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一、數(shù)學美學的追求是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的內(nèi)驅動力

一個正確的數(shù)學理論，就其反映現(xiàn)實世界的量的內(nèi)在規(guī)律性而言，就是數(shù)學的真；就其實現(xiàn)對外部現(xiàn)實和目的的要求而言，就是數(shù)學的善；就其體現(xiàn)人的能動的創(chuàng)造力而言，就是數(shù)學的美。美學的真、善、美在本質上是一致的，統(tǒng)一于人類的社會實踐。因此，對于數(shù)學美的追求，在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中具有重要意義。首先，美感來源于客觀現(xiàn)實中的美，是人的一種特殊的復雜的心理現(xiàn)象，包含著豐富的想象、情感和豐富的理解，是諸種要素共同活動的結果。在一定意義上來說，沒有美感就不會有數(shù)學發(fā)現(xiàn)。龐加萊曾指出：“科學家研究自然，并非它有用處，他研究它，是因為他喜歡它，他之所以喜歡它，是因為它是美的。如果自然不美它就不值得了解；如果自然不值得了解，生活也就毫無意義。正是這種美使物體，也可以使結構具有讓我們感官滿意的彩虹的外表。沒有這種支持，這種疏忽即逝的夢幻之美其結果是不完美的，因為它是模糊的，總是短暫的。相反，理性美可以充分達到它自身，科學家之所以投身長期而艱巨的勞動，也許為此緣故甚于為人類未來的福利?！碑敶忻臄?shù)論大家賽爾伯格說，他喜歡數(shù)學的一個動機。其次，美學的考慮選擇正確的研究方向。龐加萊指出：“數(shù)學創(chuàng)造實際上是什么呢？它并不在于用已知的數(shù)學實體作出新的組合。任何一個人都會做這樣的組合，但這樣的組合在數(shù)目上是無限的，他們中的大多數(shù)完全沒有用處。創(chuàng)造恰恰在于不作無用的組合，而作有用的、為數(shù)極少的組合。

發(fā)明就是識別、選擇?！?0世紀以來，科學分化與科學綜合的辯證運動，一方面使得數(shù)學的分支日趨繁多、精細，另一方面又使數(shù)學在不同范圍、不同層次上結合為有機整體。面對又分化又綜合的數(shù)學發(fā)展潮流，要想作出新的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，更需要選擇正確的研究方向。數(shù)學美感是作出正確選擇的一個必須遵循的準則。數(shù)學美的簡單性、對稱性、統(tǒng)一性和奇異性都是作出正確選擇的重要原則。第三，鑒于現(xiàn)代數(shù)學的高度抽象性，美學的考慮對于評價數(shù)學理論也具有一定的作用。數(shù)學發(fā)展的歷史表明，如果一種數(shù)學理論符合數(shù)學美學原則，那么這種理論就具有更大的生命力，它就能被流傳下來，得到進一步的發(fā)展；否則就會被淘汰、遺棄。例如，概率論是從量的側面研究隨機現(xiàn)象的一門科學，它的產(chǎn)生始于17世紀，由于人們對概率論概念的不同理解，因此所建立的體系也不完全一樣，最迷人的體系是前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫的概率論。[2]用數(shù)學美的原則來評價，他的理論體系顯示了數(shù)學的簡單美和統(tǒng)一美，不僅對論述無限隨機試驗序列或一般隨機過程給出了足夠的邏輯基礎，而且應用于統(tǒng)計學也很方便。所以他的概率論得到了進一步發(fā)展，后來又產(chǎn)生了不少的分支。從認識論上來分析，人類的實踐需要，以實踐為主導的實踐同認識的矛盾，是數(shù)學發(fā)展的最終動力；同時，數(shù)學發(fā)展到一定階段，在一定程度和一定范圍內(nèi)具有相對獨立性，數(shù)學體系的內(nèi)部矛盾、各種數(shù)學理論的矛盾、數(shù)學理論與審美標準之間或數(shù)學美形態(tài)前后之間的矛盾，也都成為數(shù)學發(fā)現(xiàn)不可缺少的內(nèi)在推動力。在數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程中我們既應重視美學的考慮也不應忘記數(shù)學發(fā)展的根本動力在于實踐。

二、數(shù)學直覺是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的源泉

直覺是指對事物直接的覺察、領悟甚至是印象。數(shù)學直覺則是對數(shù)學對象或數(shù)學問題的直接領悟或覺察。隨著科學由經(jīng)驗時期發(fā)展到理性時期，直覺在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用越來越引起人們的關注。[3]數(shù)學直覺是數(shù)學創(chuàng)造的一種思維方式，在數(shù)學家的創(chuàng)造性思維活動中可以找到很多實例。例如古希臘數(shù)學家阿基米德奉國王之命，鑒別王冠的質地是否純正。他花了很多心血，但許久找不到合適的方法。在感到特別疲勞的時候，他來到浴室。當他跨進澡盆，看到溢出盆外的水時，突然受到啟發(fā)，連連高喊“：我知道了！我知道了！”在隨后的實驗中，阿基米德不僅揭開了王冠之謎，還發(fā)現(xiàn)了有名的浮力原理。龐加萊曾指出：“邏輯是證明的工具，直覺是發(fā)明的工具?！薄皼]有直覺，數(shù)學家便會像這樣一個作家：他只是按語法寫詩，但確是毫無思想?！睈垡蛩固乖f過“：真正可貴的因素是直覺?！啊蔽蚁嘈胖庇X和靈感?！贝罅渴穼嵶C明，龐加萊和愛因斯坦的論斷是正確的，直覺思維有邏輯思維所不能替代的特殊作用。主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

首先，在科學認識活動中，科學家常常依靠直覺進行辨別、選擇，找到解決問題的正確道路或最佳方案。阿達瑪指出：“構造各種各樣思想的組合僅僅是發(fā)明創(chuàng)造的初步。正如我們所注意到的，也正如龐加萊所說的，發(fā)明創(chuàng)造就是排除那些無用的組合，保留那些有用的組合，而有用的組合只是極少數(shù)的。因此我們可以說，發(fā)明就是辨別，就是選擇?！比藗冊趪L試解決復雜的問題時，大都預先要遇到許多可能的思路，究竟先選擇哪條思路？單憑邏輯思維或形象思維往往難以解決，在不少情況下需要借助直覺力量，憑借直覺去辨別、去選擇。

其次，憑直覺啟迪思路，發(fā)現(xiàn)新的概念、新的方法和新的思想。科學發(fā)展的歷史表明，許多重大的科學發(fā)現(xiàn)，既不是從以前的知識中按嚴格的邏輯推理得到的，也不是作為經(jīng)驗材料的簡單總結、歸納而形成的，科學家當解決問題的邏輯通道受到阻塞時，常常憑借直覺從大量復雜的材料中，直接得出結論，作出新的發(fā)現(xiàn)。龐加萊就是在山巖上散步時，突然想到不定三元二次型的算術變換和非歐幾何的變換方法是完全一樣的。

第三，利用直覺獲得猜想（公理或假說），然后演繹推出若干定理，建立科學理論體系。我們的數(shù)學教育不能忽視直覺力的培養(yǎng)，這樣不僅可以使青少年的學習是創(chuàng)造性的，而且在使他們學好數(shù)學的同時變得更聰明，并為未來做好更充分的準備，人類的未來與創(chuàng)造性的關系更密切。因此，從經(jīng)驗事實上升科學理論是十分復雜的創(chuàng)造性思維的活動。一般說來，在建立首創(chuàng)性理論的過程中，直覺常常起主導作用。

三、數(shù)學發(fā)現(xiàn)內(nèi)容、思想方法及意義

數(shù)學發(fā)現(xiàn)的內(nèi)容十分廣泛，大體上包括數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)，數(shù)學概念、數(shù)學規(guī)律、數(shù)學方法的發(fā)現(xiàn)和數(shù)學理論的發(fā)現(xiàn)三個互相聯(lián)系的基本層次。數(shù)學問題是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的基礎性層次內(nèi)容。發(fā)現(xiàn)問題提出問題是全部數(shù)學發(fā)現(xiàn)的基礎。數(shù)學概念、規(guī)律和數(shù)學方法是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的一個中介性層次的內(nèi)容。數(shù)學理論是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的最高層次的內(nèi)容。[4]數(shù)學同其他各門科學一樣，在其發(fā)展的進程中，形成了一整套思想方法，數(shù)學思想方法是數(shù)學的靈魂。歷史表明，一個重大數(shù)學成果的取得往往與數(shù)學方法的突破分不開。類比猜想和歸納推廣是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要方法，而觀察、嘗試是進行猜想的必要前提，聯(lián)想化歸是進行猜想的必要方法。一個好的數(shù)學發(fā)現(xiàn)必須以細致的觀察為前提，正如愛因斯坦所指出的“即使是最明晰的數(shù)學理論，它本身也不能使真理得到保證，要不是用自然科學中的最準確的觀察來檢驗，它也是毫無意義的?！绷_巴切夫斯基在19世紀20年代提出非歐幾何時，許多著名數(shù)學家都很不理解，直到本世紀初，非歐幾何在相對論中得到了成功的應用，現(xiàn)代天文學又發(fā)現(xiàn)大質量的周圍空間的非歐幾何性質，羅巴切夫的非歐幾何學才最終被證實。數(shù)學發(fā)現(xiàn)的意義在于，首先，它推進數(shù)學研究。研究數(shù)學發(fā)現(xiàn)的認識與方法，有助于拓寬人們的思路，推進數(shù)學研究工作。在科學技術突飛猛進的今天更具有重要的現(xiàn)實意義。據(jù)估計19世紀的知識更新周期是80到90年，現(xiàn)在已縮短為15年，某些領先學科更縮短為5到10年，數(shù)學也是如此，面臨著文獻爆炸。這就要求在數(shù)學研究中作出新的成果，除了要具備扎實的數(shù)學基礎知識，還必須熟悉數(shù)學發(fā)現(xiàn)的案例、模式、方法，從認識論方法論中汲取成功的經(jīng)驗。其二，它改革數(shù)學教學方法。研究數(shù)學發(fā)現(xiàn)的認識與方法，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力，開發(fā)學生的智力。在數(shù)學教學中，講清原始思想，分析解決問題的念頭，給出證明定理的思路，引導學生從各個不同的角度看問題培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力是必要的。數(shù)學發(fā)現(xiàn)將有助于填補這方面的空白。有針對性地研究數(shù)學發(fā)現(xiàn)的案例、模式和方法，有助于充實教學內(nèi)容，改進教學方法，優(yōu)化教學結構，從本原上發(fā)展學生的思維，增強學生的數(shù)學素質，提高學生的分析問題和解決問題的能力。第三，它有助于堅持和發(fā)展馬克思主義哲學。數(shù)學本身具有堅實的客觀基礎和豐富的辯證性質是“辯證的輔助工具和表現(xiàn)方式”。從本質上說，深入研究數(shù)學發(fā)現(xiàn)的案例，模式和方法，必將有助于培養(yǎng)我們的辯證唯物主義觀點。例如，由于非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，幾何理論與現(xiàn)實空間的聯(lián)系在形式上被切斷了，從而推進了關于數(shù)學的真理性問題的哲學思考。

四、個人素養(yǎng)與數(shù)學發(fā)現(xiàn)的辯證關系

數(shù)學發(fā)現(xiàn)是個人的創(chuàng)造發(fā)明，一個人的數(shù)學觀念、品質對于數(shù)學發(fā)現(xiàn)有著必然的影響。同時數(shù)學發(fā)現(xiàn)對個人素養(yǎng)又有著積極的影響，具有一定的數(shù)學發(fā)現(xiàn)能力使人更聰明、更富有、更高尚。個人素養(yǎng)與數(shù)學發(fā)現(xiàn)二者之間是相互影響，相互促進的。

（一）崇尚真理，不怕失敗

在探索數(shù)學發(fā)現(xiàn)真理的過程中，為了成功首先就要面對失敗。一個成功者，特別是有重大成就者，其成功的道路幾乎是由失敗鋪墊而成的。[5]有一位英國數(shù)學家兼物理學家開爾文曾說：“我堅持奮斗55年致力于科學的發(fā)展，用一個詞可以道出我最艱辛的工作特點，這個詞就是失敗?！痹谡胬硖剿鬟^程中，有許多人甚至冒著一輩子一事無成的巨大風險。學習數(shù)學，研究數(shù)學還不得不面對可能出現(xiàn)的錯誤。即令一些大數(shù)學家也很難避免不出任何錯誤。歐拉有過大量杰出的成就，但他也出現(xiàn)過錯誤，例如在函數(shù)的可微性、級數(shù)的收斂性以及關于曲線的觀念上出現(xiàn)過錯誤。一位法國數(shù)學家哈達瑪認為，優(yōu)秀的數(shù)學家經(jīng)常犯錯誤，但能很快發(fā)現(xiàn)并糾正，他甚至還說他比他學生犯錯誤更多。所以問題并不是有沒有錯誤，問題在于如何面對錯誤。

（二）勤于探索，謙虛謹慎

許多科學家不愿意承認自己有多高的天賦，而特別愿意說自己主要靠了勤奮，天才在于勤奮。我們都把牛頓視為有史以來最偉大的數(shù)學家?？墒牵ｎD“在21歲之前，他尚未涉獵較高深的數(shù)學知識”。二十幾歲才開始較高深的數(shù)學研究?！芭ｎD反復研讀經(jīng)典，異?？炭唷⑶趭^，經(jīng)常廢寢忘食?！彼窇浾f，笛卡爾的《幾何學》很難懂,只讀了大約10頁，就不得不停下來。然后再開始，比第一次稍進步一些，又停下來，再從頭開始，直至真正掌握全書的內(nèi)容。到這種程度時，他對笛卡爾幾何的理解比對歐幾里得幾何的理解要好些。他又開始重讀歐幾里得，再后又第二次讀笛卡爾的幾何。隨后他又通過悉心研讀他的老師巴羅所編的《原本》和《數(shù)據(jù)》兩書，彌補了他早期對歐氏幾何的忽視。1676年，牛頓已是成績卓著，但他卻說：“如果我看的遠些，那是由于我站在巨人們的肩上。”這句話的背后是他實實在在的經(jīng)歷，在他的大學生涯中，僅“沉迷于撲克牌兩次”“，上小酒館兩次”。

（三）情感陶冶，興趣持久、廣泛

在探索數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程中是需要情感投入的，因而探索數(shù)學發(fā)現(xiàn)是肯定能陶冶情操的。首先就要對數(shù)學有興趣，對數(shù)學沒有興趣是不行的，興趣不濃厚也難以在數(shù)學學習和研究中有所成就。興趣的持久性是進一步要關注的，這種持久性必須與意志、與認識、與情感聯(lián)系起來。興趣的長久保持和發(fā)展必須有意志的支撐，因為成功與失敗必定是交替出現(xiàn)的，困難與順利也常常會同時存在，只有經(jīng)得起失敗與困難考驗而又同時在成功與順利之中有過喜悅與歡欣，才會更有興趣。興趣的廣泛性也十分重要，如果說數(shù)學處在自己的興趣中心的話，那么，更廣泛一些的興趣是有利于加強這一中心強度的。祖沖之對數(shù)學、天文、歷法、文學都有廣泛的興趣，但他的興趣中心在數(shù)學。歐拉對力學、天文、船舶、機械、音樂、數(shù)學都有廣泛的興趣，但他的興趣中心也在數(shù)學，并且這又大大有利于他在數(shù)學領域里更廣泛的范圍內(nèi)活動。從哲學上說：數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、進而再創(chuàng)造性地解決問題的過程。我們要以馬克思主義哲學作指導，從數(shù)學特點出發(fā)研究數(shù)學發(fā)現(xiàn)的認識和方法，力求為拓寬數(shù)學研究思路、豐富數(shù)學教學內(nèi)容、增強數(shù)學創(chuàng)新意識提供恰當?shù)耐緩椒椒ā?/p>

作者：曲亞民單位：大慶市龍鳳區(qū)教育局