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摘要：數學課題探究教學是指，在教師指導下，圍繞某一課題，運用探究的方法主動獲取數學知識，獨立、自主地解決數學問題，培養(yǎng)科學精神和創(chuàng)造性思維與能力的一種實踐活動。它具有內容的開放性和方法的多樣性等特點。其內容主要有數學基本概念和規(guī)律、數學中的綜合問題、現實中的數學問題以及科學前沿中的數學問題等。數學課題探究教學包括教師示范指導和誘導、學生探究、師生共探三個基本環(huán)節(jié)。關鍵詞：數學課題；探究教學Abstract:Inquiryteachingofmathematicsresearchtopicsisakindofpracticalactivity,inwhichstudentsconductresearchaboutonetopicundertheguidanceofteacherssoastogainknowledgeactively,dealwithmathematicsproblemsindependently,cultivatescientificspiritandcreativethinkingandabilityaswell.Ithasthecharacteristicsofopennessincontentsanddiversityinmethods.Itscontentscontainmathematicsbasicconceptsandregulations,theintegratedproblemsofmathematicsandmathematicalproblemsinthereality,themathematicalproblemsinthefrontierofscienceandsoon.Theinquiryteachingofmathematicsresearchtopicsinvolvesteachers’guidanceandinduction,students’inquiryandtheinquiryofteacherstogetherwithstudents.Keywords:mathematicsresearchtopics；inquiryteaching在新課程條件下，隨著“探究教學”的提出與實施，傳統(tǒng)的數學教育面臨著諸多挑戰(zhàn)。廣大一線教師對如何開展課題探究教學存在著一些困惑。本文對數學教學中的課題探究進行初步探討，以期對數學課程的實施有所裨益。一、開展數學課題探究教學的必要性當今衡量一個人學習能力、生存能力的高低，不在于他掌握了多少知識，而在于他探索、研究、創(chuàng)造能力的高低。因此，在數學教育中，培養(yǎng)學生的探究、創(chuàng)新能力和實踐能力，成為教育的重要價值取向。研究表明，課題探究教學更有利于培養(yǎng)學生獨立思考的習慣，激發(fā)學生的創(chuàng)造意識，不失為一種有效的教學方式。傳統(tǒng)數學教育過于注重升學率的提高，大搞“題海戰(zhàn)術”，將所有的知識點精選之后，一一灌輸給學生。學生為題所困，已無暇顧及系統(tǒng)知識的學習，更不用說形成問題解決的能力了?！痘A教育課程改革綱要（試行）》（2001年）明確提出，要“改變課程實施過于強調接受學習、死記硬背、機械訓練的現狀，倡導學生的主動參與、樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力”。[1]因此，在數學教學中，可以課題探究教學為紐帶，在傳授系統(tǒng)知識的同時，注重學科的基本結構、知識間的內在、邏輯聯(lián)系，從而使學生對本學科有一個全局、整體的認識，進而形成一種積極、能動地解決問題的能力，不失為一種好的方法。事實上，課題探究教學是數學教育發(fā)展的必然要求。這主要表現在：1.隨著數學新課程的改革與實施，新的數學課程在課程設計、課程目標、課程實施等方面對教師和學生都提出了更高的要求。與傳統(tǒng)的數學課程相比，新課程適應當今科學發(fā)展分化與綜合的趨勢，將“既重結果又重過程”的理念滲透其中，如在課程的實施方面，注重學生的探究過程、學習過程。2.“數學為大眾”這一發(fā)展特點，對教師提出了新的要求。1983年，德國數學家達米洛夫首次提出“大眾數學”這一口號，這標志著數學教育不能只為少數尖子，而讓多數人去陪少數人，數學教育應面向大眾。1984年，在澳大利亞舉行的第五屆國際數學教育大會設立了“為大眾的數學”專題討論組，并確定它為數學教育的主要問題之一。在此背景下，數學教學中教師需更多地考慮每一個學生未來發(fā)展的需要，但也要注意到：這絕不是降低要求，而是要使人人都受到高水平的數學教育。這就要求充分發(fā)揮每一個學生的積極性，激勵他們自主學習，主動地去探索和研究。3.數學知識應用和科學技術的發(fā)展推動了數學教學的改革。傳統(tǒng)數學過分強調數學抽象結構的“新數”運動，只注意數學本身的特點和結構，而忽視了數學的發(fā)展和科學技術發(fā)展的需要，從而使數學的價值受到學生的懷疑。這促使人們去思考，去探索數學教學中的深層次問題：數學教學不只要傳授數學知識，更為重要的是，要教會學生如何思維。所以，“問題解決”以及“探究教學”的提出不僅成為20世紀80年代數學教育的口號和中心，而且直到現在，還是數學教學研究的熱點問題之一。二、數學課題探究教學的內涵與特征（一）數學課題探究教學的內涵作為一種在教師指導下，以學生自主探究為主的教與學的方式，探究教學由來已久。它的思想淵源可追溯到孔子和蘇格拉底的教學思想中。而明確把“探究學習”作為一種教學方式的則是美國生物學家、課程專家、芝加哥大學教授施瓦布。他認為探究教學是指這樣一種教學活動：兒童通過自主地參與知識的獲得過程，掌握研究自然所必需的探究能力，同時形成認識自然的基礎──科學概念，進而培養(yǎng)探索世界的積極態(tài)度。我國學者也有類似的定義，如“所謂探究教學，就是為兒童提供真實的問題情境，讓兒童通過探究事物、現象和觀點而自主地獲得科學知識并形成探究技能和態(tài)度的過程”，[2]“探究教學是指在教師指導下學生運用探究的方法進行學習，主動獲取知識，發(fā)展能力的實踐活動”，[3]以及“探究教學是指學生在教師的指導下，以類似科學研究的方式去獲取知識和運用知識的學習方式”，等等。盡管對于探究教學的涵義，不同的人有不同的看法，但都包含兩個方面的要義：一是必須有教師的指導──教師提供必要的專業(yè)引領，使學生在探究中有明確的方向；二是以學生的“學”或“探究”為主──學生自主去思考、探究，而不是被教師直接引向問題的答案。數學課題探究教學則是在教師指導下，圍繞某一課題，學生運用探究的方法主動獲取知識，發(fā)展能力的實踐活動。其目的是讓學生在學習數學知識的同時，掌握知識間的內在邏輯聯(lián)系，從而對本學科有一個全面、系統(tǒng)的理解，培養(yǎng)科學精神和態(tài)度，逐步形成獨立、能動地解決數學問題的能力。（二）數學課題探究教學的特征數學課題探究教學作為一種以課題為紐帶的探究教學，不僅具備一般探究教學的內涵和特點（共性），同時還有自身的特點（個性）。1.各學科課題探究教學的共性（1）面向全體學生，提高科學素養(yǎng)。探究教學的根本目的不在于把少數學生培養(yǎng)成為尖子和精英，而是面向全體學生，使每一個學生都成為有科學素養(yǎng)的公民。科學素養(yǎng)包括科學知識、科學方法、科學態(tài)度、科學精神。探究教學就是要求學生自己動手去做，自己動腦去思考。學生在參與探究的過程中既學習了科學知識，又養(yǎng)成了主動、積極的科學態(tài)度和科學精神。這樣，在探究教學中，逐漸發(fā)展學生的觀察能力、建立假設的能力、推理和預測的能力，從而提高科學研究的能力。（2）結果與過程并重。傳統(tǒng)教學特別注意結果，在很大程度上忽視了知識獲得的過程。探究數學則注重知識獲得的過程，把學習方法和思維的訓練放在首位。（3）重視學以致用。探究教學尤其注重發(fā)展學生運用科學知識解決實際問題的能力。美國教育心理學家加涅把學習分為8個層次，其中最后3個層次分別是：①概念學習，即通過概念來了解事物的本質；②規(guī)則學習，即懂得概念與概念之間的聯(lián)系；③問題解決學習，即運用概念和規(guī)則來解決問題。探究教學非常注重這后3個層次的學習，尤其是問題解決。這是它與一般的知識、技能學習的根本區(qū)別之一。與一般的掌握知識、解答問題的學習活動相比，它更符合人們的生活和社會的實際需要，因而有利于提高學生學以致用的本領。（4）學生獨自學習為主。在探究教學中，教師不再是傳統(tǒng)的“傳道、授業(yè)、解惑”的知識傳授者和管理者，而是學生進行探究學習的促進者和合作者。作為促進者，教師的主要任務是把握正確的探究方向，激勵學生勇于探索和創(chuàng)造的動機，引導學生進行探究。當然，教師要根據每個學生的特點進行不同的指導和引導。而作為合作者，教師要自覺地把自己當做學習團體中的一員，與學生一起共同學習、探索和討論。學生作為具有創(chuàng)造能力的學習社會中的主體，教師應充分信任他們，相信他們在一定程度上有能力進行自主地探索和研究。因此，探究教學非常注重培養(yǎng)學生的主體意識，充分發(fā)揮他們的主動性和積極性，把探索和研究深入下去。（5）注重發(fā)展性評價。傳統(tǒng)教學評價注重標準化測試。這種評價方式過分強調學習和思維方式的統(tǒng)一性，壓抑了個性，不利于學生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。而探究教學則強調評價的開放性與多元化，即更注重發(fā)展性評價。它在評價的方式和評價的標準上都是開放的、多元的。它既重視正式評價，也注重非正式評價，如小組評價、小組互評、學生自評等。在評價標準上，考慮到學生的個體差異，則采用多層次的評價標準，從而使評價標準具有彈性化、人性化的特征。2.數學課題探究教學的個性（1）數學課題的開放性。課題的開放性要求教師不應把學習內容限制在某些方面，只要與數學有關，學生力所能及的，都可以成為課題探究的內容。同時教師也不要因為學生提出的課題“不夠水平”或“不夠深刻”而去干涉他們。實際上，數學史上許多有重大意義的問題開始并不為人們所理解。因此，教師應積極鼓勵和肯定學生的問題意識和創(chuàng)新精神，不要讓這些思想一開始便被扼殺在搖籃里。（2）數學課題探究方法的多樣性。作為一門基礎學科，數學課題探究教學尤其注重學生的數學思維方式。思維方式不同，探究的方法也就不同。常見的方法主要有：數學演繹與歸納法、數學分析與綜合法、數學化歸方法、數學公理化方法等等。演繹推理是由一般性的命題推出特殊性命題的推理方法。演繹推理的重要形式是由大前提、小前提推出結論的三段論推理。這在中學數學中可大量使用。因此，在課題探究中要加強這種演繹方式的訓練。歸納推理則是由個別的命題推出一般性命題的推理方法。一般根據概括對象是否完全而分為完全歸納法與不完全歸納法。完全歸納法是根據某一類事物的全體對象作出概括的推理方法，如數學上的窮舉法?？傊瑪祵W課題探究教學在解決問題的同時，加強了學生思維能力的訓練，這樣又有利于學生提出新的課題，進而進行新的探究學習，從而形成良性循環(huán)。（3）數學課題探究需要進行抽象。與其他學科相比，數學課題探究的抽象程度更高一些。例如，數學模型就是通過對原型的模擬或抽象而得來的，它是一種形式化和符號化的模型。在數學課題探究教學中，很多數學課題源于現實生活，而大多數學生通常在進行純粹的數學計算、變換和推演時可能感到困難不大，可一接觸到現實中有待解決的數學問題，往往束手無策。不少學生感到所學的概念、公式、定理等與實際問題對不上號。這時，教師需要引導學生對實際問題進行抽象，去掉一些無關緊要的枝節(jié)問題，把問題的本質突出出來，從而利用已學過的概念、公式、定理、方法來解決問題。

三、數學課題探究教學內容的選擇與其他學科一樣，數學課題探究教學的內容十分豐富。歸納起來，可以從以下四個方面考慮。（一）數學基本概念和規(guī)律數學中的基本概念和規(guī)律既是探究教學的起點和基礎，又是探究的對象。在教與學中，教師如果在基本概念和規(guī)律的學習過程中滲透探究思想，就會使學生加深對概念和規(guī)律的理解與掌握。例如，在學習圓的定義時，教師可先引導學生觀察實際生活中與圓有關的物體的特征：自行車的鋼圈和小飛輪、臺扇的外殼。通過測量中心到圓周的距離（忽略誤差），學生會發(fā)現圓的一個顯著特征：圓周上的點到圓心的距離處處相等。這時教師就可以引導學生歸納得出圓的定義了。（二）數學中的綜合問題相對于知識點比較單一的問題而言，綜合性問題更有利于學生去探索和研究，也更有利于培養(yǎng)學生的敏銳洞察力和思維能力。例如，“要證明AB=CD，∠1=∠2,△ABC∽△DEF,AB∥CD……有哪些方法，可用哪些定理？”對于這類問題的回答，就要求突破教材的結構，重新以問題為線索建構知識體系。這樣，學生頭腦中的認識結構就會變得更加適合于擴散性思維，也更有利于學生問題解決能力的提高。[4]（三）現實中的數學問題現實生活中的數學問題可謂無處不在。數學就是從生活中的這些實際問題開始的。中國古代的數學著作《周髀算經》和《九章算術》，都是為解決生產和生活中的問題凝結成的成果。當今時代，生產和生活中同樣有許多問題可成為數學探究教學的對象。例如，電話費的計費方式如何用函數來表示，銀行儲蓄的稅后利息的計算，球隊的比賽場次計算，等等。在教學中對這些問題的探究可激發(fā)學生的興趣，有利于培養(yǎng)發(fā)現問題的能力和應用數學知識解決問題的能力。（四）學科前沿中的數學問題選取一些與學科前沿有關的內容作為探究的方向，可擴大學生的知識面，開闊學生的視野。如選取哥尼斯堡七橋問題、計算機中的二進制問題、模糊數學的有關問題等。四、數學課題探究教學的基本環(huán)節(jié)探究是科學的本質特征之一，沒有探究就不會有發(fā)現。作為中學生，一般不可能達到真正意義的探究，因而實施課題探究的重心就在于誘導學生發(fā)現數學規(guī)律。當前有不少師生認為開展課題探究是課堂之外的事情，其實這是一種誤解。事實上，在課堂教學中，同樣可以開展課題探究。數學課題探究教學的關鍵在于讓學生獨立自主地學習，強調個人獨立學習活動，教師加以引導，師生共同探究教學規(guī)律、原理。其基本教學程序可以總結如下：1.創(chuàng)設情境，提出課題；2.引出假設或猜想；3.實驗探究，驗證、論證；4.歸納結論，應用提高。數學課題探究教學過程就是在教師有目的、有組織的指導下，學生主動發(fā)現規(guī)律的過程。這里舉一個簡單例子加以說明。首先創(chuàng)設情境：；；。然后提出課題：自然數從1連續(xù)加到100或更進一步加到數等于多少？接著過渡到第二步，學生從中發(fā)現規(guī)律，進行假設或猜想：；。然后激勵學生探究為什么。通過觀察，學生會發(fā)現1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，55+56=101，其中共有個101。因此推導出上面的結果。最后，教師可引導學生總結規(guī)律，進而加以推廣應用。例如求2+3+4+5+…+=？2+4+6+8+……+2=？等等。筆者根據近年來有關數學課題探究教學的研究，就以下三個環(huán)節(jié)的具體實施做進一步探討。（一）教師示范指導、誘導在這一環(huán)節(jié)里，教師的主導作用非常重要。關于探究課題的提出，教師要根據教學內容，一般可從學生已有的知識中引出所要探究的課題。例如，在證明梯形中位線定理時，先提出：梯形中位線定理與三角形中位線定理有何異同？進而提出如何把兩者結合起來的課題。然后教師引導學生根據學過的有關幾何知識，對問題進行假設、猜想，并展開討論，設計出作各種輔助線的方案。接著學生在教師的指導下，分組獨立進行驗證、證明。最后，學生獲得新的概念、定律及證明的思想、方法，從而解決數學問題。在整個環(huán)節(jié)中，教師要充分調動學生的積極性，有意識地激發(fā)其興趣。心理學研究表明，興趣是促進學生主動學習的內部動力，學生只有對所探究的課題產生濃厚的興趣，才能想學、樂學、善學。當然，探究教學過程不一定嚴格按照上述步驟進行，可針對具體問題具體分析，靈活運用。數學課題探究教學中，通過一次探究性教學，可以使學生深入地理解一些重要的原理，掌握一些重要的數學思維方法。這些突破點是引導學生進入科學殿堂的指示燈。例如，可把研究一所學校學生的身高作為一個課題，從中引出統(tǒng)計學中的平均數、方差以及分組、樣本估計等基本概念與規(guī)律及其應用。（二）學生探究，注重思維發(fā)展在上一個環(huán)節(jié)中，學生會感到他和教師一樣都在進行課題探究，于是就會以主人翁的態(tài)度積極地、主動地并有極大可能從各種角度去審視、參與教學活動。在這種情形下，學生就會圍繞問題積極思考，于是學生的思維過程自由展示的機會就增多了。教師可根據學生思維中的漏洞、偏差，不失時機地加以點撥，同時引導其他學生共同探討，使他們處于積極的思考狀態(tài)中，獨立地觀察、分析、類比、聯(lián)想、辨析、歸納等，以便最大限度地發(fā)揮學生自身的創(chuàng)造潛能。（三）“師生共探”，學會反思與感悟這一環(huán)節(jié)中，學生對問題已基本明了，但他們會或多或少存在一些困惑。因此教師應適時引導學生進行反思與感悟，以便加深對該課題的認識，從而促進遷移。教育是哲學，是藝術，是詩篇，是思想與思想的碰撞，是心靈與心靈的交流，是生命與生命的對話。［5］因此，教師需要本著和學生共同研討的精神，調動并發(fā)揮學生在探究教學中的主動性。通過優(yōu)化“教學互動”的方式，通過調節(jié)師生關系及其相互作用，形成和諧的師生互動、生生互動、學習個體與教學中介的互動，強化學生與環(huán)境的交互影響，產生教、學協(xié)同與共振，從而切實提高教學效率。［6］五、數學課題探究教學應注意的幾個問題為了使數學課題探究教學更加有效，教師首先需要更新教育觀，即數學觀、數學教育觀和數學教學觀。在數學觀方面，要用動態(tài)的觀點認識數學。正如《人人關心數學教育的未來》中指出的：“數學是一門有待探索的、動態(tài)的、進化的思維訓練，而不是僵化的、絕對的、封閉的規(guī)則體系，數學是一種科學，而不是一堆原則；數學是關于模式的科學，而不僅僅是關于數的科學?！痹跀祵W教育觀方面，數學教育不僅是為了學數學知識，還在于根據本學科的特點使人們用數學的知識、方法，去認識自然、社會，最終達到培養(yǎng)人，發(fā)展人，從而促進整個人類發(fā)展的目的。在數學教學觀方面，為了改進學生的學習，面向大眾，教師在課堂教學的組織形式、課堂練習的水平，尤其在課堂提問的技巧和師生互動等方面，應多做些研究。此外，教師還要有意識地引導學生，培養(yǎng)與發(fā)展其懷疑、猜測和實踐的意識和能力，因為疑是創(chuàng)新的起始點，猜測和想象是創(chuàng)新的突破點，行是創(chuàng)新的立足點。在數學課題探究教學時應注意以下幾個問題。（一）倡導懷疑懷疑是創(chuàng)新的心理動力，是思維獨立性、批判性的體現。數學家笛卡兒說“懷疑是方法”。比如，在柯西那個時代，幾乎所有數學家都相信，凡是連續(xù)函數一定可微（當然要除去像y=1x中的x=0那樣的孤立點），可是后來有一些數學家，如德國的外爾斯特拉斯就不以為然。他專門構造了一個處處連續(xù)又處處不可微的函數，于是否定了前人的傳統(tǒng)認識。因此，在數學教學中，教師要大力倡導學生對書本、對以往的結論敢于懷疑的精神，勇于提出自己的觀點。（二）鼓勵猜測和想象數學中的猜測是根據已知數學條件和數學原理對未知的量及其關系的似真判斷。這種猜測富于創(chuàng)造性，能夠提供大量新觀點、新思維、新方法。正如數學家徐利治先生在《數學方法論選講》中指出的：“數學創(chuàng)造往往開始于不嚴格的發(fā)散思維，而繼之以嚴格的邏輯分析思維，即收斂性思維。”［7］想象是創(chuàng)造的源泉，在某種程度上，沒有想象就沒有科學發(fā)現。愛因斯坦認為：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且是知識進化的源泉?！盵8]（三）引導行動“千里之行，始于足下?！庇辛撕玫恼n題與猜想，就要立即行動起來，搜索有關信息，扎扎實實地進行探究活動。當然，這需要學生有一定的知識儲備，較強的學習動機，否則，只能是一句空話。因此，教師要引導學生不輕易放過某個看似荒誕、離奇的想法，引導學生積極探究，舉一反三。授之以魚，不如授之以漁，教是為了不教，數學課題探究教學可以很好地培養(yǎng)學生優(yōu)良的思維品質，教會他們怎樣思維?？傊?，課題探究教學為學生提供了一個自我發(fā)現、自主學習的機會，與傳統(tǒng)的教學形式相比，它有更為鮮明的特點，值得我們去研究和探索。參考文獻：［1］中華人民共和國教育部.基礎教育課程改革綱要（試行）［S］.2001.［2］張華，石偉平，馬慶發(fā).課程流派研究［M］.濟南：山東教育出版社，2000.134.［3］李森，于澤元.對探究教學幾個理論問題的認識［J］.教育研究，2002，（2）：83—88.［4］張慶林.當代認知心理學在教學中的應用：如何教會學生學習和思維［M］.重慶：西南師范大學出版社，1995:67—68.［5］袁振國.教育新理念［M］.北京：教育科學出版社，2002.179.［6］查有梁.“交流—互動”教學模式建構［J］.課程·教材·教法，2001，21（4）：1—6.［7］徐利治.數學方法論選講［M］.武漢：華中工學院出版社，1988.182.［8］愛因斯坦文集［M］.許良英，范岱年，編譯.北京：商務印書館，1976.284.