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高數(shù)指數(shù)函數(shù)范文第1篇

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；冪函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；課程標(biāo)準(zhǔn)；國(guó)際比較

1研究問(wèn)題

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是三類(lèi)重要的基本初等函數(shù)，因此也是高中數(shù)學(xué)課程中的基礎(chǔ)內(nèi)容之一.近年來(lái)，我們對(duì)中國(guó)、澳大利亞、芬蘭及法國(guó)、美國(guó)、英國(guó)等國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、教科書(shū)進(jìn)行了量化比較研究[1-3].本文是這一系列研究的一部分，主要針對(duì)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容，以課程標(biāo)準(zhǔn)中的內(nèi)容主題及認(rèn)知要求為切入點(diǎn)，對(duì)澳大利亞、加拿大、芬蘭、法國(guó)、德國(guó)、日本、韓國(guó)、荷蘭、南非、英國(guó)、美國(guó)、中國(guó)這十二個(gè)國(guó)家高中階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較分析.具體來(lái)說(shuō)，本文主要研究以下問(wèn)題：各個(gè)國(guó)家冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容的廣度和深度分別是多少，有何特征？這些國(guó)家是如何對(duì)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行設(shè)置的？1.1研究對(duì)象與方法

研究國(guó)家和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)版本的選取

本文主要選擇了五大洲以下12個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)作為研究對(duì)象，具體國(guó)別分別是：（亞洲）中國(guó)、日本、韓國(guó)；（歐洲）法國(guó)、芬蘭、英國(guó)、德國(guó)、荷蘭；（美洲）美國(guó)、加拿大；（非洲）南非；（大洋洲）澳大利亞.這12個(gè)國(guó)家來(lái)自不同的洲，擁有著不同的人文背景和社會(huì)環(huán)境，經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)程度也不盡相同，可以很好地展示不同國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的共性與差異.所選取的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)文本材料主要來(lái)源于曹一鳴、代欽、王光明教授主編的《十三國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)評(píng)介（高中卷）》[4]，選擇國(guó)際比較樣本的主要依據(jù)是大部分高中生升學(xué)時(shí)所必須要求的內(nèi)容，其別關(guān)注理科、工程類(lèi)學(xué)生.具體所選擇的版本如下：

1.2研究工具及方法

本文采用定量分析和定性分析相結(jié)合的方法，具體的研究方法有定性分析中的個(gè)案研究法和比較研究法，以及定量分析中的統(tǒng)計(jì)分析法.按照課程論學(xué)者泰勒的思想，主要從“內(nèi)容主題”和“認(rèn)知要求”兩個(gè)方面進(jìn)行研究.

（一）廣度

課程廣度是指課程內(nèi)容所涉及的領(lǐng)域和范圍的廣泛程度.為了便于統(tǒng)計(jì)結(jié)果，本文利用下面的公式計(jì)算課程標(biāo)準(zhǔn)的廣度.

G=aimax{ai}

，其中ai表示各個(gè)國(guó)家的知識(shí)點(diǎn)數(shù)量總和，即廣度值，max{ai}表示所有國(guó)家的課程標(biāo)準(zhǔn)廣度值中的最大值.

廣度的統(tǒng)計(jì)涉及到對(duì)知識(shí)點(diǎn)的界定，由于我國(guó)對(duì)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的處理比較系統(tǒng)和詳細(xì)，本文以我國(guó)高中數(shù)學(xué)課標(biāo)中冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容為主，并結(jié)合其他國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容，逐步形成完善的知識(shí)點(diǎn)框架，并統(tǒng)計(jì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的平均深度值.

（二）深度

課程深度泛指課程內(nèi)容所需要達(dá)到的思維深度.我國(guó)課標(biāo)對(duì)知識(shí)與技能所涉及的行為動(dòng)詞水平分為了解、理解和掌握三個(gè)層次，并詳細(xì)說(shuō)明了各個(gè)層次對(duì)應(yīng)的行為動(dòng)詞.很多國(guó)家的課標(biāo)并未對(duì)教學(xué)內(nèi)容的具體要求上做出明確的劃分層次.綜合我國(guó)對(duì)教學(xué)內(nèi)容要求層次的劃分方式，并參考新修訂的布盧姆教育目標(biāo)分類(lèi)學(xué)[11]，本文提出認(rèn)知要求維度的分類(lèi)為：A.了解；B.理解；C.掌握；D.靈活運(yùn)用.將每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的深度由低到高分為四個(gè)認(rèn)知要求層次：了解、理解、掌握、靈活運(yùn)用，并規(guī)定水平權(quán)重分別為 1、2、3、4.然后，利用下面的公式計(jì)算課程標(biāo)準(zhǔn)的深度.

S=∑4i=1nidin∑4i=1ni=n；i=1，2，3，4

其中，di=l，2，3，4 依次表示為“了解”、“理解”、“掌握”和“靈活應(yīng)用”這四個(gè)認(rèn)知要求層次；ni表示儆詰di個(gè)深度水平的知識(shí)點(diǎn)數(shù)，ni的總和等于該課程標(biāo)準(zhǔn)所包含的知識(shí)點(diǎn)數(shù)總和n，從而得出課程標(biāo)準(zhǔn)的深度.

3高中課標(biāo)中函數(shù)內(nèi)容比較研究結(jié)果

3.1冪函數(shù)內(nèi)容的廣度、深度比較結(jié)果

3.3對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容的廣度、深度比較結(jié)果

中國(guó)、澳大利亞、日本、韓國(guó)和荷蘭在對(duì)數(shù)函數(shù)的廣度統(tǒng)計(jì)中排名靠前.這些國(guó)家課標(biāo)都提及對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算，對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)，反函數(shù)的概念.另外，中國(guó)還要求反函數(shù)的定義域、值域、圖象以及對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，而澳大利亞、日本、韓國(guó)、荷蘭對(duì)反函數(shù)的定義域和值域不作要求.法國(guó)、南非處于中間層次.這兩個(gè)課標(biāo)都不涉及對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算、對(duì)數(shù)表、對(duì)數(shù)的應(yīng)用.在反函數(shù)方面，法國(guó)只講解其概念和圖象，南非還講解其定義域、值域.美國(guó)、芬蘭、德國(guó)在對(duì)數(shù)函數(shù)部分的知識(shí)點(diǎn)數(shù)相差不多，但側(cè)重點(diǎn)不一樣.美國(guó)側(cè)重于反函數(shù)內(nèi)容，德國(guó)側(cè)重于對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算，芬蘭側(cè)重于對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì).加拿大和英國(guó)排在最后，加拿大只提到了對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，而英國(guó)在對(duì)數(shù)函數(shù)部分的知識(shí)點(diǎn)數(shù)為零.

3.4冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的內(nèi)容設(shè)置

從整體上來(lái)看，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)是高中階段要學(xué)習(xí)的比較重要的基本初等函數(shù)，也是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的幾類(lèi)重要模型，另外，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)有助于加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解和應(yīng)用.有些國(guó)家并未把冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)作為連續(xù)內(nèi)容出現(xiàn)在課程標(biāo)準(zhǔn)中，說(shuō)明它們之間并無(wú)必要的邏輯關(guān)系.

對(duì)于冪函數(shù)這部分內(nèi)容，除澳大利亞、芬蘭、荷蘭、英國(guó)、中國(guó)提及“冪函數(shù)”以外，有些國(guó)家并沒(méi)有提到冪函數(shù)，如加拿大、印度、俄羅斯、新加坡、南非、德國(guó).有些國(guó)家則以其他函數(shù)形式代替：法國(guó)以多項(xiàng)式函數(shù)出現(xiàn)；日本沒(méi)有專(zhuān)門(mén)的冪函數(shù)概念，則是以分式函數(shù)、無(wú)理函數(shù)形式出現(xiàn)，安排在《數(shù)學(xué)Ⅲ》中，而且三角函數(shù)安排在指對(duì)數(shù)函數(shù)之前；韓國(guó)也沒(méi)有專(zhuān)門(mén)的冪函數(shù)概念，則是以分式函數(shù)、無(wú)理函數(shù)形式出現(xiàn)；美國(guó)以根式函數(shù)出現(xiàn).對(duì)于冪函數(shù)的處理，一直存在著爭(zhēng)議，中國(guó)之前刪除了冪函數(shù)的內(nèi)容，現(xiàn)在又把這部分的內(nèi)容加回來(lái)，有利于完善高中涉及的函數(shù)模型，便于學(xué)生在利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)考慮更全面，所以中學(xué)生需要對(duì)冪函數(shù)有初步的認(rèn)識(shí).像美國(guó)以根式函數(shù)、法國(guó)以多項(xiàng)式函數(shù)、日本以分式函數(shù)和無(wú)理函數(shù)、韓國(guó)以分式函數(shù)和無(wú)理函數(shù)等其他具體函數(shù)形式代替冪函數(shù)內(nèi)容，這樣處理的好處不僅在于具體實(shí)用，便于數(shù)學(xué)模型的建立，而且與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系緊密，這一點(diǎn)值得我們借鑒.

指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)部分的概念原理無(wú)論在表述上還是數(shù)量上，各國(guó)都不盡相同.除芬蘭是單獨(dú)講解指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)以外，大部分國(guó)家都是先學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)，然后利用反函數(shù)或互逆關(guān)系來(lái)引出對(duì)數(shù)函數(shù)，這樣使得對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)變得容易了.其中，澳大利亞把指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí)，沒(méi)有利用互為反函數(shù)來(lái)解釋?zhuān)环▏?guó)在指對(duì)數(shù)函數(shù)上求導(dǎo)數(shù)等.還有一些國(guó)家注重和生活情境相聯(lián)系，如德國(guó)、荷蘭.英國(guó)在名稱上有所不同，以“指數(shù)型函數(shù)”名稱出現(xiàn).美國(guó)強(qiáng)調(diào)利用指對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)行建模.針對(duì)指對(duì)數(shù)函數(shù)的具體說(shuō)明如下.

4結(jié)束語(yǔ)

我國(guó)從2003年進(jìn)行高中數(shù)學(xué)課程改革，到目前已經(jīng)進(jìn)行了十余年的實(shí)踐，并取得顯著成效，通過(guò)國(guó)際比較研究來(lái)審視我國(guó)高中數(shù)學(xué)課程改革的特色和不足，從而為接下來(lái)我國(guó)高中數(shù)學(xué)課程改革的推進(jìn)提供參考.雖然中國(guó)在課程的基本理念中提到要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，但落實(shí)在具體的函數(shù)模型應(yīng)用方面，只強(qiáng)調(diào)“體會(huì)”層次.如對(duì)于冪函數(shù)的處理，美國(guó)以根式函數(shù)、法國(guó)以多項(xiàng)式函數(shù)、日本以分式函數(shù)和無(wú)理函數(shù)、韓國(guó)以分式函數(shù)和無(wú)理函數(shù)等其他具體函數(shù)形式代替冪函數(shù)內(nèi)容，這樣處理的好處不僅在于具體實(shí)用，便于數(shù)學(xué)模型的建立，而且與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系緊密，這一點(diǎn)值得我們借鑒.

參考文獻(xiàn)

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高數(shù)指數(shù)函數(shù)范文第2篇

1推廣肉羊經(jīng)濟(jì)雜交

從別的地區(qū)引進(jìn)優(yōu)良品種父系的肉羊，并且使其和當(dāng)?shù)氐难蛉ルs交，能夠?qū)⒌貐^(qū)雜種的優(yōu)勢(shì)擴(kuò)大，發(fā)揮雜交一代產(chǎn)生雜種優(yōu)勢(shì)是目前我國(guó)所推行的先進(jìn)的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也是目前我國(guó)肉羊產(chǎn)業(yè)進(jìn)行發(fā)展主要的趨勢(shì)。由于陶賽特及其雜交后代比較適應(yīng)該地區(qū)。并且，這一品種的羊可以自行游走進(jìn)行采食，且發(fā)育正常。另外，陶賽特羔羊其增重以及發(fā)育速度相對(duì)與其他羔羊快，其平均日增重量可以達(dá)到110g，同時(shí)具有較強(qiáng)的抗病能力。

2育肥羔羊的技術(shù)

羔羊的育肥可以選擇放牧加上補(bǔ)飼這兩種方法，在羔羊出生后的一個(gè)月左右，其對(duì)于營(yíng)養(yǎng)方面的需求急速增大，并且母羊的泌乳量已經(jīng)不能滿足羔羊地需求，這一階段屬于羔羊開(kāi)食關(guān)鍵的階段。一般情況下，羔羊在出生之后的15￣20d之內(nèi)，應(yīng)該給羔羊提供一些容易消化且營(yíng)養(yǎng)豐富的這種優(yōu)質(zhì)的飼料，可以選用胡蘿卜進(jìn)行飼喂。在25d之后可以混合飼料喂食。使羔羊消化器官能夠正常的發(fā)育。其顆粒配方是：16％麩皮和14％小麥以及46％玉米和5％棉粕，還有10％菜粕和5％大豆與4％預(yù)混料。

3高產(chǎn)飼料的種植技術(shù)

養(yǎng)殖藏羊必須要有優(yōu)質(zhì)的飼料作為重要的支撐，只有把人工草地和草地集約化的經(jīng)營(yíng)相結(jié)合，并且對(duì)飼料進(jìn)行處理并加工，這樣才能有效提升飼料的質(zhì)量，使羊的養(yǎng)殖更加向現(xiàn)代化的養(yǎng)殖發(fā)展，從而才可以從根本上使養(yǎng)殖業(yè)優(yōu)質(zhì)和高產(chǎn)以及高效，這一產(chǎn)業(yè)化的目標(biāo)才能得以實(shí)現(xiàn)?？梢赃x擇箭笞豌豆與高產(chǎn)燕麥混播這種飼料種植的技術(shù)，由于這一飼料種植的技術(shù)較為理想，能夠滿足養(yǎng)殖戶對(duì)于飼料的種種需求，因此應(yīng)該選擇并大力推廣該技術(shù)，使每一個(gè)養(yǎng)殖戶都能通過(guò)該種技術(shù)養(yǎng)殖好高寒地區(qū)的藏羊，使其更加高效。通過(guò)相關(guān)的試驗(yàn)?zāi)軌蜃C實(shí)，這種方式產(chǎn)鮮草的量能夠達(dá)到80050kg／hm2，而單一燕麥和鮮草產(chǎn)量22500kg／hm2，相當(dāng)于每公頃高出了57550kg。

4寒冷季節(jié)暖棚保溫技術(shù)

高數(shù)指數(shù)函數(shù)范文第3篇

高一數(shù)學(xué)必修一函數(shù)圖像知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

本節(jié)知識(shí)包括函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的最值、函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)的圖象等知識(shí)點(diǎn)。函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的最值、函數(shù)的對(duì)稱性是學(xué)習(xí)函數(shù)的圖象的基礎(chǔ)，函數(shù)的圖象是它們的綜合。所以理解了前面的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，函數(shù)的圖象就迎刃而解了。

一、函數(shù)的單調(diào)性

1、函數(shù)單調(diào)性的定義

2、函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明：(1)定義法 (2)復(fù)合函數(shù)分析法 (3)導(dǎo)數(shù)證明法 (4)圖象法

二、函數(shù)的奇偶性和周期性

1、函數(shù)的奇偶性和周期性的定義

2、函數(shù)的奇偶性的判定和證明方法

3、函數(shù)的周期性的判定方法

三、函數(shù)的圖象

1、函數(shù)圖象的作法 (1)描點(diǎn)法 (2)圖象變換法

2、圖象變換包括圖象：平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換、翻折變換。

常見(jiàn)考法

本節(jié)是段考和高考必不可少的考查內(nèi)容，是段考和高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)。選擇題、填空題和解答題都有，并且題目難度較大。在解答題中，它可以和高中數(shù)學(xué)的每一章聯(lián)合考查，多屬于拔高題。多考查函數(shù)的單調(diào)性、最值和圖象等。

誤區(qū)提醒

1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域，即遵循“函數(shù)問(wèn)題定義域優(yōu)先的原則”。

2、單調(diào)區(qū)間必須用區(qū)間來(lái)表示，不能用集合或不等式，單調(diào)區(qū)間一般寫(xiě)成開(kāi)區(qū)間，不必考慮端點(diǎn)問(wèn)題。

3、在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用“或”和“ ”連接，只能用逗號(hào)隔開(kāi)。

高數(shù)指數(shù)函數(shù)范文第4篇

函數(shù)連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)基本概念，把握好這個(gè)概念有助于理解和掌握一元函數(shù)微積分中導(dǎo)數(shù)、定積分等概念。高職學(xué)生在學(xué)習(xí)這個(gè)概念時(shí)，感覺(jué)很抽象不易理解，特別對(duì)函數(shù)連續(xù)本質(zhì)特征的把握不到位，疑惑為什么函數(shù)的連續(xù)性要取決于函數(shù)在一個(gè)個(gè)點(diǎn)上的連續(xù)，為什么函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0滿足了y=0或f（x）=f（x0）或時(shí)，函數(shù)在該點(diǎn)就連續(xù)了等等。

究其原因有以下幾點(diǎn)；一是學(xué)生抽象概括能力欠缺。從客觀世界的現(xiàn)實(shí)中抽象概括出數(shù)學(xué)概念，對(duì)接受過(guò)高中教育的人而言，應(yīng)該初步具備了這種能力。但目前高職學(xué)生這方面能力普遍較差。二是學(xué)生對(duì)極限思想和方法的不適應(yīng)。由于高等數(shù)學(xué)是建構(gòu)在極限理論的基礎(chǔ)上、以極限為基本工具研究函數(shù)的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，因此，研究問(wèn)題的思維方式總體上由“靜態(tài)”變成了“動(dòng)態(tài)”。而函數(shù)的連續(xù)性是運(yùn)用極限理論定義的第一個(gè)概念，學(xué)生對(duì)于運(yùn)用極限思想刻畫(huà)函數(shù)的這種動(dòng)態(tài)特性，需要一個(gè)適應(yīng)過(guò)程。三是教材的簡(jiǎn)化?，F(xiàn)在選用的高職高專(zhuān)《高等數(shù)學(xué)》規(guī)劃教材，在“必需、夠用”原則的指導(dǎo)下，降低了理論難度、簡(jiǎn)化了知識(shí)內(nèi)容。多數(shù)教材的“函數(shù)連續(xù)性”一節(jié)直接給出函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義，缺少必要的例證加以輔助。學(xué)生很難通過(guò)閱讀教材理解函數(shù)連續(xù)的概念。針對(duì)上述原因，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)著重抓住以下幾點(diǎn)，幫助學(xué)生建立起函數(shù)連續(xù)性的概念。

函數(shù)連續(xù)性的本質(zhì)特征

要理解函數(shù)連續(xù)的概念，首先要抓住連續(xù)的本質(zhì)特征。自然界中植物的生長(zhǎng)、河水的流動(dòng)、溫度的變化等等現(xiàn)象，都是連續(xù)變化著的，把這種現(xiàn)象進(jìn)行抽象，反映在函數(shù)關(guān)系上就是函數(shù)的連續(xù)性。如果只是這樣概括，學(xué)生對(duì)連續(xù)本質(zhì)特征的把握是不到位的。此時(shí)可再?gòu)囊韵卢F(xiàn)象分析：兩個(gè)人幾天不見(jiàn)，再次見(jiàn)面時(shí)并沒(méi)有感覺(jué)到彼此的變化，難道這幾天倆人真是都沒(méi)有變化嗎？顯然不是。人從出生到衰亡，時(shí)時(shí)刻刻都處在連續(xù)變化之中，盡管這種變化很微小，不宜察覺(jué)，但它是不間斷的。如果我們從函數(shù)的角度分析，上述現(xiàn)象就相當(dāng)于函數(shù)的自變量在某一區(qū)間段上連續(xù)變化時(shí)，因變量也隨之連續(xù)變化，即使自變量的變化很微小，因變量也會(huì)隨之有微小的變化。經(jīng)過(guò)的這樣分析，學(xué)生就能較好地把握函數(shù)連續(xù)性的本質(zhì)特征了。

函數(shù)連續(xù)性的研究方法

函數(shù)的連續(xù)性反映了現(xiàn)實(shí)世界中連續(xù)的動(dòng)態(tài)變化現(xiàn)象，如同一個(gè)動(dòng)點(diǎn)能夠沿著一條延綿不斷的曲線運(yùn)動(dòng)。如何才能使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，研究函數(shù)的連續(xù)問(wèn)題必須先從研究函數(shù)在一點(diǎn)上的連續(xù)開(kāi)始呢？我們從自然界的連續(xù)現(xiàn)象中很容易認(rèn)識(shí)到一個(gè)斷點(diǎn)就能打破一條連續(xù)鏈。同樣，觀察函數(shù)的圖像也會(huì)發(fā)現(xiàn)函數(shù)的曲線也呈現(xiàn)這個(gè)規(guī)律，如動(dòng)點(diǎn)在曲線y=sinx上可以順暢地移動(dòng)，而在曲線y=tanx或f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0上移動(dòng)時(shí)，會(huì)在點(diǎn)x=kπ+，（k∈Z）或x=0處被“卡住”。通過(guò)這樣的觀察分析，學(xué)生就很容易歸納出：曲線上一個(gè)點(diǎn)便可決定一個(gè)函數(shù)在某個(gè)定義區(qū)間上的連續(xù)性。這樣，函數(shù)連續(xù)的問(wèn)題就歸結(jié)到了研究函數(shù)在一點(diǎn)上的連續(xù)。

用什么方法確定函數(shù)在一點(diǎn)上的連續(xù)呢？函數(shù)在一點(diǎn)上的連續(xù)是一個(gè)局部概念，反映了函數(shù)在一點(diǎn)處兩個(gè)變量增量間的變化關(guān)系，即當(dāng)函數(shù)的自變量有一微小變化時(shí)，因變量也隨之有一微小變化。如果利用初等數(shù)學(xué)的方法刻畫(huà)這種關(guān)系，顯然是行不通的，只有借助于極限工具進(jìn)行深入的分析研究。通過(guò)教師適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生便會(huì)知道要想解決函數(shù)在一點(diǎn)上的連續(xù)的問(wèn)題必須運(yùn)用極限的思想方法。

函數(shù)連續(xù)性的定義

一個(gè)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，是人們對(duì)客觀現(xiàn)象進(jìn)行探索歸納、抽象概括的過(guò)程。教學(xué)上如果對(duì)這一過(guò)程進(jìn)行情境再現(xiàn)，不僅可以使學(xué)生了解概念的形成背景，而且對(duì)學(xué)生理解掌握概念的本質(zhì)及其應(yīng)用大有益處。若只是“填鴨式”傳授，把概念直接灌輸給學(xué)生，效果可想而知，也失去了通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程對(duì)學(xué)生進(jìn)行觀察分析、抽象概括能力培養(yǎng)的作用。

講授“函數(shù)連續(xù)性”一節(jié)時(shí)，可以先借助多媒體給學(xué)生播放植物的生長(zhǎng)、河水的流動(dòng)、汽車(chē)在高速路上奔跑等連續(xù)現(xiàn)象，再播放一棵大樹(shù)被攔腰截?cái)?、一條大壩截住河水流動(dòng)、一座斷裂的橋梁造成車(chē)輛停滯不前等不連續(xù)現(xiàn)象，與學(xué)生一起分析探索上述現(xiàn)象引出函數(shù)連續(xù)尤其是在一點(diǎn)上的連續(xù)的問(wèn)題，并形成定義。

通常，關(guān)于函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)的定義有兩種形式：

定義1：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量x=x-x0趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量y=f（x0+x）-f（x0）也趨于零，即y=0，那么就稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)。

定義2：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f（x）當(dāng)xx0時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f（x0），即f（x）=f（x0），那么就稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)。

不同的教材，給出兩個(gè)定義的順序不同。無(wú)論哪種順序，關(guān)鍵是使學(xué)生理解并掌握函數(shù)y=f（x）要在點(diǎn)x0連續(xù)，必須滿足條件f（x）=f（x0）或y=0。為了使學(xué)生搞清楚條件的含義，教學(xué)時(shí)可以從反例入手，借助函數(shù)的圖像加以分析。

若先講定義2可以列舉以下實(shí)例：

例1：考察函數(shù)y=在點(diǎn)x=1處的變化情況。

如圖1所示，函數(shù)y=的圖像是直線y=x+1去掉了點(diǎn)（1，2），顯然函數(shù)y=在點(diǎn)x=1處就像一條繩子被剪斷為兩截不再連續(xù)，究其原因是函數(shù)在此點(diǎn)沒(méi)有定義。

例2：考察函數(shù)f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0在點(diǎn)x=0處的變化情況。

如圖2所示，函數(shù)f（x）=x2，x＜0x+2，x≥0在點(diǎn)x=0處出現(xiàn)了“跳躍”斷開(kāi)了，這種斷開(kāi)不是因?yàn)闆](méi)有定義造成的。學(xué)生要問(wèn)是什么原因造成的呢？這時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從極限角度進(jìn)行分析，由f（x）=0，f（x）=2，可知f（x）=0不存在，由此便知，函數(shù)在有定義無(wú)極限的點(diǎn)處不連續(xù)。

例3：考察函數(shù)f（x）=x2+1，x≠10.9，x=1在點(diǎn)x=1處的變化情況。

如圖3所示，函數(shù)f（x）=x2+1，x≠10.9，x=1在點(diǎn)x=1處遇到了“陷阱”。直觀觀察，函數(shù)在處的函數(shù)值不是f（1）=12+1=2，而是f（1）=0.9。再進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在點(diǎn)x=1處有定義極限也存在，可是f（x）=2，與函數(shù)值f（1）=0.9不相等，所以出現(xiàn)了“陷阱”。

三例過(guò)后進(jìn)行小結(jié)，得出函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處若遇到下列三種情況之一就會(huì)不連續(xù)：（1）沒(méi)有定義；（2）有定義、極限不存在；（3）有定義、極限存在、但極限值與函數(shù)值不相等。這時(shí)善于思考的學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生下列想法：“當(dāng)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處同時(shí)滿足了有定義、極限存在、極限值與函數(shù)值相等三個(gè)條件時(shí)，情況會(huì)是怎樣呢？”這時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察連續(xù)函數(shù)曲線在一點(diǎn)上的狀況。

例4：考察函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=2處的連續(xù)情況。

通過(guò)看該函數(shù)的圖像發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=2處沒(méi)有斷開(kāi)是連續(xù)的，并且同時(shí)滿足上述三個(gè)條件。這樣學(xué)生就可以比較充分地認(rèn)識(shí)到：函數(shù)要在一點(diǎn)上連續(xù)，必須滿足條件f（x）=f（x0），以及其中的含義。從幾何角度分析，動(dòng)點(diǎn)在經(jīng)過(guò)曲線上的一點(diǎn)時(shí)，經(jīng)歷了沿著曲線無(wú)限接近于這一點(diǎn)的過(guò)程，如果函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，動(dòng)點(diǎn)就能到達(dá)此點(diǎn)并順利通過(guò)，否則就會(huì)被“卡住”。

在講解定義1時(shí)也可以采取同樣的方法，使學(xué)生理解函數(shù)y=f（x）要在點(diǎn)x0連續(xù)，必須滿足條件y=0?？梢越柚铝泻瘮?shù)的圖像進(jìn)行直觀地分析。假設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處有增量x，當(dāng)時(shí)x0時(shí)，由圖4所示的函數(shù)中發(fā)現(xiàn)，其相應(yīng)函數(shù)的增量yA（A≠0），即y=A≠0。從圖5所示的函數(shù)中看出，相應(yīng)函數(shù)的增量y不能夠收斂于一個(gè)確定的常數(shù)，從而導(dǎo)致y不存在。在圖6所示的函數(shù)中，相應(yīng)函數(shù)的增量y∞，即y=∞。以上三種情況，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0都是不連續(xù)的，三個(gè)函數(shù)在點(diǎn)x0處都不滿足條件y=0。而在圖7所示的函數(shù)中，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，而條件y=0恰恰在點(diǎn)x0處得到了滿足。這樣就加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處滿足條件y=0就連續(xù)的理解。而條件y=0刻畫(huà)了函數(shù)連續(xù)的實(shí)質(zhì)：當(dāng)自變量有一微小變化時(shí)，因變量也會(huì)隨之有一微小的變化。

函數(shù)連續(xù)性的整體概念

如果只將函數(shù)的連續(xù)性局限在一點(diǎn)上連續(xù)的層面上，還不能全面把握函數(shù)連續(xù)的概念。如當(dāng)考察函數(shù)y=sinx在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性時(shí)，根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，由等式sinx=0=f（0）便知函數(shù)y=sinx在點(diǎn)x=0處是連續(xù)的。而當(dāng)考察函數(shù)y=sinx在其定義域（-∞，+∞）上的連續(xù)性時(shí)，該如何進(jìn)行呢？這需要進(jìn)一步建立起函數(shù)連續(xù)性的整體概念。

一般的，知道了怎樣判定函數(shù)在一點(diǎn)上連續(xù)后，應(yīng)給出函數(shù)在開(kāi)區(qū)間（a，b）上連續(xù)的概念，即在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)y=f（x），必須在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。根據(jù)上述要求，在探討函數(shù)y=sinx在（-∞，+∞）上連續(xù)的問(wèn)題時(shí)，要說(shuō)明y=sinx在（-∞，+∞）內(nèi)的“每一點(diǎn)”都連續(xù)，顯然逐點(diǎn)驗(yàn)證是不可能的，如果能夠?qū)ふ业娇梢浴按怼泵恳稽c(diǎn)的“點(diǎn)”，通過(guò)證明函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)，進(jìn)而就可說(shuō)明函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)。

經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，只要在區(qū)間（-∞，+∞）上設(shè)出任意一點(diǎn)，用“任一點(diǎn)”代替“每一點(diǎn)”加以證明即可使問(wèn)題得到解決，這也正是數(shù)學(xué)簡(jiǎn)約美之所在。如果考察函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)性，不僅要求它在區(qū)間（a，b）上連續(xù)，而且還要滿足在區(qū)間的左端點(diǎn)a處右連續(xù)，右端點(diǎn)b處左連續(xù)。至此，關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的概念就完整了，學(xué)生就會(huì)達(dá)成這樣的共識(shí)：函數(shù)的連續(xù)是動(dòng)態(tài)變化的，是通過(guò)函數(shù)在其定義區(qū)間上的每個(gè)點(diǎn)上的連續(xù)實(shí)現(xiàn)的。連續(xù)函數(shù)的圖形呈現(xiàn)為一條連綿不斷的曲線。

參考文獻(xiàn)：

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高數(shù)指數(shù)函數(shù)范文第5篇

一、等差數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用

我在對(duì)等差數(shù)列知識(shí)的研究中發(fā)現(xiàn),由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a=a+(n-1)×d,可得a=dn+(a-d)。如果p=d,q=a-d,那么a=pn+q,其中p,q都為常數(shù),當(dāng)p≠0時(shí),a是關(guān)于n的一次函數(shù),即(n,a)在一次函數(shù)y=px+q的圖像上。因此,在進(jìn)行等差數(shù)列解題時(shí),可以有效運(yùn)用這一內(nèi)在關(guān)系,進(jìn)行兩者之間問(wèn)題知識(shí)的解答。

案例:已知二次函數(shù)f(x)=x+2(10-3n)x+9n-61n+100(n∈N)。(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{a},求證數(shù)列{a}為等差數(shù)列;(2)設(shè)函數(shù)y=F(x)的圖像的頂點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離構(gòu)成數(shù)列bk3b9gspyyi,求數(shù)列bk3b9gspyyi的通項(xiàng)公式,并求bk3b9gspyyi中第幾項(xiàng)最小,其值是多少?

教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn),此題考察的是等差數(shù)列與函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用。因此在解題時(shí),可以把握數(shù)列與函數(shù)定義域的聯(lián)系和區(qū)別。同時(shí)二次函數(shù)的圖像是拋物線,其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=-b/2a,由此可以寫(xiě)出關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式。

其解題過(guò)程為:

證明:(1)函數(shù)f(x)=x+2(10-3n)x+9n-61n+100(n∈N),頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=-b/2a=3n-10,數(shù)列{a}的通項(xiàng)為a=3n-10(n≥2,n∈N),a-a=(3n-10)-[3(n-1)-10]=3,數(shù)列{a}是等差數(shù)列。

解:(2)函數(shù)f(x)=x+2(10-3n)x+9n-61n+100,頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=3n-10,則頂點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為13n-101,即數(shù)列bk3b9gspyyi的通項(xiàng)公式為d=13n-101。令3n-10≥0,n≥10/3(n∈N), n≥4。故通項(xiàng)公式為d=10-3n(1≤n≤3)和3n-10(n≥4)。設(shè)數(shù)列bk3b9gspyyi中第n項(xiàng)最小,則d≤d,和d≤d, 求得51≤18n≤69, 3≤n≤3,故當(dāng)n=3時(shí),即數(shù)列bk3b9gspyyi的第三項(xiàng)最小,d=10-3×3=1。

二、等比數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用

等比數(shù)列用函數(shù)的眼光看待,就可以將等比數(shù)列改寫(xiě)成a=×q的形式,通過(guò)分析,就可以看出,等比數(shù)列{a}的圖像時(shí)函數(shù)y=×q的圖像上的一群孤立的點(diǎn)。所以在教學(xué)中,教師可以采用這種聯(lián)系,進(jìn)行問(wèn)題的解答。

案例:已知函數(shù)f(x)=ab的圖像上的點(diǎn)A(4,)和B(5,1)。(1)求函數(shù)F(x)的解析式;(2)設(shè)a=logf(n),n是正整數(shù),S是數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和,解關(guān)于n的不等式aS≤0。

教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住函數(shù)與數(shù)列之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)點(diǎn),分析出它們之間的深刻聯(lián)系,進(jìn)行問(wèn)題的有效解答。學(xué)生在觀察、思考、分析后,進(jìn)行解答過(guò)程如下。

解:(1)f(x)=ab的圖像上的點(diǎn)A(4,)和B(5,1),得出b=4,a=,f(x)=。

(2)由題意可得到:

a=logf(n)=log=2n-10,a-a=2n-10-2(n-1)+10,

{a}為等差數(shù)列。S=a+×n=(n-9)n,aS=(2n-10)×(n-9)n=2(n-5)×(n-9)n≤0,5≤n≤9,故n=5.6.7.8.9。

三、等差、等比數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用

等差數(shù)列、等比數(shù)列,都可以看作是特殊的函數(shù),因此我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí),可以運(yùn)用前移和聯(lián)系的數(shù)學(xué)思想,把解決函數(shù)問(wèn)題的思想融入到數(shù)列中方程、不等式等知識(shí)解決數(shù)列中的有關(guān)問(wèn)題,這種形式的解題方式形式新穎、思維創(chuàng)新、結(jié)構(gòu)巧妙,是現(xiàn)在高考中的熱點(diǎn)命題形式之一。

如在數(shù)列章節(jié)知識(shí)復(fù)習(xí)時(shí),教師可以設(shè)置這一問(wèn)題。

已知數(shù)列{a}是等差數(shù)列,且a=50,d=-0.6,(1)從第幾項(xiàng)開(kāi)始有a

對(duì)于這一問(wèn)題,教師在進(jìn)行習(xí)題分析時(shí),要深刻認(rèn)識(shí)到,第一小題實(shí)際上是接一個(gè)不等式,但要注意n∈N。對(duì)于第二小題,實(shí)際上是研究S隨n的變化規(guī)律,由于等差數(shù)列中的S是關(guān)于n的二次函數(shù),因此在學(xué)生解答問(wèn)題時(shí),教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用用二次函數(shù)的方法進(jìn)行最值的求解,或可以采用由a的變化來(lái)進(jìn)行推測(cè)S的變化。教師進(jìn)行示范解答過(guò)程如下:

解:(1)a=50,d=-0.6,a=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6。令-0.6n+50.6≤0,n≥84.3。由n∈N,故當(dāng)n≥85時(shí),a

(2)d=-0.60,由(1)知a>0,a