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高考數(shù)學(xué)歸納法范文第1篇

關(guān)鍵詞：高考;數(shù)學(xué)歸納法;變化

高考完畢，縱觀各類試題，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法在試卷中占有很大的比例，為什么擱置數(shù)年之后的數(shù)學(xué)歸納法重現(xiàn)江湖呢？數(shù)學(xué)歸納法有固定的模式，用途廣泛，方法單一，沒有太多的技巧，學(xué)生不用花許多時(shí)間去構(gòu)造數(shù)學(xué)模型就能解決問題. 但是回歸后的數(shù)學(xué)歸納法已經(jīng)不是過去那種單純給定結(jié)論來證明的數(shù)學(xué)歸納法了，它要經(jīng)過一系列的變化，再猜想結(jié)論、證明結(jié)論. 證明方法主要有三大變化特點(diǎn)：

由“n=k”到“nk”三部分，三部分的性質(zhì)有時(shí)互相融合

例1 （2014年廣東卷理）設(shè)數(shù)列{an}的前n和為Sn，滿足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，且S3=15.

（1）？搖求a1，a2，a3的值;

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：（1）a1=s1=2a2-3×12-4×1=2a2-7

①，

a1+a2=s2=4a3-3×22-4×2=4a3-20②，

a1+a2+a3=s3=15③，？搖？搖？搖

聯(lián)立①②③可解a1=3，a2=5，a3=7.

（2）由（1）可以猜想：an=2n+1（n∈N+），

數(shù)學(xué)歸納法證明：（Ⅰ）當(dāng)n=1，a1=2×1+1=3，結(jié)論成立;

（Ⅱ）假設(shè)當(dāng)n

sn= = =n（n+2）④，由題意可知

an+1= ⑤，即有當(dāng)n=k+1時(shí)，由④⑤可知

ak+1= = =2k+3=2（k+1）+1，結(jié)論成立.

由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，猜想an=2n+1，（n∈N+）結(jié)論成立.

評(píng)注：在此例的歸納推理過程中，改頭換面的是由“n=k”到“n

由“n=k+1”到“n=k”的變化特點(diǎn)：表面上“n=k+1”收縮到“n=k”，歸納的起點(diǎn)前移了，實(shí)際上“n=k”擴(kuò)充到“n=k+1”，歸納的起點(diǎn)后移了，滿足n=k+1歸納推理過程

例2？搖 （2014年“北約”試題）已知xi>0（i=1，2，3…，n）且x1x2…xn=1，求證：

（ +xi）≥（ +1）n.

證明：由題意可知，至少存在一對(duì)xi，xj，滿足0

（數(shù)學(xué)歸納法）（1）當(dāng)n=1時(shí)，驗(yàn)證結(jié)論顯然成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論也成立，即有 （ +xi）≥（ +1）k成立，從而當(dāng)n=k+1時(shí)，

x1x2…（xkxk+1）=1， （ +xi）?（ +xkxk+1）≥（ +1）k（假設(shè)中的結(jié)論）

（ +xi）=（ +xk）（ +xk+1） （ +xi）=（2+ xi+ xk+1+xkxk+1） （ +xi）=（2+ xk+ ?xk+1+ +xkxk+1- ） （ +xi）=（ +xkxk+1） （ +xi）+ ?（ +xk+xk+1-1） （ +xi）≥（ +1）k+ （ +xk） （ +xi）≥（ +1）k+ （ +1）k=（ +1）k+1，

即n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立;

綜合（1）（2）知，對(duì)于任意n∈N*，原結(jié)論正確.

評(píng)注：在此例的歸納推理過程中，稍加分析，歸納奠基就出來了――同上題一樣改頭換面是：當(dāng)n=k+1時(shí)的xk?xk+1相當(dāng)于當(dāng)n=k時(shí)的xk，xk+xk+1-1xk，“終點(diǎn)”擴(kuò)張了，這里巧用假設(shè)是證題關(guān)鍵.

同樣，推優(yōu)保送卷的命題者也對(duì)數(shù)學(xué)歸納法情有獨(dú)鐘，若知道數(shù)學(xué)歸納法的步驟，那么數(shù)學(xué)歸納法也保證你不會(huì)得很難堪的分?jǐn)?shù)，這就是命題者喜歡數(shù)學(xué)歸納法的原因吧！

例3 （2006年復(fù)旦大學(xué)推優(yōu)保送題）對(duì)于任意n∈N，x1，x2，…，xn均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足x1+x2+…+xn≤ ，試用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1-x1）（1-x2）…（1-xn）≥ 成立.

證明：由已知條件得，x1，x2，…，xn∈0， .

（1）當(dāng)n=1時(shí)，x1≤ ，則-x1≥- ，則1-x1≥ ，即此時(shí)結(jié)論成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k （k∈N*）時(shí)，結(jié)論正確，即當(dāng)x1+x2+…+xk≤ ，必有（1-x1）（1-x2）…（1-xk）≥ . 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，由于x1+x2+…+xk+xk+1≤ ，即x1+x2+…+xk-1+（xk+xk+1）≤ ，則（1-x1）（1-x2）…（1-xk-1）?（1-xk-xk+1）≥ （假設(shè)），

則？搖（1-x1）（1-x2）…（1-xk）（1-xk+1）=（1-x1）（1-x2）…（1-xk-1）（1-xk-xk+1+xkxk+1）≥（1-x1）（1-x2）…（1-xk-1）（1-xk-xk+1+0）≥ ，？搖

即結(jié)論當(dāng)n=k+1時(shí)也正確. ？搖

綜合（1）（2）知，對(duì)于任意n∈N*，原結(jié)論正確. ？搖？搖

評(píng)注：在此例的歸納推理過程中，數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟沒變，改頭換面的是：當(dāng)n=k+1時(shí)的xk+xk+1相當(dāng)于當(dāng)n=k時(shí)的xk，“終點(diǎn)”擴(kuò)張了.

原題不能夠用常規(guī)方法或原題給的條件不全面，先猜測(cè)，再用數(shù)學(xué)歸納法加強(qiáng)條件，運(yùn)用“特殊到一般”、“由點(diǎn)到面”的邏輯關(guān)系

例4 （2014年重慶卷理）設(shè)a1=1，an+1= +b（n∈N*）

（1）若b=1，求a2，a3及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

（2）若b=-1，問：是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n

解：（1）a = +1（n∈N*）略.

（2）由題意可知：a1=1，an+1= -1，an<1;利用特征根法n∞，an+1=an=λ，λ為常數(shù)，解得λ= . （也可以先算出a2，a3，a4…，再歸納猜想）

由此用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：a2n

（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a2=0，a3= -1，即a2<

（Ⅱ）當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論也成立，即a2k

由于an+1= -1（n∈N*）在（-∞，1]上為減函數(shù)，c= -1>a2k+2= -1>0=a2.

即1>c>a2k+2>a2，同理由函數(shù)的單調(diào)性，c= -1

高考數(shù)學(xué)歸納法范文第2篇

關(guān)鍵詞：歸納思想；高中數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用

新課程改革的全面深化要求教師在課堂教學(xué)中更加注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力，為學(xué)生以后的發(fā)展打下更好的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，它在教學(xué)中非常重視抽象的數(shù)字含義以及推理過程。結(jié)合數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)和新課改的要求來看，歸納思想對(duì)于高中數(shù)學(xué)應(yīng)用教學(xué)有著重要意義。

一、歸納思想的概述及意義

廣義的歸納思想就是學(xué)生在已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的影響下，通過觀察、聯(lián)想、類比、歸納、推理等，做出新的合情合理的認(rèn)知過程。歸納思想無論對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)自身還是我國素質(zhì)教育而言都具有重要意義。對(duì)數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程不同于其他學(xué)科，在數(shù)學(xué)產(chǎn)生的過程中，為了證明一個(gè)定理之前需要經(jīng)過合理的設(shè)想，然后進(jìn)行檢驗(yàn)、完善，最后進(jìn)行修改。在經(jīng)過再三的驗(yàn)證、修改、再驗(yàn)證的循環(huán)過程之后，才能真正形成定理，在這個(gè)過程中需要充分運(yùn)用的就是歸納的思想。

二、數(shù)學(xué)歸納思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中最具代表的歸納思想。它在教學(xué)中采用同歸納推理與演繹推理相結(jié)合的方式，更容易被學(xué)生接受。數(shù)學(xué)歸納法基本又分為兩種：一種是完全歸納，一種是不完全歸納。不完全歸納是通過對(duì)題目中的部分對(duì)象進(jìn)行觀察，得出的一般性結(jié)論。這種歸納方法是由特殊到一般，有時(shí)候可能會(huì)出錯(cuò)，需要進(jìn)行嚴(yán)密的論證結(jié)果。完全歸納法則是根據(jù)歸納原理得出嚴(yán)密結(jié)論的推理方法。

1.數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟

例如，要證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題的步驟是這樣的：

（1）驗(yàn)證n=k1時(shí)命題成立；（2）假設(shè)n=k，（k≥k1）成立，那么證明n=k+1也成立。

2.數(shù)學(xué)歸納法重點(diǎn)

（1）數(shù)學(xué)歸納法的第一步和第二步是基礎(chǔ)和依據(jù)，都是必不可少的。

（2）在證明n=k+1命題成立之前，一定會(huì)用上假設(shè)n=k，（k≥k1）成立。進(jìn)行第二步運(yùn)算時(shí)要想清楚先要獲取目標(biāo)等式，然后再想辦法驗(yàn)證。

新課程改革的全面深化更加要求教師在課堂教學(xué)中更加注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力，為學(xué)生以后的發(fā)展打下更好的基礎(chǔ)。歸納思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中被廣泛使用，能夠更好地被學(xué)生掌握，同時(shí)對(duì)于高考數(shù)學(xué)習(xí)題的解答有很大幫助，應(yīng)該受到更加廣泛的推廣。

高考數(shù)學(xué)歸納法范文第3篇

關(guān)鍵詞：中日韓；高考數(shù)學(xué)試題；比較分析

中圖分類號(hào)：G639.3/.7 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2012）12-0158-02

通過查閱中日韓三國的高中數(shù)學(xué)課程的相關(guān)文獻(xiàn)，對(duì)中日韓三國若干年的高考數(shù)學(xué)試題的分析和研讀三國的數(shù)學(xué)高考出題原則發(fā)現(xiàn)，三國的高中數(shù)學(xué)有所不一樣，在課程的設(shè)置方面，中國的高中數(shù)學(xué)教材分必修和選修模塊；日本的高中數(shù)學(xué)設(shè)置了7個(gè)科目：《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》、《數(shù)學(xué)Ⅰ》、《數(shù)學(xué)Ⅱ》、《數(shù)學(xué)Ⅲ》、《數(shù)學(xué)A》、《數(shù)學(xué)B》和《數(shù)學(xué)C》；韓國的高中數(shù)學(xué)教材分?jǐn)?shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二和選修部分，在高考數(shù)學(xué)的試題方面，三國的高考數(shù)學(xué)試題也存在比較大的差異性。本文主要從三國高考數(shù)學(xué)試題的試題形式、試題題量、試題內(nèi)容、試題背景這四個(gè)方面進(jìn)行對(duì)比分析。

一、試題形式的比較

從直觀的題目的設(shè)計(jì)形式上來看，三國的試題形式都有所不同，日本的高考試題在形式方面比較單一，以簡(jiǎn)答題的形式出題，韓國的高考試題有選擇題和簡(jiǎn)答題兩種形式，而中國的高考試題分選擇題、填空題、解答題這三大形式。在試題的設(shè)計(jì)形式上看，中國的高考試題顯得比日韓兩國的高考試題更全面和多樣化，另外在設(shè)置選擇題的備選項(xiàng)中，中國的高考試題每道選擇題設(shè)置四個(gè)選項(xiàng)，分別是A，B，C，D選項(xiàng)，而韓國的選擇題設(shè)置的是①，②，③，④，⑤五個(gè)選項(xiàng)，顯然，這樣增大了選擇的難度。通過以上高考數(shù)學(xué)試題設(shè)計(jì)形式的比較，可以看出中國高考數(shù)學(xué)試題的形式相比之下多樣化，從而可以更容易從不同的方面考查學(xué)生知識(shí)的掌握情況，選擇題考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的再認(rèn)知的過程；填空題考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的回憶過程；解答題考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用過程，這些不同形式選擇題、填空題、解答題從不同層次考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，這樣考查面更廣、更全。

二、試題題量的比較

從高考出題的題量方面上看，中國的高考數(shù)學(xué)試題共有22道題，其中12道選擇題，4道填空題，6道解答題，總分為150，客觀題占60分，主觀題占90分，韓國出題共40道題，必做題為25道，另外為15題中選5個(gè)的選做題，共需要做30個(gè)題，總分為100分，客觀題占68分，主觀題占32分。相比中國和韓國的高考試題，日本的高考試題的題量相對(duì)較少，試題題量越少，對(duì)所學(xué)知識(shí)的考查就越不充分，所以在題量方面設(shè)計(jì)時(shí)不宜太少。

三、試題內(nèi)容的比較

關(guān)于試題內(nèi)容方面，中日韓三國的高考數(shù)學(xué)考查的內(nèi)容大部分是相同的，其中函數(shù)（對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）、數(shù)列（等差數(shù)列、等比數(shù)列）、排列組合、概率等都是重點(diǎn)考查的內(nèi)容，不同之處在于中國的高考數(shù)學(xué)試題沒有涉及到對(duì)矩陣、極限、正態(tài)分布、數(shù)列收斂、積分定理等的考查，在中國，概率正態(tài)分布只是作為閱讀資料，不作為高考的考試范圍，矩陣、積分定理在高中的教材也沒有出現(xiàn)，它是高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容。同樣極限、條件概率也是在高等數(shù)學(xué)中才重點(diǎn)學(xué)習(xí)，而以上這些內(nèi)容在日韓的高考試題中是常見的，另外韓國的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容有一小部分是在中國的初中階段就已經(jīng)學(xué)習(xí)了，可見日韓高考試題的覆蓋范圍要比中國的高考數(shù)學(xué)的范圍大。中國高考數(shù)學(xué)的考查范圍較小，但是考查的知識(shí)點(diǎn)比較細(xì)，試題注重知識(shí)的基礎(chǔ)性，無論是函數(shù)還是立體幾何，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)考查得比較全面，比較細(xì)致，如概念、性質(zhì)、定理等的應(yīng)用。

例如考查函數(shù)的知識(shí)，函數(shù)的定義域或是值域這些基本概念在中國是?？嫉?。

例：（中國）1.函數(shù)y=■+■的定義域?yàn)椋ǎ繐u？搖）.

A.{x|x≥0} B.{x|x≥1}

C.{x|x≥1}∪{0} D.{x|0≤x≤1}

韓國的高考試題注重考查學(xué)生的計(jì)算能力、理解能力、推證能力、解決問題的能力，對(duì)于計(jì)算能力的考查，通常會(huì)以指數(shù)（有理數(shù)的指數(shù)運(yùn)算）、對(duì)數(shù)的計(jì)算、矩陣的計(jì)算（矩陣的加法與乘法）、極限的計(jì)算形式出現(xiàn).例如：

1.求（log327）×8■.

①12？搖？搖？搖②10？搖？搖？搖③8？搖？搖？搖④6？搖？搖？搖⑤4

2.已知A=-1 0 0 1，B=2 13 3，求（A+B）-1.

①1？搖？搖？搖②2？搖？搖？搖③3？搖？搖？搖④4？搖？搖？搖⑤5

3.求■■.

①1 ②■ ③3 ④■ ⑤3

四、試題背景的比較

中日韓三國的國情、社會(huì)發(fā)展的不同必然會(huì)導(dǎo)致三國的高考數(shù)學(xué)的出題背景不一樣，總的來說，中國的高考試題很多是以課本的例題、習(xí)題為變式題，通過簡(jiǎn)單的變形、延展來改編，試題與現(xiàn)實(shí)生活結(jié)合得不夠緊密.另外，每年的高考試題在題型方面幾乎都一樣，解答題一般都是考查6種題型：三角函數(shù)、立體幾何、函數(shù)與不等式、統(tǒng)計(jì)與概率、圓錐曲線、數(shù)列，所以在試題的背景方面體現(xiàn)不出新穎性.相比之下，日韓兩國的高考試題都是比較生活化的，同時(shí)也關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).下面舉例說明此問題.

1.對(duì)于指數(shù)與對(duì)數(shù)的考查.例（韓國）：某溶液的氫離子濃度為H■，該溶液的酸性度用pH值定義為pH=-logH■.在攝取1塊糖以后提取唾液測(cè)得的pH值為6.6.10分鐘以后再提取唾液測(cè)試氫離子濃度，其值是最初提取唾液時(shí)測(cè)得值的50倍，求此時(shí)的pH值.（其中l(wèi)og2=0.3）

①3.7？搖？搖？搖②4.0？搖？搖？搖③4.3？搖？搖？搖④4.6？搖？搖？搖⑤4.9

像以上這種結(jié)合實(shí)際生活考查對(duì)數(shù)與指數(shù)的題目，韓國的高考中經(jīng)常出現(xiàn).而在中國的高考數(shù)學(xué)試題中是沒有，中國的高考題中對(duì)指數(shù)和對(duì)數(shù)的考查只局限于老形式，沒有新情景.

例（中國）：若x1滿足2x+2x=5，x2滿足2x+2log2（x-1）=5，x1+x2=（？搖？搖）.

A.■ B.3 C.■ D.4

所以這也是中國的教育需要向韓國借鑒的.

2.在數(shù)列部分考查.例（中國）：已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10項(xiàng)的和S10（？搖？搖）.

A.138 B.135 C.95 D.23

例（日本）：數(shù)列{an}滿足下列條件，a1=1，a2=1，an+2=7an+1

+an（n=1，2，3…）

①請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明a3n（n=1，2，3…）是偶數(shù).

②證明a4n（n=1，2，3…）是3的倍數(shù).

同樣是考查數(shù)列內(nèi)容，中國試題與課本上的形式基本一致，日韓的有利用數(shù)學(xué)歸納法證明的題，還有推測(cè)各項(xiàng)求數(shù)列和的題，可見日韓試題的載體和解答都比我國新穎.

3.再如對(duì)于概率知識(shí)的考查.中國歷年都是考查離散型隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望的概念和運(yùn)算，也有部分考題將對(duì)相互獨(dú)立事件的概率，二項(xiàng)分布或超幾何分布等概念的考查融于對(duì)隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望的考查之中.比起日韓，中國關(guān)于這部分內(nèi)容所考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面，對(duì)基本知識(shí)的要求比較高，但是在試題的覆蓋面上和考題的類型上，日韓的試題的覆蓋面更廣，考題類型更多樣化，而且試題的背景更加生活情景化.

例2（韓國）：一個(gè)電視100個(gè)頻道，這個(gè)電視的遙控器的一部分如圖，這個(gè)電視顯示著50頻道，若從增加和減少的兩個(gè)按鈕中任選一個(gè)按一下，這樣一共按六次，則電視仍然顯示50頻道的概率為？（沒按一下按鈕電視會(huì)增加或減少一個(gè)頻道）

①■ ②■ ③■

④■ ⑤■

總體上來看，中國高考數(shù)學(xué)試題的表現(xiàn)形式比較規(guī)范，考查的知識(shí)點(diǎn)比較精細(xì)，強(qiáng)調(diào)雙基和運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，而日韓兩國的試題更加強(qiáng)調(diào)考查學(xué)生的形象思維及理解能力、解決問題的能力，所以在高考數(shù)學(xué)編制試題方面，日韓兩國的這些優(yōu)點(diǎn)值得中國借鑒.

參考文獻(xiàn)：

[1]趙榮夫.高考數(shù)學(xué)試題的背景研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2006，（12）.

[2]周莉莉.中日韓數(shù)學(xué)高考對(duì)比探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2001，（4）.

[3]劉文.日本數(shù)學(xué)課程改革的特點(diǎn)及其啟示[J].教育科學(xué)，2000，（4）.

高考數(shù)學(xué)歸納法范文第4篇

關(guān)鍵詞： 數(shù)列求和 公式 常用方法

牢記等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，利用公式求和是一切求和方法的根本.在牢記公式的基礎(chǔ)上，要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用公式，會(huì)利用公式的變形進(jìn)行求和.下面對(duì)數(shù)列求和的經(jīng)典方法一一進(jìn)行介紹.

1.部分求和法

何謂部分求和，一分為二看，就是將數(shù)列分成兩個(gè)或兩個(gè)以上可直接求和的數(shù)列，然后求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.

例1：求和：3+5+7+…+［（2n+1）+］.

解：原式=［3+5+7+…+（2n+1）］+［+++…+］

=+=n+2n-+1

2. 并項(xiàng)求和法

將數(shù)列的某些項(xiàng)先合并，使合并后可化為直接求和的數(shù)列就是一種很有效的方法：遇通項(xiàng)還未求和的數(shù)列求和時(shí)，先將各項(xiàng)求和再求和.

例2：求1,1+2,1+2+2,…，1+2+2+…+2的前n項(xiàng)和.

解：s=1+（1+2）+（1+2+2）+…+（1+2+2+…+2）

因?yàn)?+2+2+…+2==2-1

所以s=（2-1）+（2-1）+（2-1）+…+（2-1）

=（2+2+2+…+2-n=-n=2-n-2

3.列項(xiàng)求和法

如果數(shù)列通項(xiàng)滿足a=（d>0）的形式，就可列項(xiàng)為（-），然后進(jìn)行消項(xiàng)求和.

例3：求和：+++…+.

解：原式=（1-）+（-）+（-）+…

+（-）

=（1-+-+-+…+-）

=（--）=

4.錯(cuò)位相減法

若數(shù)列{a}是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，c=ab，則求數(shù)列{c}前n項(xiàng)和s用該方法.

例4：求和：s=+++…+.

解：因?yàn)閟=+++…+（1）

s=（++…+）+（錯(cuò)位）（2）

由（1）-（2）得（相減）：

s=（+++…+）-=-

所以s=1-.

5.降次求和法

根據(jù)一些恒等式，將高次項(xiàng)求和問題轉(zhuǎn)化為低次項(xiàng)求和問題的方法.

例5：求和：（1+1）-1+（2+1）-2+…+（n+1）-n.

解：因?yàn)椋╪+1）-n=3n+3n+1

所以s=（3×1+3×1+1）+（3×2+3×2+1）+…+（3n+3n+1）

=3（1+2+…+n）+（3×1+1+3×2+1+…+3n+1）

=3+

=

=n+2n+3n

6.猜想證明法

由遞推關(guān)系給出的數(shù)列的通項(xiàng)來求和，該方法關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件寫出a的通項(xiàng)公式再求和.

例6：已知數(shù)列中{a}中，a=1,a=a+，求s.

解：因?yàn)閍=a+;2a+1;2a-2a=1，

所以{2a}成以1為公差的等差數(shù)列，

所以2a=2a+（n-1）×1=n.

所以a=n（）,S=1×（）+2×（）+3×（）+…+n（）（1）

S=1×（）+2×（）+…+（n-1）（）+n（）（2）

由（1）-（2）得：

S=1++…+（）-n（）=-n（）

=-（）（+n）+

7.倒序求和法

例如：如果一個(gè)數(shù)列，與首末等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可把“正著寫的和式”與“倒著寫的和式”相加，得到一個(gè)常數(shù)列的和，這種求和方法就可看作是靈活利用公式求和的典型，稱為倒序相加求和法．

例7：若f（x）=，求和：f（-5）+f（-4）+…+f（0）+f（5）+f（6）.

解：令s=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+f（5）+f（6），

則s=f（6）+f（5）+…+f（1）+f（-4）+f（-5）,

所以

2s=［f（-5）+f（6）］+［f（-4）+f（5）］+…+［f（0）+f（1）］+…+［f（6）+f（-5）］

又

f（x）+f（1-x）=+

=

==

所以2s=×12=6，得s=3.

8.周期法

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，所以數(shù)列中也必然存在著周期問題． 有些數(shù)列題，表面上看與周期無關(guān)，但實(shí)際上隱含著周期性，一旦揭示了其周期性，問題便迎刃而解．

例8： 數(shù)列{a}中，a=1，a=2，若對(duì)一切n∈N，有aaa=a+a+a，且aa≠1，則該數(shù)列2008項(xiàng)的和s的值是多少？

解:由a=1，a=2，得a=3，所以s=6. 因?yàn)閍aa=a+a+a，所以aaa=a+a+a.兩式相減得aa（a-a）=a-a，又aa≠1,所以a=a，周期T=3.所以s=s+a=669s+a=4015.

9.導(dǎo)數(shù)法

抓住數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，啟迪直覺，類比“記憶模式”，精心聯(lián)想，構(gòu)造恒等式，借助導(dǎo)數(shù)，得到新的恒等式，出奇制勝.

例9： 已知n∈N，求和：C+2C+3C+…+nC.

解：由（1+x）=C+2C+3C+…+nC

兩邊求導(dǎo)得：

n（1+x）=C+2C+3Cx+…+nCx

令x=1，得C+2C+3C+…+nC=n•2

10.數(shù)學(xué)歸納法

有些題目可通過求出{a}的前幾項(xiàng)之和，猜想出s，然后用數(shù)學(xué)歸納法給予嚴(yán)格證明.

例10：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和為s，滿足3（s+nb）=1+2b（n∈N），求s.

解：因?yàn)閟=b，由3（s+nb）=1+2b得3（s+s）=1+2s，

所以s=.

而b=s-s，所以3［s+2（s-s）］=1+2（s-s），得s=.

同理可得s=，猜測(cè)s=（n∈N）.

下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.

（2）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即s=（k∈N）.

由題設(shè)3［s+（k+1）b］=1+2b，得b=.

又因?yàn)閟=s+b，所以s=＋，

解得s=.

這就是說n=k+1時(shí)結(jié)論成立.

根據(jù)（1）（2），對(duì)于n∈N，s=總成立.

參考文獻(xiàn)：

［1］張娟. 數(shù)列求和的幾種有效方法［J］. 數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2010，（09）.

［2］王友紅.一些特殊數(shù)列的求和［J］.考試（高考數(shù)學(xué)版），2009，（Z4）.

［3］林明成. 數(shù)列求和十法［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2010，（09）.

高考數(shù)學(xué)歸納法范文第5篇

【關(guān)鍵詞】數(shù)列求和 常用方法 高考難點(diǎn) 高考教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2012）24-0149-01

數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考的難點(diǎn)，縱觀山西省近幾年高考數(shù)學(xué)的最后一題，都是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、立體幾何、導(dǎo)數(shù)、三角、向量、二項(xiàng)式等知識(shí)聯(lián)系在一起，以它的復(fù)雜多變、綜合性強(qiáng)、解法靈活等特征成為高考的壓軸題，因此搞好數(shù)列求和的學(xué)習(xí)是非常重要的，經(jīng)過整理，常見的數(shù)列求和的方法有四種：

一 常用公式法

直接利用公式求和是數(shù)列求和最基本的方法。常用的數(shù)列求和公式有：

Sn= =na1+ d （ 為等差數(shù)列）

Sn= = （q≠1）或sn=na1（q=1）

（ 為等比數(shù)列）

二 乘比錯(cuò)位相減法

對(duì)于數(shù)列 ，若an=bn·cn且數(shù)列 、 分別是等

差數(shù)列、等比數(shù)列時(shí)，求該數(shù)列 前n項(xiàng)和時(shí)，可用該方法。

例1：求和Sn= + + + +… 。

設(shè)an= =n· ，其中 為等差數(shù)列， 為等比數(shù)

列，公比為 ，利用錯(cuò)位相減法求和。

兩端同乘以 ，再兩式相減得：Sn=2- - 。

說明：乘比錯(cuò)位相減法實(shí)際上是把一個(gè)數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問題。

三 分組求和法

對(duì)于數(shù)列 ，若an=bn± 且數(shù)列 、 …都能

求出其前n項(xiàng)的和，則在求 前n項(xiàng)和時(shí)，可采用該法。

例2：求和Sn=0.9+0.99+0.999+0.9999+… 。

解：設(shè)an= =1-10-n

Sn=a1+a2+a3+a4+…+an

=n- （1-10-n）

四 倒序相加法和倒序相乘法

1.倒序相加法

在教材上推導(dǎo)等差數(shù)列 前n項(xiàng)和Sn的公式：Sn=

使用的就是該法，推導(dǎo)過程參看教材。

例3：求和S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°。

解：S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° （1）

S=cos21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289° （2）

由（1）+（2）得：S= 。

例4：求和Sn= +2 +3 +…n 。

解析：據(jù)組合數(shù)性質(zhì) = ，將Sn倒序?qū)憺椋篠n=n +（n-1） + 。

以上兩式相加得：2Sn=n（ + + +…+ + ）=n·2n。

因此，Sn=n·2n-1。

2.倒序相乘法

例5：已知a、b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，在a、b之間插入n個(gè)正數(shù)，使它們構(gòu)成以a為首項(xiàng)，b為末項(xiàng)的等比數(shù)列，求插入的這n個(gè)正數(shù)的積pn。

解：設(shè)插入的這n個(gè)正數(shù)為a1、a2、a3…an，且數(shù)列a1、a2、a3…an、b成等比數(shù)列。

則：ab=a1·an=a2·an-1=…

pn=a1·a2·a3…an （3）