1， 1， 0.989， 0.986，各項指標(biāo)均為最高，進一步證明本文算法能顯著抑制噪聲，提高焊縫區(qū)域的檢測精度，在亮度分布不均勻、焊縫邊緣模糊、對比度低的厚鋼管X射線圖像中能夠獲得比其他5種典型焊縫區(qū)域檢測算法更好的檢測結(jié)果.

樗得魘褂RPCA理論應(yīng)用于提取焊縫區(qū)域的合理性，本文用RPCA將圖5（a）～（f）中每幅圖像與ΨB組成6個觀測矩陣分別分解為對應(yīng)的矩陣G1和矩陣H1來分析G1的低秩性和H1的稀疏性.表2統(tǒng)計圖5（a）～（f）中每幅圖像與ΨB （包含20個背景圖像）組成的6個矩陣對應(yīng)的G1的秩和H1中非零元素個數(shù).從表2可知，這6個矩陣分解得到的G1的秩Rank（G1）=10

4 結(jié) 論

由于厚鋼管X射線圖像噪聲較大、灰度分布不均勻；焊縫邊緣模糊，對比度低，形狀各異，且在X圖像中分布位置不固定，使得從X射線圖像自動提取焊縫區(qū)域較為困難.由于傳統(tǒng)邊緣檢測算法、背景差分法、閾值分割算法及先驗?zāi)Ｐ偷乃惴ㄔ跈z測厚鋼管X射線圖像中模糊、亮度分布不均勻、對比度低的焊縫區(qū)域時都存在困難，本文提出一種新的無監(jiān)督學(xué)習(xí)的焊縫區(qū)域檢測算法：首先收集一序列X射線圖像作為訓(xùn)練集，并對其進行相關(guān)預(yù)處理操作；然后采用魯棒PCA算法將該集合和測試圖像分解為對應(yīng)的低秩圖像和稀疏圖像，低秩圖像為估計測試圖像的背景圖像，稀疏圖像為要檢測的焊縫區(qū)域圖像，通過閾值可將焊縫區(qū)域分割出來，實驗結(jié)果表明提到算法相比同類方法能更好地提取焊縫區(qū)域.

該方法不僅可用于焊縫邊緣檢測，還可以用于醫(yī)學(xué)圖像中各類病灶的檢測、工業(yè)中太陽能電池板表面的缺陷檢測，以及紡織工業(yè)中織物的疵點檢測.

參考文獻

[1] YE Zhen， FANG Gu， CHEN Shanben， et al. A robust algorithm for weld seam extraction based on prior knowledge of weld seam[J]. Sensor Review， 2013， 33（2）： 125-133.

[2] 匡平， 張明星， 萬維. 基于尺度乘積的X射線焊縫區(qū)域提取算法[J]. 電子科技大學(xué)學(xué)報， 2015， 44（5）：737-742.

KUANG Ping， ZHANG Mingxing， WAN Wei. Weld region extraction in radiographic image based on scale multiplication technique[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China， 2015， 44（5）：737-742. （In Chinese）

[3] SHAO Jiaxin， SHI Han， DU Dong， et al. Automatic weld defect detection in real-time X-ray images based on support vector machine[C]// Congress on Image and Signal Processing in Shanghai. New York： IEEE， 2011： 1842-1846.

[4] 肖進勝， 劉婷婷， 張亞琪， 等. 一種基于歷史背景的混合高斯背景建模算法[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版， 2015， 42（10）：127-132.

XIAO Jinsheng， LIU Tingting， ZHANG Yaqi， et al. A history background-based Gaussian mixture background modeling algorithm[J]. Journal of Hunnan University： Natural Sciences， 2015， 42（10）：127-132. （In Chinese）

[5] YAZIDA H， AROFA H， YAZIDC H. Automated thresholding in radiographic image for welded joints[J]. Nondestructive Testing and Evaluation， 2012， 27（1）： 69-80.

[6] BOUTICHE Y. A region-based model and binary level set function applied to weld defects detection in radiographic images[J]. International Journal of New Computer Architectures and their Applications， 2011， 1（1）： 236-244.

[7] 朱亮， 柳洪義， 原培新. X射線焊縫底片數(shù)字化圖像邊緣檢測方法[J].中國工程機械學(xué)報， 2013， 11（3）： 267-271.

ZHU Liang， LIU Hongyi， YUAN Peixin. Digitalized image edge detection on X-ray welding-line negatives[J].Chinese Journal of Construction Machinery， 2013， 11（3）： 267-271. （In Chinese）

[8] 孔萌， 善本， 林濤. 基于復(fù)合邊緣檢測算子的焊縫邊緣提取方法[J].上海交通大學(xué)學(xué)報， 2009， 43（5）： 693-696.

KONG Meng， CHEN Shanben， LIN Tao. Weld seam edge detection based on composite edge detectors[J]. Journal of Shanghai Jiao Tong University， 2009， 43（5）： 693-696. （In Chinese）

[9] MA Hongbo， WEI Shanchun， SHENG Zhongxi， et al. Robot welding seam tracking method based on passive vision for thin plate closed-gap butt welding[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology， 2010， 48（9）： 945-953.

[10]XU Zongben， SUN Jian. Image inpainting by patch propagation using patch sparsity[J]. IEEE Transactions on Image Processing， 2010， 19（5）： 1153-1165.

數(shù)學(xué)建模差分法范文第4篇

[關(guān)鍵詞]高等學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)用能力培養(yǎng)

我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾這樣描述數(shù)學(xué)應(yīng)用的普遍性：“宇宙之大，離子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)?！?/p>

迄今為止，數(shù)學(xué)在自然科學(xué)、社會科學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用已得到廣泛的承認(rèn)。數(shù)學(xué)在各個方面的作用日益擴大，尤其是計算機出現(xiàn)后，數(shù)學(xué)在各個領(lǐng)域的五彩繽紛的應(yīng)用完全取決于算法設(shè)計，沒有數(shù)據(jù)處理、計算方法、算法分析這些應(yīng)用數(shù)學(xué)的分支，就不會有計算機的應(yīng)用。所以說數(shù)學(xué)已“無處不在”。

當(dāng)前世界各國把數(shù)學(xué)教育的重點放在實際問題的解決上，也就是用數(shù)學(xué)理論和方法解決實際問題的能力。其實質(zhì)是數(shù)學(xué)教育中要加強應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力。

在高等教育中，如何培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，是一個非常重要的問題。由于數(shù)學(xué)理論的抽象性，系統(tǒng)性較強，很難將一個概念，一個定理進行實際應(yīng)用，

我認(rèn)為在高等學(xué)校數(shù)學(xué)的教學(xué)中，應(yīng)從以下幾個方面來提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

一、重視數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程

教材上的數(shù)學(xué)知識是前人發(fā)現(xiàn)的，對學(xué)生而言是新知識,而學(xué)生的學(xué)習(xí)是一種“再發(fā)現(xiàn)”．這種新知識的再發(fā)現(xiàn)是利用已有知識和數(shù)學(xué)思想方法的結(jié)果，就是一種應(yīng)用．

這種應(yīng)用的培養(yǎng)要求教師在教學(xué)中應(yīng)注重創(chuàng)造教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索精神．調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性．激發(fā)學(xué)生對新知識的積極探索的興趣．

教師應(yīng)把數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)作數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，教學(xué)活動不僅要反映結(jié)果，而且要反映得到這些結(jié)果的思維活動過程．要特別注意使學(xué)生逐步學(xué)會怎樣從實例和已有知識中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，怎樣進行分析，綜合,抽象和概括，怎樣進行判斷推理和解決問題，使學(xué)生的應(yīng)用能力逐步得到提高．

二、適當(dāng)增加數(shù)學(xué)實驗課

數(shù)學(xué)實驗課是從實際問題出發(fā)，借助計算機，通過學(xué)生親自設(shè)計，動手體驗解決問題的過程，從實驗中去學(xué)習(xí)，探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律．實驗可以用Mathematica來實現(xiàn)，也可以用其它的數(shù)學(xué)軟件或自己編程．

例如，要計算π的近似值，可以利用數(shù)值積分法．

因為 ，所以要計算π的近似值，只要計算該積分即可．

一般地，對于在閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x),要計算定積分，就是計算曲線y=f(x)與直線y=0,x=a,x=b所圍成的曲邊梯形的面積S．為此，用一組平行與的直線：

x=x1,x=x2… x=xn-1,(a＜x1＜x2＜…x=xn-1＜b)

將曲邊梯形分成n個小的曲邊梯形，總面積等于這n個小曲邊梯形的面積的和。

如果n很大，使每個小曲邊梯形的寬度都很窄，則可將它上方的邊界近似地看作拋物線，那么，就可以得到辛普生公式：

然后讓n逐漸增大，利用辛普生公式可以算出 的近似值。

以上的分析過程可以看出，用到了轉(zhuǎn)換思想，數(shù)形結(jié)合思想，逼近思想，也用到了定積分知識及面積公式，學(xué)生不但學(xué)習(xí)了怎樣求面積的值的方法，也學(xué)會了如何應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法和已有的數(shù)學(xué)知識來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，探索規(guī)律。

雖然數(shù)學(xué)實驗課是在計算機的幫助下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，但仍然需要一定的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法作為前提．也就是說在實驗過程中，學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法解決問題，提高數(shù)學(xué)能力．

三、數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)理論和計算機解決實際問題的重要手段和橋梁。掌握了數(shù)學(xué)知識只是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的必要條件，所以使用數(shù)學(xué)解決實際問題的技術(shù)的培養(yǎng)也就是數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)是非常重要和必須的。

數(shù)學(xué)建模是以實際問題為核心，將多門學(xué)科，多種技能結(jié)和起來．以解決實際問題的邏輯順序為主線而進行的課題．?dāng)?shù)學(xué)建模是根據(jù)實際需要對實際問題建立數(shù)學(xué)模型的過程。這里所說的數(shù)學(xué)是一種廣義的數(shù)學(xué)，它包括經(jīng)典數(shù)學(xué)之外的統(tǒng)計學(xué)、運籌學(xué)以及計算機學(xué)等。

數(shù)學(xué)建模大致可分為五個階段：

1.熟悉實際問題的背景。

2.分析-簡化。

通過認(rèn)真分析，識別并列出與問題有關(guān)的因素；找出主要因素，剔出次要因素。通過假設(shè)把所研究的問題進行簡化，明確模型中需要考慮的因素以及它們在問題中的作用。以變量和參數(shù)的形式表示這些因素。

3.建立數(shù)學(xué)模型

用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)上的技能技巧來描述問題中變量之間的關(guān)系，通常它可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述。比如：比例關(guān)系、線性與非線性關(guān)系、經(jīng)驗關(guān)系、輸入輸出關(guān)系、平衡關(guān)系、牛頓運動定律、微分或差分方程、矩陣關(guān)系式、概率、統(tǒng)計分布率等，從而得到所研究問題的數(shù)學(xué)模型。

4.求解估計參數(shù)

求解所建立的數(shù)學(xué)模型并使用觀測數(shù)據(jù)或與實際問題有關(guān)的背景知識對模型中的參數(shù)給出估計值。

5.檢驗-修改-完善

運行所得到的數(shù)學(xué)模型，解釋模型的結(jié)果或把模型的運行結(jié)果與實際觀測進行比較．如果模型結(jié)果的解釋與實際情況相和或結(jié)果與實際觀測基本一致，就表明模型經(jīng)檢驗是符合實際的．可以將它用于對實際問題進行進一步的分析討論．如果模型的結(jié)果很難與實際相相和或與實際觀測不一致，就表明這個模型與實際問題是不符的，不能將它直接應(yīng)用與實際問題．這時需要進一步修改和完善．

從以上的過程看，它為學(xué)生主動學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力創(chuàng)造了一個類似于創(chuàng)造發(fā)明的積極情境．

在數(shù)學(xué)建模中，學(xué)生除了必要的數(shù)學(xué)知識外，關(guān)鍵是要具備把實際問題歸納成為數(shù)學(xué)問題的的能力．因此，數(shù)學(xué)建模常采用問題－知識－問題的教學(xué)模式．教師根據(jù)實際問題啟發(fā)式介紹一些相關(guān)的數(shù)學(xué)知識的概念和方法，更精確的知識主要靠學(xué)生自己去學(xué)．問題的解決主要靠學(xué)生圍繞需要解決的實際問題，廣泛查閱與問題相關(guān)的文獻資料，通過學(xué)生之間的討論，利用盡可能技能技巧完成問題的求解．從文獻資料的獲得，假設(shè)的建立，模型的構(gòu)成，問題的分析，到相互比較得出結(jié)論乃至評價，全是有學(xué)生在實際問題吸引下所激發(fā)的興趣的基礎(chǔ)上，通過主動學(xué)習(xí)而創(chuàng)造性的完成．因此，數(shù)學(xué)建模對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力十分重要．

文章由北京建筑工程學(xué)院教研項目：“促進應(yīng)用型人才培養(yǎng)的高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容與方法的改革與實踐”支持；項目編號：Y10-22.

[參考文獻]

[1]韓正之《通向完美的橋梁－數(shù)學(xué)方法論》上海交通大學(xué)出版社2006年4月

[2]賈曉峰《微積分與數(shù)學(xué)模型》高等教育出版社1999年

數(shù)學(xué)建模差分法范文第5篇

【關(guān)鍵詞】 ARIMA模型;ARCH模型;時間序列分析;膽結(jié)石

【Abstract】 Objective To buid ARIMA and ARCH models on the basis of time series model theory， and forecast the gallstone month incidence in Haixizhou region.Methods EViews software was used to analyze the gallstone month incidence in Haixizhou region， ARIMA and ARCH models were built to forecast the variation trend of gallstone month incidence. Results The predicted result of ARCH model was much fitted than that of ARIMA model and the ARCH model was much fitted to describe the dynamic characteristics of gallstone month incidence. Conclusions ARCH model can be used as the forecasting gallstone month incidence， which can help people comprehend the variation trend and regularity for seasonal change of gallstone month incidence， focus on the work of gallstone healthy protection， effectively reduce the hazards of gallstone to human.

【Key words】 ARIMA model; ARCH model; Time series analysis; Gallstone

由于人們工作壓力的增大和不良的飲食習(xí)慣及其他原因，近年來膽結(jié)石發(fā)病率有增加的趨勢〔1，2〕。通過時間序列模型對青海海西州地區(qū)2001年1月～2007年12月膽結(jié)石月發(fā)病率進行時間序列分析，了解人群在各時間段的膽結(jié)石發(fā)病特征，為膽結(jié)石的防治工作提供一定的數(shù)學(xué)依據(jù)。

1 資料與方法

1.1 病例資料 全部病例資料取自青海海西州第一人民醫(yī)院。經(jīng)過核對、補漏，從而保證資料的準(zhǔn)確和完整。

1.2 理論與模型〔3～9〕

1.2.1 ARIMA模型 如果時間序列{yt｝是它的當(dāng)前和前期的隨機誤差項以及前期值的線性函數(shù)，可表示為：yt=1yt-1+2yt-2+…+pyt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-…-θqεt-q (1)

則稱該時間序列{yt｝是自回歸移動平均序列，(1)式為(p，q)階的自回歸移動平均模型，記為ARMA(p，q);1，2，…，p稱為自回歸系數(shù);θ1，θ2，…，θq稱為移動平均系數(shù)，都是模型的待估參數(shù)。定義差分算子為yt=yt-yt-1 (2)則差分算子和后移算子B有以下關(guān)系式：=1-B、2=(1-B)2、d=(1-B)d。稱d為差分的階。設(shè){yt｝為非平穩(wěn)序列，{xt｝為ARMA(p，q)序列，存在正整數(shù)d，使得xt=dyt，t>d，則有(B)(1-B)dyt=θ(B)εt (3)稱此模型為求和自回歸滑動平均模型，記為ARMA(p，d，q)。

1.2.2 ARCH模型理論 對于通常的回歸模型yt=xtβ+εt (4)

如果隨機干擾項的平方ε2服從AR(q)過程，即ε2t=a0+a1ε2t-1+…+aqε2t-q+ηt t=1，2，… (5)

其中，ηt獨立同分布，并滿足E(ηt)=0，D(ηt)=λ2，則模型(5)是自回歸ARCH模型。稱序列εt服從q階的ARCH過程，記作εt～ARCH(q)。(4)和(5)構(gòu)成的模型稱為回歸ARCH模型。ARCH(q)模型還可以表示為εt=ht·vt(6)，ht=a0+a1ε2t-1+…+aqε2t-q=a0+∑qi=1aiε2t-i (7)其中，vt獨立同分布，且E(vt)=0，D(vt)=1;a0>0，ai≥0(i=1，2，…，q)，且∑qi=1ai

1.2.3 GARCH模型理論 GARCH(Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic)模型通常用于對回歸或回歸模型的隨機擾動項進醒建模。若有ht=a0+a1ε2t-1+…+aqε2t-q+θpht-1+…+θpht-p=a0+∑qi=1aiε2t-i+∑pj=1θjht-i(9)。則稱序列服從GARCH(p，q)過程。

引入滯后算子B，(9)式可改寫為ht=a0+a(B)ε2t+θ(B)ht (10)。在模型(10)中，如果ht的結(jié)構(gòu)為ht=a0+a(B)ε2t+θ(B)ht，則模型(8)稱為GARCHM(p，q)模型。

1.2.4 TARCH模型理論 TARCH(Threshold ARCH)模型最先由Zakoian(1990)提出，具有如下形式的條件方差ht=a0+∑qi=1aiε2t-i+φε2t-1dt-1+∑pj=1θjht-j (11)，其中dt是一個名義變量dt=1 εt

由于引入dt，股價上漲信息(εt>0)和下跌信息(εt0時，認(rèn)為杠桿效應(yīng)。如果ht的結(jié)構(gòu)為ht=a0+∑qi=1aiε2t-i+φε2t-1dt-1+∑p〖〗j(luò)=1θjht-j，則模型(8)稱為TARCHM(p，q)模型。

1.2.5 EGARCH模型理論 EGARCH模型，即指數(shù)(Exponential)GARCH模型，由Nelson在1991年提出。模型的條件方差表達(dá)式為

log(ht)=a0+∑pj=1θjlog(ht-j)+∑qi=1aiεt-iht-i+φiεt-iht-i(13)

模型中條件方差采用了自然對數(shù)形式，意味著ht非負(fù)且杠桿效應(yīng)是指數(shù)型的。若φ≠0，說明信息作用非對稱。當(dāng)φ

1.3 統(tǒng)計學(xué)方法 運用Excel2003及EViews3.1對2001年1月至2007年12月海西州地區(qū)膽結(jié)石發(fā)病資料進行整理分析，統(tǒng)計海西州地區(qū)膽結(jié)石月發(fā)病率，研究時間序列模型在膽結(jié)石月發(fā)病率中的應(yīng)用，總結(jié)海西州地區(qū)膽結(jié)石月發(fā)病率的發(fā)展趨勢和季節(jié)性變動規(guī)律。

2 結(jié) 果

由于ARIMA模型和ARCH模型要求所采用的樣本數(shù)量通常較多，為了保證有足夠的樣本數(shù)量，本文采用青海海西州地區(qū)2001年1月至2007年12月的膽結(jié)石月發(fā)病率值，共84個數(shù)據(jù)。使用這些數(shù)據(jù)建立估計模型，預(yù)測2001年1月至2007年12月的膽結(jié)石月發(fā)病率值，并驗證預(yù)測效果。將2001年1月至2007年12月之間的月份用t=1，2，…，84表示，膽結(jié)石月發(fā)病率值用yt表示。

2.1 基于ARIMA模型的預(yù)測 首先對海西州地區(qū)膽結(jié)石月發(fā)病率值進行平穩(wěn)性檢驗，若非平穩(wěn)則進行差分處理。利用自相關(guān)函數(shù)檢驗法對海西州地區(qū)膽結(jié)石月發(fā)病率序列進行平穩(wěn)性檢驗，利用原始時間序列yt繪制自相關(guān)分析圖。見圖1。圖1 膽結(jié)石月發(fā)病率自相關(guān)分析圖

自相關(guān)分析圖給出了顯著性水平α=0.05時的置信帶，可以看出大部分自相關(guān)系數(shù)都落入置信區(qū)間外，自相關(guān)系數(shù)的變化幅度較大，說明序列既存在趨勢性又存在波動性，即序列yt為非平穩(wěn)序列。為消除趨勢同時減小序列的波動，需要對序列yt進行平穩(wěn)化處理。

利用差分法將非平穩(wěn)時間序列yt轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時間序列，同時剔除趨勢因素和季節(jié)因素的影響。對序列yt做一階逐期差分，得到差分后的自相關(guān)與偏自相關(guān)分析圖。經(jīng)過處理后的時間序列大體上圍繞y=0直線上下波動，即序列 的均值基本穩(wěn)定，是一個零均值時間序列;序列的圖像在每一時刻對均值的偏離基本相同，即序列yt的方差恒定。在自相關(guān)偏自相關(guān)圖中，序列yt的樣本自相關(guān)與偏自相關(guān)系數(shù)很快落入隨機區(qū)間，故序列趨勢已基本消除。因此，由自相關(guān)函數(shù)檢驗法可知，海西州地區(qū)膽結(jié)石月發(fā)病率序列yt在一階差分后為平穩(wěn)序列，從而可對一階差分后的序列建立ARIMA模型。見圖2。圖2 序列yt差分后的自相關(guān)偏自相關(guān)分析圖

模型的初步定階可通過差分后時間序列yt的相關(guān)特性來判斷。從自相關(guān)偏自相關(guān)分析圖可見，序列yt的樣本自相關(guān)系數(shù)呈衰減正弦波趨向于零，樣本自相關(guān)系數(shù)在k>1后全部落入2個標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間，因此認(rèn)為在k=1后是截尾的;在偏自相關(guān)分析圖中，在k>4后的值都在隨機區(qū)間以內(nèi)，可以認(rèn)為序列yt的偏自相關(guān)函數(shù)具有截尾性。因此，對于序列yt，可以考慮建立ARIMA(p，d，q)模型。階數(shù)p由顯著不為0的偏自相關(guān)系數(shù)的數(shù)目決定，觀察圖2，p可以取1、取2，也可以取3、取4;自相關(guān)系數(shù)在k=1處顯著不為0，可以考慮q=1。由于序列{yt｝經(jīng)過一階逐期差分后，序列趨勢基本消除，故d=1。綜上，序列{yt｝可以建立ARIMA(1，1，1)、ARIMA(2，1，1)、ARIMA(3，1，1)、ARIMA(4，1，1)模型。借助于信息準(zhǔn)則(AIC和SC)對上述模型重新進行模型識別，各模型的評價結(jié)果見表1，ARIMA(1，1，1)模型的AIC和SC值最小。表1 各模型不同準(zhǔn)則下的評價結(jié)果利用模型ARIMA(1，1，1)、ARIMA(2，1，1)、ARIMA(3，1，1)、ARIMA(4，1，1)對模型中的殘差序列與2001年1月至2007年12月的膽結(jié)石月發(fā)病率值進行擬合，可以看出，殘差序列基本圍繞0上下波動，預(yù)測值與實際值的擬合度較高，表明模型的預(yù)測效果擬合較好。雖然模型ARIMA(1，1，1)、ARIMA(2，1，1)、ARIMA(3，1，1)、ARIMA(4，1，1)的殘差序列擬合結(jié)果整體上均不錯，但圖3中殘差序列的擬合效果最佳。模型ARIMA(1，1，1)、ARIMA(2，1，1)、ARIMA(3，1，1)、ARIMA(4，1，1)隨著預(yù)測期限的延長(尤其在2005年之后)，模型預(yù)測效果開始出現(xiàn)偏差，說明模型適用于短期預(yù)測，長期預(yù)測效果差一些。見圖3～圖6。圖3 ARIMA(1，1，1)模型實際擬合殘差序列結(jié)果圖4 ARIMA(2，1，1)模型實際擬合殘差序列結(jié)果圖5 ARIMA(3，1，1)模型實際擬合殘差序列結(jié)果圖6 ARIMA(4，1，1)模型實際擬合殘差序列結(jié)果

因此，結(jié)合AIC和SC準(zhǔn)則與模型殘差序列擬合圖，可以找出最優(yōu)模型ARIMA(1，1，1)，即ARIMA(1，1，1)模型可作為海西州地區(qū)膽結(jié)石月發(fā)病率的最優(yōu)ARIMA模型。根據(jù)參數(shù)估計值得到 模型對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式：(1-0.355 053B)(1-B)yt=(1+0.926 861B)εt(14)

2.2 基于ARCH模型的預(yù)測 考慮到膽結(jié)石月發(fā)病率的集群性特征，利用ARCH模型對海西州地區(qū)2001年1月至2007年12月的膽結(jié)石月發(fā)病率值進行建模并預(yù)測。基于ARIMA模型的分析，并配合殘差獨立性檢驗，通過比較發(fā)現(xiàn)，建立模型ARIMA(1，1，1)ARCH(1)、ARIMA(1，1，1)ARCH(1)M、ARIMA(1，1，1)ARCH(1，1)、ARIMA(1，1，1)GARCH(1，1)M、ARIMA(1，1，1)TARCH(1，1)、ARIMA(1，1，1)TARCH(1，1)M、ARIMA(1，1，1)EARCH(1，1)、ARIMA(1，1，1)EARCH(1，1)M較為適宜。下借助于信息準(zhǔn)則(AIC和SC)對這8個模型重新進行模型識別，其中ARIMA(1，1，1)EARCH(1，1)M模型的AIC和SC值最小。故ARIMA(1，1，1)EARCH(1，1)M為8個模型中較優(yōu)的模型。見表2。表2 各模型不同準(zhǔn)則下的評價結(jié)果

其中，vt獨立同分布，且E(vt)=0，Dvt=1。(15)是在回歸模型(4)式中加入標(biāo)準(zhǔn)差ht得到的結(jié)果。在(15)式中，0.560 166是杠桿效應(yīng)系數(shù)φ的估計值。由于φ=0.560 166≠0，說明信息作用是非對稱的，且φ=0.560 166>0，因此杠桿效應(yīng)不顯著。

利用模型(15)對該模型中的殘差序列2001年1月至2007年12月的膽結(jié)石月發(fā)病率值進行擬合，ARIMA(1，1，1)EGARCH(1，1)M模型的預(yù)測值與實際值的擬合度較高，表明ARIMA(1，1，1)EGARCH(1，1)M模型的預(yù)測效果擬合較好。與ARIMA(1，1，1)模型相比，ARIMA(1，1，1)EGARCH(1，1)M模型的預(yù)測期限有所延長(在2007年之前)，預(yù)測效果有所優(yōu)化。見圖7。圖7 模型的實際擬合殘差序列結(jié)果

3 結(jié) 論

ARIMA(1，1，1)模型與ARIMA(1，1，1)EGARCH(1，1)M模型的短期預(yù)測效果均優(yōu)于長期預(yù)測。原因在于各模型均是基于過去時間序列數(shù)據(jù)建立的，并沒有考慮預(yù)測期相應(yīng)時間內(nèi)，實際膽結(jié)石月發(fā)病率的隨機性和波動性以及外界其他因素的干擾。隨著預(yù)測期的增長，預(yù)測效果自然會變差。ARIMA(1，1，1)EGARCH(1，1)M模型的長期預(yù)測效果優(yōu)于ARIMA(1，1，1)模型。原因是ARIMA模型只考慮時間序列本身的特性來預(yù)測，沒有考慮到膽結(jié)石月發(fā)病率本身受許多不可預(yù)測的復(fù)雜因素的影響;而ARCH模型考慮了膽結(jié)石月發(fā)病率數(shù)據(jù)時間序列中隨機擾動項的波動集群性，模型的預(yù)測效果相對較好，較適合長期預(yù)測。從擬合結(jié)果看，ARCH模型的膽結(jié)石月發(fā)病率預(yù)測效果較ARIMA模型更接近實際值，預(yù)測的誤差也相對減少。檢驗結(jié)果表明海西州地區(qū)膽結(jié)石月發(fā)病率值的時間序列中存在著ARCH效應(yīng)，ARIMA(1，1，1)EGARCH(1，1)M模型能夠適用于海西州地區(qū)膽結(jié)石月發(fā)病率值的建模，并且擬合效果表明用ARIMA(1，1，1)EGARCH(1，1)M模型預(yù)測海西州地區(qū)膽結(jié)石月發(fā)病率是可行的。

疾病發(fā)病率是疾病預(yù)防工作所參考的重要指標(biāo)之一。如果能夠得到較為精確地膽結(jié)石發(fā)病率，則能為膽結(jié)石的預(yù)防工作提供科學(xué)的參考依據(jù)。時間序列分析法可在一定程度上排除人們的主觀任意性，使疾病發(fā)病率的預(yù)測轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)化、科學(xué)化、人工智能化〔10～13〕。

從論文分析和案例應(yīng)用角度可以看出，通過采用時間序列模型對膽結(jié)石月發(fā)病率進行預(yù)測研究，取得了令人較為滿意的預(yù)測效果，預(yù)測值與實際值整體上比較接近，較傳統(tǒng)的可靠性預(yù)計和可靠性試驗評價結(jié)果有了大幅提高，與新的可靠性預(yù)計與預(yù)測法相比，該法預(yù)測精度也有一定的提高。

本文中的數(shù)據(jù)是近7年的海西州地區(qū)的資料，海西州既是我國西北高原地區(qū)，又是我國少數(shù)民族聚集的地區(qū)，做好該地區(qū)膽結(jié)石月發(fā)病率的預(yù)測對高原少數(shù)民族地區(qū)人民的健康有重要的意義〔14～20〕。

參考文獻

1 吳庚申，梁 平，龍新峰.基于ARMA的汽輪機轉(zhuǎn)子振動故障序列的預(yù)測〔J〕.華南理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2005;33(7):6773.

2 田金方，張小斐.干預(yù)ARIMA模型及其在我國人口總量預(yù)測中的實證研究〔J〕.數(shù)理統(tǒng)計與管理，2007;27(2):2637.

3 歐廷皓.基于ARMA模型的房地產(chǎn)價格指數(shù)預(yù)測〔J〕.統(tǒng)計與決策，2007;7:923.

4 楊 宇.基于ARMA模型對地價指數(shù)的預(yù)測〔J〕.統(tǒng)計與決策，2007;5:401.

5 潘曉君.中國棉花產(chǎn)量的時間序列預(yù)測模型〔J〕.統(tǒng)計與決策，2007;9:59.

6 孫玉環(huán).ARMA模型在測算重大突發(fā)事件影響中的應(yīng)用〔J〕.統(tǒng)計與決策，2006;7:246.

7 李瑞瑩，康 銳.基于ARMA模型的故障率預(yù)測方法研究〔J〕.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2008;30(8):158891.

8 曾勇紅，王錫凡，馮宗建.基于混合自回歸滑動平均潛周期模型的短期電價預(yù)測〔J〕.西安交通大學(xué)學(xué)報，2008;42(2):1858.

9 孫 奕，賈翠平，覃世龍.兒童傷害住院費用ARIMA預(yù)測模型研究〔J〕.數(shù)理統(tǒng)計與管理，2007;26(6):11248.

10 胡軍華，唐德善.時間序列模型在徑流長期預(yù)報中的應(yīng)用研究〔J〕.人民長江，2006;37(2):401.

11 賈春生.ARIMA模型在馬尾松毛蟲發(fā)生面積預(yù)測中的應(yīng)用〔J〕.安徽農(nóng)業(yè)科學(xué)，2007;35(19):56723.

12 戴曉楓，肖慶憲.時間序列分析方法及人民幣匯率預(yù)測的應(yīng)用研究〔J〕.上海理工大學(xué)學(xué)報，2005;27(4):3414.

13 易丹輝.數(shù)據(jù)分析與EViews應(yīng)用〔M〕.北京:中國統(tǒng)計出版社，2005:10634.

14 馬亮亮，田富鵬.基于腦梗塞相關(guān)因素的逐步回歸分析〔J〕.南陽理工學(xué)院學(xué)報，2009;1(3):1146.

15 馬亮亮，田富鵬.基于糖尿病相關(guān)因素的主成分分析〔J〕.長春大學(xué)學(xué)報，2009;19(8):613.

16 馬亮亮，田富鵬.基于肺水腫相關(guān)因素的因子分析〔J〕.河北北方學(xué)院學(xué)報，2009;25(4):535.

17 馬亮亮，田富鵬.基于季節(jié)模型的海西州地區(qū)腎炎發(fā)病情況研究〔J〕.北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報，2009;23(3):668.

18 馬亮亮，田富鵬.基于PDL模型的海西州地區(qū)腦出血發(fā)病情況研究〔J〕.湖南文理學(xué)院學(xué)報，2009;21(3):179.