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函數(shù)思想范文第1篇

關(guān)鍵詞 中學(xué)數(shù)學(xué) 函數(shù) 函數(shù)思想

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2017.04.052

An Analysis of the Thought of Mathematical Function in Middle School

ZHAO Sheng

（Zhanyi Area No.3 Middle School， Qujing， Yunnan 655331）

Abstract Function thought is one of the most basic mathematical ideas， function is the core content of middle school mathematics， it runs through the entire secondary school. Understanding and mastering the function thought can help the learners to understand the true meaning of mathematics， enhance the enthusiasm of the students to learn mathematics， and help mathematics learning. This paper analyzes the importance of the function of thought， from the application and function thought in mathematics teaching in high school mathematics teaching how to penetrate the function of thought were discussed， so as to achieve the function of ideological understanding in middle school mathematics.

Key words middle school mathematics； function； function thought

函鄧枷朧竊謔學(xué)的發(fā)展史中形成的，它是人們對(duì)函數(shù)知識(shí)的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)，來(lái)源于函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，它在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中起著重要的作用，是教材體系的靈魂。在中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，加強(qiáng)函數(shù)思想教學(xué)可以幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)知識(shí)、形成正確的教學(xué)觀念和優(yōu)秀的數(shù)學(xué)精神；它是落實(shí)素質(zhì)教育的有效途徑和重要手段；還可以提高教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)水平；有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義能力與函數(shù)應(yīng)用能力。隨著數(shù)學(xué)教育的改革與發(fā)展，中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)思想日趨凸顯，從事數(shù)學(xué)教育以及一些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者越來(lái)越認(rèn)識(shí)到函數(shù)思想的重要性。函數(shù)是支撐中學(xué)數(shù)學(xué)的骨架，是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一，貫穿整個(gè)中學(xué)階段。從歷年中考、高考的情況來(lái)看，以函數(shù)為核心編制的題目立意新穎，知識(shí)覆蓋面廣，靈活性較強(qiáng)，有比較理想的選拔功能。所以函數(shù)思想有極高的研究?jī)r(jià)值。作為數(shù)學(xué)教育工作者了解函數(shù)思想的產(chǎn)生、發(fā)展和特點(diǎn)，掌握函數(shù)運(yùn)動(dòng)的發(fā)展規(guī)律，形成正確的教學(xué)觀，從而提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的駕馭能力。本文通過(guò)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)思想的研究來(lái)指導(dǎo)教育工作者更加有效地進(jìn)行教學(xué)，同時(shí)也為新課改提供有力依據(jù)，給學(xué)生的學(xué)習(xí)指引正確的方向。

1 函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)是數(shù)集之間的特殊映射，反映事物的內(nèi)部聯(lián)系，縱觀整個(gè)中學(xué)階段，函數(shù)將大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)緊扣在一起，形成一個(gè)以函數(shù)為中心向四周擴(kuò)散的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，而函數(shù)思想則是形成這個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的靈魂。函數(shù)思想的應(yīng)用就是對(duì)于一些實(shí)際問(wèn)題、數(shù)學(xué)問(wèn)題構(gòu)建一個(gè)函數(shù)模型，應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)更快更好地解決問(wèn)題，而構(gòu)造函數(shù)模型是函數(shù)思想的重要體現(xiàn)。接下來(lái)筆者將從以下幾個(gè)方面闡述函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

1.1 函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的宏觀應(yīng)用

函數(shù)思想的宏觀應(yīng)用也就是函數(shù)性質(zhì)的直接應(yīng)用，即應(yīng)用初等函數(shù)的基本性質(zhì)（定義域、值領(lǐng)、單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性、連續(xù)性、對(duì)稱性、圖像等）求解有關(guān)的值、討論參數(shù)的取值等問(wèn)題，只要掌握函數(shù)的基本概念與性質(zhì)，直接對(duì)其加以簡(jiǎn)單應(yīng)用就行，直觀明了，同樣也是函數(shù)思想的簡(jiǎn)單體現(xiàn)。

例1 函數(shù) （） = + 3 + 有極值，又在其曲線上極大和極小的點(diǎn)分別為、，若線段（不含端點(diǎn)）與曲線交于點(diǎn)（1，0），求的值。

分析：首先弄清已知條件，已知①一個(gè)含參數(shù)的三次函數(shù)；②函數(shù)有極值；③有極大和極小點(diǎn)，；④線段（不含端點(diǎn)）與曲線交于點(diǎn)（1，0）。解題目標(biāo)是求的值。

由 '（） = 3 + 6 = 0得 = 0， = 。

（0，），（， + ）

再由點(diǎn)（1，0）在曲線上以及三點(diǎn)共線，解得

這個(gè)結(jié)果是否正確？還是要注意題目的條件，即條件④中有一點(diǎn)容易被忽略，這就是點(diǎn)應(yīng)在線段的內(nèi)部，因此應(yīng)滿足0

1.2 函數(shù)思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的微觀應(yīng)用

函數(shù)與方程、不等式、角、數(shù)列等均有不同程度的內(nèi)在聯(lián)系，將一些非函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題、構(gòu)建函數(shù)模型就是函數(shù)思想的微觀應(yīng)用，也就是函數(shù)的間接應(yīng)用，此類題型可以鍛煉學(xué)習(xí)者的發(fā)散思維和邏輯推理能力。接下來(lái)將以幾個(gè)實(shí)例加以說(shuō)明。

1.2.1 活躍在方程、不等式中的函數(shù)思想

函數(shù)與方程、不等式有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，絕大多數(shù)方程與不等式的研究需要依靠函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，而函數(shù)性質(zhì)的研究則又需要依賴方程與不等式來(lái)完成，所以他們是相輔相成的。比若說(shuō)求定義域、函數(shù)單調(diào)性證明都需要借助不等式來(lái)完成；而解方程又是求函數(shù)的零點(diǎn)。所以在解關(guān)于方程與不等式這類題的過(guò)程中應(yīng)該考慮以函數(shù)為工具，加強(qiáng)函數(shù)、方程、不等式的綜合應(yīng)用能力，系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)各個(gè)模塊的知識(shí)。

例2 證明不等式0）。

分析：證明不等式有很多種方法，可以通過(guò)作差、作商、反證、放縮、構(gòu)造等不同方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，根據(jù)不同題目選擇合理方法可以達(dá)到事半功倍的效果。通過(guò)觀察，本題通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法來(lái)證明，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性來(lái)實(shí)現(xiàn)不等式大小，既方便又快捷。

證明：要證0），即證

令 = ，（>0）

當(dāng)>0時(shí)， = 1 / （1 + ）即

= 在（0，）上為單調(diào)遞減函數(shù)

那么就有0）

即 =

小結(jié)：本題通過(guò)構(gòu)造函數(shù)證明該不等式，是應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性求解問(wèn)題的典型例題，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而證明不等式，思路清楚，方法簡(jiǎn)單易懂。

1.2.2 三角函數(shù)思想的呈現(xiàn)

例3 已知為銳角，且，求的值。

分析：由的構(gòu)成特點(diǎn)，本題的化簡(jiǎn)變形，不宜按常規(guī)對(duì)的三角函數(shù)都采用降次的作法，而需把已知表達(dá)式中的含的三角函數(shù)升次，含的三角函數(shù)降次，即湊出和的表達(dá)式出來(lái)。

解：由（1），得3 = 2 （3）

由（2），得3 = 2 （4）

（3）鰨？），得 = （） = 0，

因?yàn)闉殇J角，所以0

1.2.3 實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)模型

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們會(huì)遇到很多抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果直接求解會(huì)非常困難或者是直接解不出來(lái)，這是我們應(yīng)該充分應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，試著應(yīng)用函數(shù)的思想去考慮，試著建立函數(shù)關(guān)系式，讓抽象、復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函數(shù)問(wèn)題，再應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)將它求解出來(lái)，這就是應(yīng)用函數(shù)思想求解數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的基本套路。

例4 （2012浙江省嘉興市）某汽車租賃公司擁有20輛汽車。據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)每輛車的日租金為400元時(shí)，可全部租出；當(dāng)每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項(xiàng)支出共4800元。設(shè)公司每日租出輛車時(shí)，日收益為元。（日收益=日租金收入平均每日各項(xiàng)支出）

（1）公司每日租出輛車時(shí)，每輛車的日租金為_(kāi)______元（用含的代數(shù)式表示）；

分析：本題為綜合性題目，主要考查二次函數(shù)實(shí)際問(wèn)題，怎樣建立函數(shù)關(guān)系式與找等量關(guān)系，函數(shù)關(guān)系建立好之后結(jié)合實(shí)際函數(shù)圖像做出解答。

解析：?jiǎn)屋v車日租金為：50（20）+400 = 140050

2 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透函數(shù)思想的途徑

中W數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)最重要的目的就是打開(kāi)學(xué)生的函數(shù)思維，提升學(xué)生們的函數(shù)素養(yǎng)，新一輪課程改革中，將函數(shù)思想作為必須掌握的教學(xué)要求，所以函數(shù)教學(xué)過(guò)程中不再一味地讓學(xué)生吸收理論知識(shí)與概念性內(nèi)容，而是讓學(xué)生獨(dú)立思考，老師引導(dǎo)，建立一定的函數(shù)思想基礎(chǔ)，從根本上提升自己的函數(shù)應(yīng)用能力。教學(xué)過(guò)程中滲透函數(shù)思想的途徑很多，接下來(lái)介紹三種滲透方式。

2.1 應(yīng)用函數(shù)思想探究數(shù)學(xué)知識(shí)

新的教育背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注重對(duì)學(xué)生培養(yǎng)知識(shí)形成的過(guò)程，在數(shù)學(xué)知識(shí)的探索過(guò)程中（比如說(shuō)一些公式、定理、性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程）就是數(shù)學(xué)思想方法的最佳體現(xiàn)時(shí)刻，因此教師在教學(xué)中，要重視公式、定理、性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程，盡量凸顯其相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生掌握基本知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)真諦。下面我們以函數(shù)思想為實(shí)例，演示探究數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中滲透函數(shù)思想。

2.2 在數(shù)學(xué)解題中滲透函數(shù)思想

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常出現(xiàn)課堂上學(xué)生聽(tīng)懂了，但是課后做同類型的題目是就無(wú)從下手，其原因就是在教學(xué)過(guò)程中，教師就題論題，拿到題目就草率地解答出來(lái)，遇到此類題時(shí)照葫蘆畫(huà)瓢，機(jī)械操作，學(xué)生感到厭煩，學(xué)生沒(méi)有真正認(rèn)識(shí)到題目的出處，沒(méi)有領(lǐng)略到數(shù)學(xué)思想方法。在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中滲透函數(shù)思想也就是在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中應(yīng)用函數(shù)的思想方法去求解繁瑣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如說(shuō)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等等基本性質(zhì)將其復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

例5 設(shè)不等式 + 2 + >0的解集為全體實(shí)數(shù)，求的取值范圍。

分析：題設(shè)不等式的系數(shù)比較復(fù)雜，可通過(guò)另設(shè)變?cè)姆椒?，使此題解題過(guò)程簡(jiǎn)化。

解：設(shè) = ，則 = ， = ，

而原不等式化成（） + 2>0

由題意知，

解得

函數(shù)思想范文第2篇

一、在等比數(shù)列中建立恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)

在等比數(shù)列求和中，通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)利用待定系數(shù)法使解題過(guò)程更加簡(jiǎn)便，同時(shí)避開(kāi)了繁瑣的計(jì)算過(guò)程.

例1：在等比數(shù)列中，前n項(xiàng)和為Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn.

思路分析：本題的常規(guī)解法是用等比數(shù)列求和公式Sn=■列出關(guān)于a1和q的方程組，解出a1和q，但計(jì)算繁瑣.若考慮到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn= ■=■-■.qn，設(shè)A=-■，則可以考慮建立目標(biāo)函數(shù) Sn=Aqn-A（A為待定系數(shù)），從而優(yōu)化了解題過(guò)程.

解：設(shè) Sn=Aqn-A，則S2=Aq2-2，Aqn-A=3 （1）

S4=Aq4-A， Aq4-A=15 （2）

列方程組解（1）（2）得，A=1，q=±2

Sn=2n-1或Sn=（-2）n-1

評(píng)述：此題如果注意到等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn可寫(xiě)成Sn=Aqn-A（A為待定系數(shù)）的形式，解題方法顯得巧妙一些.通過(guò)對(duì)這道題的仔細(xì)講解讓學(xué)生理解函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用，在今后解數(shù)列題時(shí)要巧妙的使用函數(shù)方法.

函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題，不僅是解決數(shù)列問(wèn)題的重要途徑，也是提高數(shù)學(xué)解題能力的重要一環(huán).用函數(shù)思想解數(shù)列問(wèn)題時(shí)，不僅要用到函數(shù)的形式，更重要的是應(yīng)用函數(shù)的思想方法通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，借助與函數(shù)性質(zhì)及圖像來(lái)解決問(wèn)題，會(huì)有事半功倍的效果.

二、利用函數(shù)的性質(zhì)解決等比數(shù)列問(wèn)題

利用函數(shù)的單調(diào)性解決數(shù)列中的問(wèn)題，會(huì)使得一道難題變得更簡(jiǎn)單.利用函數(shù)的一些性質(zhì)解答數(shù)列題中同樣如此.所以在解數(shù)列題時(shí)要思維活躍，多鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，不斷的去探索數(shù)列與函數(shù)的異同點(diǎn).

例2：已知數(shù)列a■的通項(xiàng)a■=（n+1）? （■）■（n∈N*），試問(wèn)該數(shù)列a■有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有求出最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，若沒(méi)有說(shuō)明理由.

解題思路：由于該數(shù)列不是直接與等比數(shù)列相關(guān)的數(shù)列，形式看起來(lái)比較復(fù)雜，但若從函數(shù)角度，可利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)研究.

解：a■n+1-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■?■

當(dāng)n0，即a■n+1>a■

當(dāng)n=9時(shí)，a■n+1-a■=0，即a■n+1=a■

當(dāng)n>9時(shí)，a■n+1-a■

故a1a11>a12>…這說(shuō)明數(shù)列a■中存在最大項(xiàng)，為第9項(xiàng)或第10項(xiàng).

函數(shù)思想范文第3篇

關(guān)鍵詞：函數(shù)模型法；微分思想；數(shù)學(xué)模型

中圖分類號(hào)：G632.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）33-0077-02

構(gòu)造函數(shù)模型是一種富有創(chuàng)造性的方法，它很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)散、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、試驗(yàn)、探索、概括、特殊化的思想。在近年高考中有不少精彩的題目，而且有些是壓軸題中經(jīng)?？疾榈?，是高考考查的重要思想方法之一。而導(dǎo)數(shù)方法與構(gòu)造函數(shù)模型思想一旦結(jié)合起來(lái)，問(wèn)題的設(shè)計(jì)便更加廣闊，解決問(wèn)題的方法就更為簡(jiǎn)便。本文期望利用構(gòu)造函數(shù)模型的思想，以導(dǎo)數(shù)為工具探討中學(xué)數(shù)學(xué)解題的方法技巧，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

一、導(dǎo)數(shù)工具有助于學(xué)生把握函數(shù)性質(zhì)

在高中階段，學(xué)生主要通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)的定義域、值域等性質(zhì)，來(lái)理解函數(shù).函數(shù)的這些性質(zhì)都可通過(guò)圖像表示，因而，通過(guò)函數(shù)的圖像，函數(shù)的性態(tài)也容易掌握了。但是，對(duì)于非初等函數(shù)，不易作出圖像，學(xué)生就可以利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)，再結(jié)合描點(diǎn)法，就能大概作出函數(shù)的圖像.在直觀上提高學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的掌握。

二、微分方法與函數(shù)模型法相結(jié)合的作用

通過(guò)數(shù)學(xué)模型建立函數(shù)關(guān)系，然后用導(dǎo)數(shù)作為工具，可以解決數(shù)學(xué)上用初等數(shù)學(xué)方法不能解決的許多問(wèn)題，充分發(fā)揮微分思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的作用，從而提高解決問(wèn)題的能力.以導(dǎo)數(shù)作為工具，結(jié)合函數(shù)模型法思想，在不等式的證明、數(shù)列的求和問(wèn)題，以及實(shí)際問(wèn)題等方面有非常重要的作用。

1.利用結(jié)合思想可以證明不等式。在新課程的高考中，與不等式的證明等相關(guān)的問(wèn)題，包含的信息量較大.利用微分思想來(lái)證明，可以先構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，使函數(shù)和不等式建立聯(lián)系.然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到單調(diào)性，使所解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較函數(shù)值大小的問(wèn)題。

例1.證明：若x>0，則有l(wèi)n（1+x）>x-■x2.

證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-（x-■x2），可求得其定義域?yàn)椋?1，+∞），可以計(jì)算得f'（x）≥0，即f（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)遞增。所以當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>f（0）=0，故不等式成立。

2.利用結(jié)合思想可以求實(shí)常量的取值范圍。求實(shí)常量的取值范圍是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，求實(shí)常量取值范圍的很多問(wèn)題依靠常規(guī)的方法很難處理，利用結(jié)合思想，處理起來(lái)非常方便，下面通過(guò)例子來(lái)具體說(shuō)明。

例2.若對(duì)？坌x∈R，不等式x4-4x3>2-m恒成立，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析：將含參數(shù)的不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最小值，方可確定出參數(shù)的范圍。

解：構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=x4-4x3，再設(shè)f'（x）=0，可求得x=0或x=3.

當(dāng)x

注：構(gòu)造多項(xiàng)式函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵。

3.利用結(jié)合思想可以解決數(shù)列問(wèn)題。通過(guò)數(shù)學(xué)模型建立函數(shù)關(guān)系，然后用導(dǎo)數(shù)作為工具，可以解決學(xué)生難以掌握的、有時(shí)技巧性很高或者計(jì)算十分煩瑣的數(shù)列的和的問(wèn)題。

例3.求和：S■=C■■+2C■■+3C■■+…nC■■（n∈N*）.

解：因（1+x）n=C■■+C■■x+C■■x2+…+C■■xn，則該式兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，兩邊都對(duì)x求導(dǎo)得：n（1+x）n-1=C■■+2C■■x+3C■■x2+…+nC■■xn-1，令x=1，即得Sn=n?2n-1

4.利用結(jié)合思想可以研究方程根的情況。通過(guò)數(shù)學(xué)模型建立函數(shù)關(guān)系，然后用微分思想可以很容易確定方程根的問(wèn)題，具體方法為：觀察函數(shù)的圖形變化，得出函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，最后得出所求范圍內(nèi)方程解的個(gè)數(shù)。

例5.若a>3，則方程x3-ax2+1=0在[0，2]上有多少個(gè)根？

解：設(shè)f（x）=x3-ax2+1，求導(dǎo)可得：當(dāng)a>0，x∈（0，2）時(shí)，f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，且f（0）?f（2）

5.利用結(jié)合思想近似計(jì)算。由導(dǎo)數(shù)的定義知，當(dāng)Δx充分小時(shí)，f（x0+Δx）≈f（x0）+f'（x0）?Δx.

例6.不查表，求sin46°的值。

解：令y=sinx，取x0=45°，x=45°+1°，代入上式即可得結(jié)論。

6.利用結(jié)合思想是學(xué)好理科其他課程的前提。微分學(xué)發(fā)展初始，就與物理、化學(xué)、生物、天文、工程以及地質(zhì)學(xué)等學(xué)科密不可分。只要涉及到變化問(wèn)題，就可以利用導(dǎo)數(shù)討論該過(guò)程的變化情況。所以，無(wú)論物理還是化學(xué)問(wèn)題都可以通過(guò)微積分的思想來(lái)解決了。

7.利用結(jié)合思想解決立體幾何中的問(wèn)題。

例7.設(shè)A，B是球面上的兩點(diǎn)，弧AmB是過(guò)A、B兩點(diǎn)的大圓的劣弧，弧AnB是過(guò)A、B兩點(diǎn)的任意小圓的弧。設(shè)小圓的半徑為r，圓心為o'；大圓的半徑為R，圓心為o，大圓面與小圓面交于A、B。求證：弧AmB

證明：記∠AOB=α，∠AO'B=β，則有AB=2Rsin■及AB=2rsin■.

因?yàn)镽>r，由題意sin■

現(xiàn)在只要證明Rα

故只需證明■

為此構(gòu)造函數(shù)f（x）=■，x∈（0，π）.

因?yàn)閒'（x）

8.建立微分模型是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵?！皩W(xué)以致用”，只有懂得數(shù)學(xué)如何去應(yīng)用，才是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的關(guān)鍵。萬(wàn)事萬(wàn)物都在變化，大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題都可通過(guò)建立微分模型來(lái)解決。具體為：翻譯實(shí)際問(wèn)題，建立微分模型，通過(guò)求導(dǎo)運(yùn)算，得到問(wèn)題的解決。新課程實(shí)行以來(lái)，逐漸加大了對(duì)實(shí)際問(wèn)題的考查力度，比如優(yōu)化問(wèn)題、路線問(wèn)題等，通過(guò)建立微分模型來(lái)解決非常方便。

例8.用PVC材料制作一個(gè)立方體容器，其長(zhǎng)為12m，要求容器的底面長(zhǎng)、寬差1m，當(dāng)高為多少時(shí)，容積最大？并求出Vmax.

解：設(shè)容器長(zhǎng)為xm，則寬為（x+1）m，高為（2-2x）m.

設(shè)容器的容積為Vm3，則有V=-2x3+2x2，（0

因此，當(dāng)x=■時(shí)，Vmax=■，這時(shí)高為■，故高為■m時(shí)容器的容積最大，最大容積為■m3.

參考文獻(xiàn)：

[1]北京師范大學(xué)數(shù)力系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].第三版.北京：高等教育出版社，1998.

函數(shù)思想范文第4篇

一、在已知圖形中搜集信息

二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1）;點(diǎn)F（0，1）在y軸上，直線y=1與y軸交于點(diǎn)H。

（1）求二次函數(shù)的解析式;

（2）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=1交于點(diǎn)M，求證：FM平分∠OFP。

解析：二次函數(shù)的解析式可以順利解決，對(duì)于（2）點(diǎn)P是（1）中圖象上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=1交于點(diǎn)M，求證：FM平分∠OFP;我們要挖掘圖象蘊(yùn)含的信息，PM平行于y軸，可得∠OFM =∠PMF，接下來(lái)探究∠PMF是否等于∠PFM，因?yàn)镻在二次函數(shù)的圖象上，可以設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，那么由P向y軸作垂線段PB，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理表達(dá)出PF的長(zhǎng)度，依據(jù)P的坐標(biāo)可以表示PM的長(zhǎng)度，那么可以證明PF= PM，于是可以得到∠PMF=∠PFM，所以∠OFM=∠PFM，結(jié)論得到證明。本題的解決依賴于通過(guò)“數(shù)”：PM、PF的長(zhǎng)度的表達(dá)式證明二者相等，數(shù)相等，線段長(zhǎng)相等，通過(guò)“形”的狀態(tài)得到“數(shù)”的性質(zhì)，又通過(guò)“數(shù)”的性質(zhì)演繹出“形”的狀態(tài)。

二、畫(huà)圖象并搜集信息

有些二次函數(shù)問(wèn)題需要自己動(dòng)手畫(huà)出相應(yīng)的圖象，然后整理所畫(huà)圖象中蘊(yùn)含的信息，從而使問(wèn)題得到解決，看下面的問(wèn)題：

例如：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）

解析：首先探究怎樣根據(jù)題意畫(huà)出y=|ax2+bx+c|的圖象，當(dāng)ax2+bx+c≥0，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸上方，此時(shí)y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c，y=|ax2+bx+c|的圖象是函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在x軸上方部分的圖象，當(dāng)ax2+bx+c<0時(shí)，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸下方，此時(shí)y=|ax2+bx+c|=-（ax2+bx+c），因此y=|ax2+bx+c|的圖象是函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在x軸下方部分與x軸對(duì)稱的圖象。

已知y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是-2，所以函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在x軸上方部分與x軸對(duì)稱的圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是2，所以畫(huà)出y=|ax2+bx+c|的圖象如圖：

因?yàn)閗≠0時(shí)，函數(shù)圖象在直線y=2的上方時(shí)，縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)有兩個(gè);函數(shù)圖象在直線y=2上時(shí)，縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)有三個(gè);函數(shù)圖象在直線y=2的下方時(shí)，縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)有四個(gè)。

所以若|ax2+bx+c|=k有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)圖象應(yīng)該在y=2的上邊，可得出|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，k的取值范圍是 k>2。

函數(shù)思想范文第5篇

我們知道，函數(shù)知識(shí)揭示了在運(yùn)動(dòng)與變化過(guò)程中，量與量之間存在的一般性規(guī)律，研究函數(shù)的性質(zhì)與圖象，即是探尋用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來(lái)觀察、分析問(wèn)題的方法.因此，如果我們能夠運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)、方法去考慮分析問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題的條件及所給數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式，使原問(wèn)題在函數(shù)關(guān)系中實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，再借助函數(shù)的圖象與性質(zhì)，就能化難為易，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.

例1 某學(xué)校廣場(chǎng)有一段25m長(zhǎng)的舊圍欄（如圖中用線段AB來(lái)表示）.現(xiàn)打算利用該圍欄的一部分，圍造一塊面積為100m2的長(zhǎng)方形草坪（即圖中的CDEF，CD

（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

（2）若計(jì)劃修建費(fèi)為150元，則應(yīng)利用舊圍欄多少米？

（3）若計(jì)劃修建費(fèi)只有120元，則能否完成該草坪圍欄的修建任務(wù)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

解：（1）由題意，得y=1.75x+4.5x+4.5×2×100x=6.25x+900x（10

（2）由題意，得150=6.25x+900x.

整理，得x2-24x+144=0，即（x-12）2=0.

x1=x2=12（m），即應(yīng)利用舊圍欄12m.

（3）假設(shè)總費(fèi)用為120元，能完成圍建任務(wù).則

120=6.25x+900x.

整理，得x2-19.2x+144=0.

=19.22-4×144

120元不能完成圍建任務(wù).

點(diǎn)評(píng)：本例是運(yùn)用函數(shù)思想及方程知識(shí)對(duì)校園工程建設(shè)作出正確的預(yù)算，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

圖2

例2 如圖2，ABC中，AB=AC=5，BC=6，矩形DEFG的頂點(diǎn)D在AB上，E、F在BC上，G在AC上.

（1）設(shè)BE=x，S四邊形DEFG=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；

（2）連接EG，當(dāng)x取何值時(shí)，EG∥AB？并求出此時(shí)矩形DEFG的面積.

圖3

解：（1）如圖3，作AHBC于H，BE=FC=x，且BC=6，得BH=3，AH=4.由DEAH=BEBH，得DE=43x，EF=6-2x.

y=DE·EF=43x·（6-2x），y=-83x2+8x （0

（2）DE∥AH，

BDAB=BEBH，即BD5=x3，得BD=53x，

又可證BD=GC，

AG=AD=5-53x.

由EG∥AB，得BEBC=AGAC，即x6=5-53x5，解此方程，得x=2.

當(dāng)x=2時(shí)，EG∥AB.把x=2代入（1）中的解析式，得y=-83x2+8x2=163.