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數(shù)值方法范文第1篇

關(guān)鍵字：內(nèi)域；數(shù)值計(jì)算；有限元

中圖分類號(hào)：TU315.3

1.引言

雖然目前技術(shù)和計(jì)算設(shè)備發(fā)展十分迅速，計(jì)算能力不斷提高，一些大型通用有限元軟件已經(jīng)具備十分強(qiáng)大的分析功能，它解決了地震反應(yīng)的許多實(shí)際工程結(jié)構(gòu)分析的問(wèn)題。但對(duì)于一些大型復(fù)雜體系而言，空間離散的自由度數(shù)目非常龐大，數(shù)值穩(wěn)定性的限制要求時(shí)間離散的步距也不能過(guò)大。這樣，開(kāi)展結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析時(shí)所需要完成的時(shí)空四維數(shù)值計(jì)算的工作量將變的很大。在工程設(shè)計(jì)中，需要分析各種工況下結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)行為，對(duì)比不同的設(shè)計(jì)方案并做出優(yōu)化決策，從而要求在設(shè)計(jì)期內(nèi)多次完成結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)計(jì)算。在數(shù)值精度的基礎(chǔ)上，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定和提高結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析方法的核心計(jì)算效率。研究高效率的大型復(fù)雜體系地震反應(yīng)數(shù)值分析方法，減少計(jì)算費(fèi)用仍然是非?，F(xiàn)實(shí)的考慮，它具有重要理論意義和實(shí)用價(jià)值。

地震反應(yīng)分析的數(shù)學(xué)物理模型就是波動(dòng)方程。波動(dòng)數(shù)值模擬包含兩個(gè)部分，一是對(duì)人工邊界的數(shù)值模擬，二是對(duì)內(nèi)域的數(shù)值模擬。這里僅討論對(duì)內(nèi)域的運(yùn)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值模擬問(wèn)題。

現(xiàn)有的內(nèi)域波動(dòng)的數(shù)值模擬方法，按能量等效式，可劃分為三類。一類是空間有限元方法。所謂空間有限元方法是指的空間用有限元法進(jìn)行離散，而使用一個(gè)直接的方式離散時(shí)間。第二類是時(shí)空有限元方法。這里是指對(duì)時(shí)間使用和對(duì)空間一樣的有限元法方式離散。時(shí)空有限元的時(shí)空域是空間有限元的空間域在時(shí)間域上增加了一個(gè)時(shí)間維度，區(qū)別只是處理時(shí)間域的先后上，空間有限元是先處理空間問(wèn)題，然后處理時(shí)間問(wèn)題，而時(shí)空有限元是同時(shí)處理時(shí)間和空間的問(wèn)題。第三類是微分求積方法，是直接的方式對(duì)空間和時(shí)間的離散。下面分別闡述這三類方法的應(yīng)用發(fā)展過(guò)程――

2.空間有限元方法

在1956年，有限元的概念首次被Turner等人提出，最早應(yīng)用于彈性力學(xué)平面應(yīng)力問(wèn)題上。1963年，Besseling、Melosh和Jones等人發(fā)現(xiàn)有限元法和基于變分原理的里茲法是等效的。有限元法在處理連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題上比普通里茲法更有優(yōu)勢(shì)。隨后幾十年，在解決復(fù)雜工程問(wèn)題上，有限元法得到廣泛的應(yīng)用。

波動(dòng)方程是時(shí)空耦合的，基于廣義Hamilton原理的波動(dòng)有限元方法通常也是時(shí)空解耦的數(shù)值過(guò)程。傳統(tǒng)有限元方法的離散過(guò)程通常包含兩步，先進(jìn)行空間離散，將微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程，然后對(duì)時(shí)間進(jìn)行離散，即在時(shí)域?qū)ΤＮ⒎址匠踢M(jìn)行數(shù)值積分。由于時(shí)空耦合的數(shù)值過(guò)程包含過(guò)多的自由度，求解這類方程在實(shí)際工程中很難實(shí)現(xiàn)，建立時(shí)空解耦的波動(dòng)數(shù)值分析方法是這方面重要的工作。最直接的做法是實(shí)現(xiàn)空間及時(shí)間域的解耦，通常是只建立空間的有限元離散方法，而時(shí)間采用直接的假設(shè)，最常用的是采用逐步積分的方式進(jìn)行離散。

逐步積分法簡(jiǎn)單來(lái)講就是把最終速度和位移由它們的初始值和一個(gè)積分表達(dá)式來(lái)表示。加速度歷程的積分決定速度的變化，速度的積分決定位移的變化。換句話說(shuō)，加速度控制了速度的變化，因而可以由這一步向前獲得下一時(shí)間步。解答這類問(wèn)題，第一步先考慮時(shí)間步內(nèi)的加速度問(wèn)題，假設(shè)加速度是如何變化的，依據(jù)加速度和位移的關(guān)系，得到關(guān)于時(shí)間步的遞推公式。所謂的Euler-Gauss法就是假設(shè)在時(shí)間間隔內(nèi)加速度為常數(shù)。而Newmark[1]法是加入系數(shù)從而可以改變初始和最終加速度的權(quán)重從而得到加速度的一種方法。Wilson- [2]方法是假定在時(shí)間步距內(nèi)加速度為線性加速度的一種數(shù)值方法，用內(nèi)插公式得到體系在下一刻的運(yùn)動(dòng)。α方法[3]是在Newmark方法的基礎(chǔ)上，通過(guò)修改結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程的時(shí)間離散形式得到的。Chung 和 Hulbert 發(fā)展了一種無(wú)條件穩(wěn)定的隱式廣義α法，它由三個(gè)參數(shù)控制數(shù)值損耗。Runge-Kutta[4， 5]方法是在一個(gè)時(shí)間步距中內(nèi)插若干計(jì)算點(diǎn)，利用這些計(jì)算點(diǎn)上函數(shù)值線性組合來(lái)代替函數(shù)的泰勒展開(kāi)中的高階導(dǎo)數(shù)，從而提高精度階。不同于兩步信息預(yù)測(cè)，線性多步法[6]發(fā)展了多步信息來(lái)預(yù)測(cè)下一步，從而獲得了更高的精度。

逐步積分是最主要的時(shí)域積分方法，而它最常規(guī)的做法是差分法。時(shí)域有限差分法（Finite Difference Method， 簡(jiǎn)稱FDM），是地震波傳播模擬最廣泛被使用的一類方法[kelly―Marfurt，1990][7-10]。有限元差分是將微分方程中的微分項(xiàng)用相應(yīng)的差商代替，從而將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式的差分方程。

由微商和差商的定義可以知道，微分的有限形式是差分，而導(dǎo)數(shù)的有限形式是差商。而微分和導(dǎo)數(shù)是以極限形式表示。數(shù)值計(jì)算方法導(dǎo)數(shù)可以用差商的自變量趨近于零來(lái)代替，換句話說(shuō)，位移對(duì)時(shí)間的求導(dǎo)可以用有限差分的方式得到，位移的一階導(dǎo)數(shù)是速度，二階導(dǎo)數(shù)加速度。當(dāng)世界步距為等步長(zhǎng)，得到中心差分。差商代替微分方程中的導(dǎo)數(shù)，就可以得到微分方程的有限差分形式。。較之傳統(tǒng)有限元法，雖然在定義幾何結(jié)構(gòu)上不夠靈活，但時(shí)域有限差分法具有顯式計(jì)算的優(yōu)勢(shì)，計(jì)算效率高，計(jì)算精度高于顯示有限元法。這些方法的缺點(diǎn)是精度不高，只有一階或者二階精度，難以模擬高頻問(wèn)題，這類無(wú)法避免算法阻尼，從而形成較大的誤差。

為了克服低精度的問(wèn)題，很多高精度的數(shù)值積分方法相繼提出。不僅僅四階，五階精度，甚至更高精度的數(shù)值積分方法處在發(fā)展之中。Golley[11]為了得到三階精度的格式，對(duì)時(shí)間域采用高斯點(diǎn)作為配置點(diǎn)。在哈密頓變分原理的基礎(chǔ)上，Riff和Barch[12] 采用3次多項(xiàng)式構(gòu)造插值函數(shù)，得到了有條件穩(wěn)定四階精度數(shù)值方法。Argyris[13]等在前人的基礎(chǔ)上，采用Hermitian插值，得到無(wú)條件穩(wěn)定四階精度數(shù)值方法。Kujawski和Gallagher[14]從另外一個(gè)角度，利用廣義最小二乘法，在無(wú)阻尼結(jié)構(gòu)中，構(gòu)造了一種四階精度的無(wú)條件穩(wěn)定積分格式。Tarnow和Simo[15]利用二階精度算法的結(jié)果，在此基礎(chǔ)上縮短時(shí)間間隔，構(gòu)造了一種四階精度算法。鐘萬(wàn)勰[16-19]在1994年提出了精細(xì)時(shí)程積分法。在保守系統(tǒng)下，積分結(jié)果保持系統(tǒng)守恒量不變。1995年在之前工作之上，鐘萬(wàn)勰提出了子域精細(xì)時(shí)程積分法，提高了計(jì)算效率，使工作量大大減小，存儲(chǔ)量大幅減小，為精細(xì)法應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。2000年，顧元憲[20]提出了增維精細(xì)積分法，改進(jìn)了矩陣的運(yùn)算，提高了精度。但局限條件較多。2004年，汪夢(mèng)甫[21]利用精細(xì)積分方法基本原理，采用高斯積分方法，建立了更新精細(xì)積分方法，這種精細(xì)方法適應(yīng)度高，為得到了廣泛的應(yīng)用提供了條件，并且提高了精度。理論上汪夢(mèng)甫分析了精細(xì)方法得到任意精度的可能。2009年，富明慧[22-25]在汪夢(mèng)甫研究的基礎(chǔ)上提出了高效高精度廣義精細(xì)積分法。

這類方法的困難在于不容易構(gòu)造精度較高的時(shí)間離散模式，并且空間有限元在時(shí)域上每個(gè)時(shí)間步逐步推進(jìn)，因而會(huì)產(chǎn)生誤差累積[26-32]。

3.時(shí)空有限元方法

時(shí)空有限元最早由J.TOden，I.Fried和J.H.Argyris等人提出。利用哈密頓原理建立關(guān)于時(shí)間邊界的變分原理。幾十年來(lái)，在各個(gè)領(lǐng)域得到全面的發(fā)展。在波動(dòng)問(wèn)題，動(dòng)力問(wèn)題，流體問(wèn)題等方向得到廣泛的應(yīng)用。

傳統(tǒng)的數(shù)值方法假定時(shí)間和空間是相互獨(dú)立的，這樣的假定廣泛應(yīng)用在實(shí)踐當(dāng)中并且在數(shù)學(xué)上很好理解。但是，使用上述技術(shù)同時(shí)也導(dǎo)致了數(shù)學(xué)上的困難。因?yàn)橛杏玫男畔⒖赡芡ㄟ^(guò)速度在結(jié)構(gòu)傳播，而沒(méi)有分離的時(shí)空格式能規(guī)避這種類型的數(shù)值困難。這就要求對(duì)時(shí)間的離散和對(duì)空間離散一樣使用有限元。例如，當(dāng)結(jié)構(gòu)是三維時(shí)，這種格式需要四維的維度來(lái)表示。從而需要對(duì)時(shí)間和對(duì)空間使用相同的離散方式?？臻g有限元對(duì)時(shí)間和空間分別離散，空間節(jié)點(diǎn)形成的網(wǎng)格只能處在同一時(shí)間下，形成的是規(guī)則網(wǎng)格。時(shí)空有限元同時(shí)對(duì)時(shí)間和空間進(jìn)行離散，理論上可以把網(wǎng)格劃成任意形狀，不必考慮相同的時(shí)間值，可以靈活的劃分。有限元方法區(qū)別于其它方法在于它利用能量等效原理將偏微分方程進(jìn)行積分。得到方程的弱形式。恰當(dāng)?shù)淖兎中问绞怯邢拊欠衲軌蚶媚芰康刃У年P(guān)鍵。而時(shí)空有限元能否成功取決于能否找到對(duì)應(yīng)的變分原理。

R.Riff和M.Baruch等人建立了一種能同時(shí)求解所有變量的時(shí)間有限元，這種有限元格式借鑒了空間有限元，把整個(gè)時(shí)間域看作是空間的延續(xù)，從而能夠求解不同時(shí)刻的變量。馮康是提出 羅恩在馮康的基礎(chǔ)上，完善了哈密頓型變分原理，發(fā)展了非傳統(tǒng)哈密頓變分原理。羅恩對(duì)比等價(jià)的正則方程和相空間變分原理，認(rèn)為即使是等價(jià)的，但由于形式的不同，產(chǎn)生的算法并不一定會(huì)有相同的效果。其結(jié)果就是相空間變分原理計(jì)算效率更高，也更接近物理問(wèn)題的本質(zhì)特征。沿著這個(gè)思路，羅恩建立了非傳統(tǒng)相空間哈密頓變分原理。劉世奎對(duì)哈密頓原理進(jìn)行了推廣，構(gòu)建時(shí)間邊界條件，建立了有兩個(gè)參數(shù)的廣義哈密頓變分原理，完成了從單一變量向多種變量的轉(zhuǎn)變。卓家壽等人在哈密頓體系下，推導(dǎo)了幾種變分原理的等價(jià)形式。羅恩在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了類變量廣義哈密頓變分原理，它包含了所有的條件?；谶@種變分原理提出在時(shí)間子域上進(jìn)行五次樣條插值的時(shí)間子域法。 2007年鐘萬(wàn)勰[38]發(fā)現(xiàn)時(shí)空有限元可以更高效的解決邊界問(wèn)題和多尺度剛度問(wèn)題。2013年朱寶[39]在鐘萬(wàn)勰的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究多尺度和邊界問(wèn)題，對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。

獲得高階精度，只需要提高多項(xiàng)式基函數(shù)的次數(shù)，從理論上來(lái)說(shuō)，時(shí)空有限元可以獲得任意精度?？臻g域增加時(shí)間域之后，單元的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)單，避免了空間有限元的復(fù)雜邊界。讓傳統(tǒng)的有限元得到更廣的應(yīng)用。是一種有很大發(fā)展空間的數(shù)值方法。

4.微分求積方法

Bellman和Casti[40]在1971年提出微分求積法的基本原理。此后，微分求積法因?yàn)樵砗?jiǎn)單，廣泛應(yīng)用在工程問(wèn)題中，微分求積法得到快速發(fā)展。

微分求積法即DQM方法，本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)在給點(diǎn)節(jié)點(diǎn)的值用全部節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值乘以系數(shù)并求和來(lái)代替。從而讓微分方程可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的一組代數(shù)方程組。由此可知，DQM是一種數(shù)值技術(shù)，它通常被用來(lái)解決初值和邊界問(wèn)題。從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，DQM是特殊的一種加權(quán)殘值法，而且是高階的有限差分法。DQM方法相對(duì)有限元方法而言，并不需要變分原理就可以求解微分方法。

從微分積分法的原理出發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)影響數(shù)值精度主要由兩個(gè)因素構(gòu)成。一方面是權(quán)系數(shù)的值，另一個(gè)方面是選取合適的網(wǎng)格離散點(diǎn)。其中網(wǎng)格離散點(diǎn)的選取和假設(shè)試函數(shù)的模式可以確定權(quán)系數(shù)，從另一個(gè)角度來(lái)說(shuō)，試函數(shù)的假設(shè)和網(wǎng)格點(diǎn)的選取是決定精度的關(guān)鍵因素。從而研究人員也沿著這個(gè)思路對(duì)微分求積方法進(jìn)行了探索。利用多項(xiàng)式是有限元試函數(shù)選取的基本思路。Bert和Wang[41]為試函數(shù)來(lái)求權(quán)系數(shù)，此時(shí)構(gòu)成線性方程組的系數(shù)矩陣是勒得蒙矩陣。但由于當(dāng)離散點(diǎn)數(shù)目增多以后，勒得蒙矩陣會(huì)出現(xiàn)病態(tài)。所以出現(xiàn)很大的誤差。后來(lái)。Quan[42， 43]用采用了Lagrange插值，得到了微分積分法一階和二階精度的公式。Bert和Striz[41]建立了HDQ方法，采用用不同于多項(xiàng)式的諧函數(shù)作為試函數(shù)，開(kāi)闊了研究思路。由上可知，試函數(shù)的選取并不是單一的，可以從多個(gè)角度來(lái)選取。不僅是諧函數(shù)或者多項(xiàng)式，甚至是指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等初始函數(shù)都可以作為試函數(shù)進(jìn)行研究。根據(jù)需要選擇混合初始函數(shù)來(lái)得到試函數(shù)是值得探索的方向。網(wǎng)格點(diǎn)的選擇方面，研究發(fā)現(xiàn)一些問(wèn)題對(duì)節(jié)點(diǎn)選取是很敏感的，等距網(wǎng)點(diǎn)因?yàn)槭褂梅奖愣幌炔捎茫墙Y(jié)果發(fā)現(xiàn)得到的解不夠理想。其實(shí)真實(shí)的狀況讓均勻網(wǎng)格模擬顯得不夠合理，發(fā)展非均勻網(wǎng)格更可能得到高精度方法。 Bellman[40]就用勒讓得多項(xiàng)式零點(diǎn)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)用其作為網(wǎng)格點(diǎn)提高了精度。在這啟發(fā)之下，Quan等研究了切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)，并且用之與其它正交多項(xiàng)式作了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)更有優(yōu)勢(shì)。此外，微分求積的研究的方向是更加具體的研究，Bellman[44]用微分求積法應(yīng)用到初值非線性偏微分方法得到高效精確的解法。 在多維問(wèn)題上，微分積分法也得到了應(yīng)用，Civan[45]得到了多維積分微分方程。Bert[46]首先將這種方法用到結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題的求解。2001年在DQM法則的基礎(chǔ)上，F(xiàn)ung[47， 48]建立了一種不同于邊值問(wèn)題的動(dòng)力微分方程解法，解決了初值問(wèn)題的動(dòng)力微分方程。并研究時(shí)間網(wǎng)點(diǎn)選擇方式對(duì)數(shù)值精度和穩(wěn)定性的影響，提出了一種高精度的時(shí)間網(wǎng)格離散方法。

微分求積法雖然發(fā)展的歷史比較短，但是由于這種方法原理簡(jiǎn)單，精度高，計(jì)算效率高，處理數(shù)據(jù)方便等優(yōu)點(diǎn)。在工程領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。

5.結(jié)語(yǔ)

有限元方法一直在數(shù)值模擬中很占有重要地位，這種思想在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮著很重要的作用。以有限元原理為基礎(chǔ)，發(fā)展的新方法讓數(shù)值計(jì)算展現(xiàn)出新的活力。但是數(shù)值模擬是一門(mén)深?yuàn)W的學(xué)問(wèn)，在理論上和實(shí)際應(yīng)用中還有很多不完善的地方，需要克服的缺點(diǎn)還有很多，本文作者僅僅就自己所涉及的研究領(lǐng)域做了一些簡(jiǎn)單的論述。

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數(shù)值方法范文第2篇

Lighthill利用保角變換的方法首先提出了二維翼型的反設(shè)計(jì)方法，Hicks，Murman和Henne等人將此方法發(fā)展為可應(yīng)用機(jī)設(shè)計(jì)的工程設(shè)計(jì)方法。后Campbell等提出過(guò)一種帶約束的直接迭代的表面曲率（CDISC）方法，Yu將其與N-S解算器耦合形成了一種翼型和機(jī)翼的設(shè)計(jì)方法。波音公司則將此方法發(fā)展成工程應(yīng)用的設(shè)計(jì)方法，并廣泛地應(yīng)用于波音的B757，B777和B737NG等型號(hào)的設(shè)計(jì)過(guò)程，取得了很好的效果。例如在B777研制中由于使用了反設(shè)計(jì)方法，僅經(jīng)過(guò)三輪機(jī)翼的設(shè)計(jì)便取得了滿意的結(jié)果，使風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)的機(jī)翼模型大大少于過(guò)去B757和B767設(shè)計(jì)時(shí)的數(shù)目，充分表明了該設(shè)計(jì)工具的作用。可以說(shuō)，反設(shè)計(jì)方法曾對(duì)民機(jī)設(shè)計(jì)起過(guò)革新性的推動(dòng)作用；但反設(shè)計(jì)方法也有其固有的弱點(diǎn)（參見(jiàn)文獻(xiàn)[13]的附錄D）：首先，對(duì)于高度三維的流動(dòng)要找到“好”的壓強(qiáng)分布很困難；其次，不能保證所得結(jié)果為最優(yōu)，即既具有高速巡航低阻的特性又在非設(shè)計(jì)條件下具有可接受的性能；最后，其他學(xué)科的約束會(huì)導(dǎo)致反復(fù)迭代。

低可信度CFD模型的數(shù)值優(yōu)化方法

隨著計(jì)算能力和數(shù)值優(yōu)化方法的快速發(fā)展，應(yīng)用基于CFD的數(shù)值優(yōu)化方法于民機(jī)設(shè)計(jì)得到了很大的發(fā)展。這一方法的應(yīng)用也從低可信度CFD模型開(kāi)始，逐漸發(fā)展到采用先進(jìn)的N-S方程解算器。波音公司發(fā)展了一種耦合TRANAIR[16]（一種全速勢(shì)方程的有限元方法，可參見(jiàn)文獻(xiàn)[13]附錄B）和梯度優(yōu)化方法的數(shù)值優(yōu)化氣動(dòng)力設(shè)計(jì)方法，并在1992年形成了TRANAIR優(yōu)化器的雛形[17]。經(jīng)過(guò)近十年的改進(jìn)，得到了一個(gè)適用于位勢(shì)流/邊界層耦合飛行條件的氣動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)工具[18-20]，具有多點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)能力，可處理高達(dá)600個(gè)幾何自由度和45000個(gè)非線性不等式的約束條件（圖1表示了TRANAIR優(yōu)化過(guò)程示意圖）。作為一個(gè)例子，圖2給出了采用該軟件對(duì)機(jī)翼/發(fā)動(dòng)機(jī)短艙設(shè)計(jì)計(jì)算前后壓強(qiáng)分布的對(duì)比，圖a和圖b分別表示了設(shè)計(jì)前后等馬赫數(shù)線的分布?？梢钥闯鰣Da中掛架處出現(xiàn)激波；圖b中短艙附近的機(jī)翼表面上消除了由于短艙干擾形成的激波。算例結(jié)果表明該設(shè)計(jì)軟件可以處理很復(fù)雜的飛機(jī)/發(fā)動(dòng)機(jī)綜合設(shè)計(jì)問(wèn)題。

高可信度CFD模型的數(shù)值優(yōu)化方法現(xiàn)代優(yōu)化算法可以分為依賴和不依賴梯度的方法兩大類。

1.依賴梯度的優(yōu)化算法

目前可用的大多數(shù)依賴梯度的數(shù)值優(yōu)化方法都是從控制理論出發(fā)的，Jameson是此類方法的先驅(qū)者之一。盡管最初是由Pironneau提出利用控制理論進(jìn)行橢圓方程系主控的外形優(yōu)化的[21-22]，但Jameson首先提出了通過(guò)控制理論自動(dòng)進(jìn)行外形優(yōu)化的伴隨方程方法[23]并應(yīng)用于跨聲速流動(dòng)。后來(lái)，Jameson和他的合作者，還有其他研究者，大力發(fā)展此方法，從全位勢(shì)方程到Euler/N-S方程，從無(wú)粘設(shè)計(jì)到有粘設(shè)計(jì)，甚至從氣動(dòng)設(shè)計(jì)到氣動(dòng)/結(jié)構(gòu)的耦合設(shè)計(jì)，形成了大量文獻(xiàn)[24-36]。此方法不同于一般梯度優(yōu)化方法之處在于它將外形作為一個(gè)自由表面，促使流動(dòng)解和最終優(yōu)化的外形同時(shí)趨于收斂，因而使優(yōu)化方法具有很高的效率（其基本思想可參見(jiàn)文獻(xiàn)[13]附錄D）。

2.不依賴梯度的優(yōu)化算法

最早無(wú)需梯度的優(yōu)化算法有Powell（共軛方向法）[37]和Nolder-Mead的單純形法[38]。最近Sturdza還應(yīng)用后者于空氣動(dòng)力的設(shè)計(jì)[39]。近二十多年來(lái)人們更多地使用諸如模擬退火法[40]和遺傳算法(GeneticAlgorithm-GA)等的搜索方法，特別后者更為人們所關(guān)注。Holland利用進(jìn)化理論創(chuàng)造了遺傳算法[41]（可參閱文獻(xiàn)[13]附錄D），即模仿生物的自然選擇進(jìn)行搜索以尋求最優(yōu)解。與傳統(tǒng)的搜索和優(yōu)化方法相比，遺傳算法具有下述4個(gè)特點(diǎn)[42-45]：1）不是直接作用于參變量集本身，而是對(duì)參變量集的某種編碼運(yùn)算。2）不是對(duì)單個(gè)點(diǎn)而是對(duì)多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的群體進(jìn)行搜索。3）直接計(jì)算適應(yīng)值（函數(shù)），無(wú)需導(dǎo)數(shù)和其他輔助信息。4）利用概率轉(zhuǎn)移原則，而非傳統(tǒng)優(yōu)化方法中的確定性原則。已有愈來(lái)愈多的研究和民機(jī)研制機(jī)構(gòu)表現(xiàn)出了對(duì)這種隨機(jī)尋優(yōu)方法的濃厚興趣，也已出現(xiàn)了不少利用遺傳算法進(jìn)行翼型或機(jī)翼優(yōu)化計(jì)算的文獻(xiàn)[46-56]。

3.對(duì)高可信度CFD模型數(shù)值優(yōu)化方法的要求

分析最近十余年中出現(xiàn)的大量基于Euler/N-S方程的數(shù)值優(yōu)化方法和文獻(xiàn)，可以看出多數(shù)仍表現(xiàn)為學(xué)院式的探討，提供可直接用于工程設(shè)計(jì)的方法和工具顯得尚很有限，盡管已開(kāi)始向這方面努力。這可能是因?yàn)椋?）只是近幾年來(lái)隨DPW研討會(huì)等的進(jìn)行，數(shù)值模擬才可以比過(guò)去更正確地估算阻力值。2）工程界的空氣動(dòng)力外形優(yōu)化需要在高維搜索空間中進(jìn)行并存在大量的非線性約束，使優(yōu)化問(wèn)題十分復(fù)雜且計(jì)算開(kāi)銷巨大；3）巨大的計(jì)算量要求很豐富的計(jì)算資源和很長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間，這與工程問(wèn)題要求的迅速反饋相悖。

因此要使基于CFD的空氣動(dòng)力優(yōu)化方法和軟件成為日常的工程設(shè)計(jì)手段和工具需解決如下技術(shù)關(guān)鍵：1）具有建立準(zhǔn)確計(jì)算諸如升力、阻力、力矩等敏感氣動(dòng)特性的正確流動(dòng)模型的能力。比較現(xiàn)有的氣動(dòng)力優(yōu)化方法可知，大多數(shù)方法還在使用不完善的流動(dòng)模型，如基于Euler方程，甚至全位勢(shì)方程等。雖然它們?cè)谝欢l件下，如巡航小迎角飛行狀態(tài)，可以提供合理的結(jié)果，但工程應(yīng)用常要求準(zhǔn)確地估算出阻力、俯仰力矩等敏感的氣動(dòng)特性，要求可計(jì)算整個(gè)飛行包線的飛行狀態(tài)以及不同的復(fù)雜的幾何外形等，這只能通過(guò)求解N-S方程來(lái)實(shí)現(xiàn)。順便指出，有些文獻(xiàn)（如文獻(xiàn)[28]）雖以N-S方程為主控方程，但優(yōu)化時(shí)的伴隨運(yùn)算子卻是在沒(méi)有考慮粘性流動(dòng)的假設(shè)下得出的（參見(jiàn)文獻(xiàn)[28]第6節(jié)）。為了提高計(jì)算準(zhǔn)確度,最好在離散N-S方程時(shí)使用高階的差分算子[53-54]。2）具有尋求全局最優(yōu)的能力。通?；谔荻鹊乃惴ㄈ菀紫萑刖植孔顑?yōu)，而遺傳算法等隨機(jī)搜索的方法則具有取得總體最優(yōu)的優(yōu)點(diǎn)。3）能有效地處理大量幾何和氣動(dòng)力的非線性約束。優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解常常是位于不同維超曲面（hyper-surface）的交匯處，遺傳算法不同于基于梯度的方法，不限于目標(biāo)函數(shù)的光滑擴(kuò)展，可應(yīng)用于多重約束的情況[53-54]。4）可應(yīng)用于不同的幾何外形和設(shè)計(jì)條件。5）掃描高維搜索空間的計(jì)算有效性高，以滿足設(shè)計(jì)周期和研制成本的要求。遺憾的是這正是遺傳算法的主要缺點(diǎn)，即估算適應(yīng)函數(shù)的高代價(jià)?？梢圆捎枚嗵幚砥魃系挠行Р⑿杏?jì)算來(lái)大大減少計(jì)算時(shí)間[57]，或在估算適應(yīng)函數(shù)值時(shí)采用近似模型，如降階模型[54,58]或響應(yīng)面模型[50]等。

數(shù)值優(yōu)化方法的發(fā)展現(xiàn)狀和驗(yàn)證研究#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#

1.空氣動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算的系列研討會(huì)

近年來(lái)CFD學(xué)術(shù)界和航空業(yè)界都十分關(guān)注計(jì)算阻力的精度問(wèn)題，這也是CFD應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)時(shí)所面臨的第一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的計(jì)算。AIAA的應(yīng)用空氣動(dòng)力學(xué)專業(yè)委員會(huì)在各方支持下，自2001年開(kāi)始舉行了DPW（DragPredictionWorkshop）系列會(huì)議[59]，參與者都用N-S方程求解相同的幾何外形（翼/身組合體，翼/身/短艙/掛架的復(fù)雜組合體等），得到了一個(gè)巨大的計(jì)算結(jié)果數(shù)據(jù)集，可與已有的已經(jīng)過(guò)修正的風(fēng)洞試驗(yàn)值比較。由于參與的計(jì)算者所采用的數(shù)值方法、湍流模型、計(jì)算網(wǎng)格形式及數(shù)目等各不相同，此數(shù)據(jù)集可用作分析和討論各種因素對(duì)CFD計(jì)算結(jié)果的影響。該系列會(huì)議至今已舉行了5屆，對(duì)推動(dòng)和提高CFD計(jì)算阻力的精度很有意義。文獻(xiàn)[13]的附錄C中給出了前3屆結(jié)果的分析和討論。鑒于DPW系列會(huì)議的成功，AIAA應(yīng)用空氣動(dòng)力學(xué)專業(yè)委員會(huì)針對(duì)CFD面臨的第二個(gè)挑戰(zhàn)---計(jì)算三維高升力外形的最大升力CLmax，于2009年發(fā)起并組織了類似的高升力計(jì)算研討會(huì)，其第一次會(huì)議(HiLiftPW-I)已于2010年6月在美國(guó)舉行,文獻(xiàn)[60]是該次會(huì)議的總結(jié)。在上述工作的基礎(chǔ)上，2013年1月AIAA又進(jìn)一步在其ASM會(huì)議過(guò)程中形成了以加拿大McHill大學(xué)Nadarajah教授為首的空氣動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)討論組，作為空氣動(dòng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算系列研討會(huì)實(shí)際的組委會(huì)。討論組討論了：1）建立可供在一個(gè)有約束的設(shè)計(jì)空間中測(cè)試氣動(dòng)優(yōu)化方法的一組標(biāo)準(zhǔn)算例。2）舉行研討會(huì)的時(shí)間。與會(huì)者一致認(rèn)為，由于工業(yè)界對(duì)基于CFD的氣動(dòng)外形數(shù)值優(yōu)化方法有強(qiáng)烈的需求，優(yōu)化方法和工具的研制也已有了相當(dāng)?shù)陌l(fā)展，可以以類似于DPW的研討會(huì)形式，通過(guò)對(duì)一系列復(fù)雜氣動(dòng)外形的優(yōu)化，來(lái)評(píng)估現(xiàn)有的尋求最小阻力外形的各種優(yōu)化方法的能力，并將結(jié)果向工業(yè)界/研究機(jī)構(gòu)公布。與會(huì)者還認(rèn)為第一次會(huì)議從二維和三維機(jī)翼外形開(kāi)始是合適的，并請(qǐng)加拿大的與會(huì)者準(zhǔn)備標(biāo)準(zhǔn)算例。第一次會(huì)議擬于2013或2014年的AIAA應(yīng)用空氣動(dòng)力會(huì)議期間舉行。

2.先導(dǎo)性的研究

事實(shí)上為準(zhǔn)備此研討會(huì)，波音的Vassberg，斯坦福的Jameson，以色列的Epstein及Peigin等三方從2007年起即開(kāi)始了先導(dǎo)性的研究（pilotproject）,以積累經(jīng)驗(yàn)和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。三方用各自己開(kāi)發(fā)的優(yōu)化軟件（MDOPT，SYN107，OPTIMAS）對(duì)第三屆DPW會(huì)議的測(cè)試機(jī)翼DPW-W1獨(dú)立地作優(yōu)化計(jì)算[61,62]。波音研制的MDOPT[63]（也可參見(jiàn)文獻(xiàn)[13]的1.7.3節(jié)）可使用響應(yīng)面模型（InterpolatedRe-sponseSurface—IRS）的數(shù)值優(yōu)化格式[64]，也可直接從流場(chǎng)解計(jì)算設(shè)計(jì)變量的靈敏度代替IRS模型完成優(yōu)化。其流場(chǎng)解軟件為T(mén)LNS3D[65]，計(jì)算網(wǎng)格點(diǎn)為3582225。Jameson開(kāi)發(fā)的SYN107采用基于梯度的“連續(xù)”伴隨方程方法[23,31]，其流場(chǎng)解軟件為FLO107，計(jì)算網(wǎng)格點(diǎn)為818,547。

以色列航空公司開(kāi)發(fā)的OPTIMAS采用降階模型的GA算法，流場(chǎng)解軟件為NES[66-68]，計(jì)算網(wǎng)格點(diǎn)為250,000。對(duì)三方獨(dú)立優(yōu)化后所得的外形再用不參與優(yōu)化的流場(chǎng)解軟件OVERFLOW[69]作評(píng)估計(jì)算，計(jì)算網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)為4,000,000，以便能準(zhǔn)確地計(jì)算阻力。結(jié)果表明，4個(gè)分析軟件計(jì)算得到的阻力增量值的分散度在Ma=0.76時(shí)為5counts(1count=0.0001)，Ma=0.78時(shí)為10counts，因此很難確定哪個(gè)優(yōu)化后外形最優(yōu)。但從Ma=0.76，C=0.5單設(shè)計(jì)點(diǎn)的阻力改進(jìn)結(jié)果（表1）[61]看，OPTIMAS優(yōu)化后的04外形明顯優(yōu)于MDOPT優(yōu)化后的M5和SYN107優(yōu)化后的S4。文獻(xiàn)[61]還討論了從比較中可吸取的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)。

一種基于高可信度CFD模型的數(shù)值

優(yōu)化方法的構(gòu)造本節(jié)將以O(shè)PTIMAS為例對(duì)如何滿足可應(yīng)用于工程實(shí)踐的高可信度CFD模型數(shù)值優(yōu)化方法的要求做一說(shuō)明。

1.優(yōu)化方法的構(gòu)造及其特點(diǎn)

OPTIMAS是將遺傳優(yōu)化算法和求解全N-S方程的分析算法相結(jié)合的一種有效并魯棒的三維機(jī)翼優(yōu)化方法。1)其全N-S方程的流場(chǎng)并行解算器NES[66-67]基于高階低耗散的ENO概念（適用于在多區(qū)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)對(duì)接網(wǎng)格中的多重網(wǎng)格計(jì)算）[66,71]和通量插值技術(shù)相結(jié)合的數(shù)值格式，采用SA湍流模型，可快速準(zhǔn)確地完成氣動(dòng)力計(jì)算，因此具有計(jì)算大量不同流動(dòng)和幾何條件的魯棒性。作為例子圖3和4給出了ARA翼身組合體Ma=0.80，Re=13.110時(shí)的升阻極線和CL=0.40時(shí)的阻力發(fā)散曲線[68]，使用的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)分別為，細(xì)網(wǎng)格（3lev）：900,000，中等網(wǎng)格（2lev）：115,000?？梢?jiàn)升阻極線直到大升力狀態(tài)的計(jì)算與實(shí)驗(yàn)都很一致。對(duì)比圖中還給出的TLNS3D在細(xì)網(wǎng)格（2,000,000）中的計(jì)算值可見(jiàn)，無(wú)論升阻極線或阻力發(fā)散曲線NES的都更優(yōu)。作為數(shù)值優(yōu)化軟件的特點(diǎn)之一是其在流場(chǎng)解算器中首次使用了高精度格式。2)優(yōu)化計(jì)算的遺傳算法中采用了十進(jìn)制編碼、聯(lián)賽選擇算子[42]、算術(shù)交叉算子、非均勻?qū)崝?shù)編碼變異算子[72]和最佳保留機(jī)制。為解決搜索時(shí)總體尋優(yōu)耗時(shí)大和求解N-S方程估算適應(yīng)函數(shù)代價(jià)高的問(wèn)題，在尋優(yōu)過(guò)程中估算適應(yīng)函數(shù)時(shí)采用當(dāng)?shù)財(cái)?shù)據(jù)庫(kù)中的降階模型[54,58]獲取流場(chǎng)解（當(dāng)?shù)財(cái)?shù)據(jù)庫(kù)是在搜索空間中離散的基本點(diǎn)處求解全N-S方程建立的），并以多區(qū)預(yù)測(cè)-修正方法來(lái)彌補(bǔ)這種近似帶來(lái)的誤差。多區(qū)預(yù)測(cè)-修正方法即在搜索空間的多個(gè)區(qū)域并行搜索得到各區(qū)的優(yōu)化點(diǎn)，再通過(guò)求解全N-S方程的驗(yàn)證取得最優(yōu)點(diǎn)。為保證優(yōu)化的收斂，尋優(yōu)過(guò)程采用了迭代方法。3)在整個(gè)空間構(gòu)筑尋優(yōu)路徑（圖5），擴(kuò)大了搜索空間和估算適應(yīng)函數(shù)的區(qū)間[54]。4）為提高計(jì)算效率，OPTIMAS包含了五重并行計(jì)算：Level1并行地求解N-S方程Level2并行地掃描多個(gè)幾何區(qū)域，提供多個(gè)外形的適應(yīng)函數(shù)的計(jì)算（level1隱于level2中）。Level3并行的GA優(yōu)化過(guò)程（level3隱于level4中）。Level4并行地GA搜索多個(gè)空間。Level5并行地生成網(wǎng)格。5）采用單參數(shù)或雙參數(shù)的BezierSpline函數(shù)對(duì)搜索空間參數(shù)化;并基于優(yōu)化外形與原始外形的拓?fù)湎嗨谱詣?dòng)地實(shí)現(xiàn)空間網(wǎng)格的快速變換。

2.優(yōu)化設(shè)計(jì)的典型結(jié)果

文獻(xiàn)[53]~文獻(xiàn)[58]給出的大量算例充分表明了OPTIMAS優(yōu)化軟件的優(yōu)異性能。本文5.2中給出了其優(yōu)化三維機(jī)翼的性能，這里再補(bǔ)充兩例。1）翼身組合體整流（fairing）外形的優(yōu)化文獻(xiàn)[73]討論了某公務(wù)機(jī)翼身組合體機(jī)翼外形優(yōu)化的單點(diǎn)和多點(diǎn)設(shè)計(jì)兩者性能的比較。結(jié)果表明，多點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)能同時(shí)保證設(shè)計(jì)的巡航狀態(tài)時(shí)，和高M(jìn)a數(shù)飛行，起飛等非設(shè)計(jì)狀態(tài)時(shí)的良好性能。文獻(xiàn)[74]進(jìn)一步討論了翼身組合體整流外形的優(yōu)化設(shè)計(jì)。流動(dòng)的復(fù)雜性（三維粘流/無(wú)粘流強(qiáng)相互作用的流動(dòng)區(qū)域）和幾何的復(fù)雜性（三維非線性表面）使整流外形的設(shè)計(jì)經(jīng)歷了傳統(tǒng)的試湊法，基于Euler解的試湊法等，最后才發(fā)展為現(xiàn)代完全N-S解的數(shù)值優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[74]采用了這種方法，先作機(jī)翼外形優(yōu)化，再作整流外形優(yōu)化，然后再作機(jī)翼優(yōu)化，整流外形優(yōu)化，……依次迭代，直至收斂。優(yōu)化中用雙參數(shù)的BezierSpline函數(shù)將整流外形參數(shù)化，所得搜索空間的維數(shù)ND=（2N-2）*（M-1）決定的參數(shù)化整流外形與實(shí)際外形的差別在M=10，N=4，ND=54時(shí)可準(zhǔn)確到0.3mm（滿足工程需求）。計(jì)算網(wǎng)格數(shù)為90萬(wàn)。表3給出了設(shè)計(jì)條件和約束，表4給出了設(shè)計(jì)點(diǎn)的阻力值比較。由表4可知，GBJ2的減阻為16.7，50%DC，GBJFR1的減阻為10.7，32.1%DC，GBJFR2的減阻為5.9，兩次優(yōu)化機(jī)翼的減阻總計(jì)為22.6，67.9%DC，優(yōu)化機(jī)翼和優(yōu)化整流外形減阻作用分別約占2/3和1/3，可見(jiàn)整流外形的優(yōu)化也是十分重要的。約束則使減阻損失4.6（如GBJFR3-GBJFR1）。圖6至圖9分別為原始外形，GBJ2，GBJFR2和GBJFR4的整流處等壓線分布，可見(jiàn)整流外形的優(yōu)化消除了原始外形和GBJ2中存在的激波。圖10和圖11分別給出了Ma=0.8時(shí)升阻極線和CL=0.4時(shí)阻力發(fā)散曲線的比較，可見(jiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)不僅對(duì)設(shè)計(jì)點(diǎn)，對(duì)非設(shè)計(jì)狀態(tài)也都有好處。2）翼身融合體飛機(jī)氣動(dòng)外形的優(yōu)化[75]優(yōu)化設(shè)計(jì)以英國(guó)克朗菲爾德大學(xué)設(shè)計(jì)的BWB外形[76]為出發(fā)外形，該外形的主要設(shè)計(jì)點(diǎn)為，。在數(shù)值優(yōu)化計(jì)算中還考慮了，的第二個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)和，（起飛狀態(tài)）的第三個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)。幾何約束有剖面相對(duì)厚度，前緣半徑，后緣角，每個(gè)剖面的樑處還附加兩個(gè)厚度約束，其中上標(biāo)b表示出發(fā)外形，*表示優(yōu)化外形，下標(biāo)i表示第i個(gè)剖面。附加的空氣動(dòng)力約束為對(duì)俯仰力矩的規(guī)定。采用Bezier樣條描述幾何外形，總設(shè)計(jì)變量為93個(gè)。表5給出了設(shè)計(jì)計(jì)算各狀態(tài)的條件和約束，其中是權(quán)系數(shù)。表6給出了優(yōu)化計(jì)算結(jié)果。#p#分頁(yè)標(biāo)題#e#

單點(diǎn)優(yōu)化的BWB-1結(jié)果與文獻(xiàn)[77]的結(jié)果相比較可見(jiàn)，文獻(xiàn)[77]采用Euler方程的無(wú)黏優(yōu)化使阻力降低了26counts；而這里的BWB-1全N-S方程優(yōu)化使阻力降低了52counts，顯示了此黏性優(yōu)化方法的優(yōu)點(diǎn)。比較有、無(wú)俯仰力矩約束時(shí)優(yōu)化得到的BWB-2和BWB-1表明，盡管BWB-1阻力降低的效果突出，但其值過(guò)大，出于穩(wěn)定性考慮而不能接受；BWB-2的阻力雖比BWB-1大了1.9counts，卻滿足了力矩的要求。表6中的雙點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)（BWB-4），使第三設(shè)計(jì)點(diǎn)（低速狀態(tài)）的達(dá)到1.671（消除了BWB-2達(dá)不到設(shè)計(jì)要求1.63的缺點(diǎn)），且基本保持了主設(shè)計(jì)點(diǎn)的阻力收益，為196.6。然而B(niǎo)WB-4在時(shí)的阻力達(dá)216.6，高于BWB-2的213.4，表明需要三個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)（BWB-3）。BWB-3在時(shí)，為202.5（比兩點(diǎn)設(shè)計(jì)值減小了14.1），同時(shí)滿足了其它兩個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)的性能要求。圖12至圖15給出了所有設(shè)計(jì)狀態(tài)和時(shí)的極曲線，時(shí)的阻力發(fā)散曲線和時(shí)的隨迎角α變化的曲線。由圖可見(jiàn)，時(shí)所有優(yōu)化設(shè)計(jì)的極曲線都非常接近，相比于原始外形的極曲線，性能有了很大改進(jìn)；時(shí)也一樣，特別是三點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)的BWB-3，優(yōu)點(diǎn)更明顯。阻力發(fā)散曲線也都有了很大改進(jìn)，在前所有的總阻力基本保持常值，單點(diǎn)與兩點(diǎn)優(yōu)化的阻力發(fā)散點(diǎn)接近，而三點(diǎn)優(yōu)化的可達(dá)附近。由圖15可知，沒(méi)有考慮低速目標(biāo)的BWB-1和BWB-2具有較低的，將低速目標(biāo)計(jì)入設(shè)計(jì)狀態(tài)的BWB-3和BWB-4所得的皆優(yōu)于原始外形的。上述結(jié)果表明三點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)具有最佳的優(yōu)化效果和總體最好的氣動(dòng)性能。Fig.15LiftcoefficientCLvsangleofattackatMa=0.2最后，上述各優(yōu)化結(jié)果在（主設(shè)計(jì)點(diǎn)）時(shí)的阻力值基本相同，但幾何外形卻差別不小，由此可見(jiàn)，外形阻力優(yōu)化問(wèn)題沒(méi)有唯一解[75]。上述計(jì)算是在具有456GBRAM，114MB二級(jí)高速緩存的機(jī)群環(huán)境下通過(guò)“過(guò)夜”方式完成單點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)，在1.5-2天的計(jì)算時(shí)間內(nèi)完成三點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)的，計(jì)算時(shí)間可滿足應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)的要求[75]。

結(jié)束語(yǔ)

數(shù)值方法范文第3篇

1概述

隨著科學(xué)技術(shù)水平的不斷提高和工程建設(shè)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，在土木建筑、水利工程和路橋工程中樁基承載力、沉降量大小和堤壩穩(wěn)定性等力學(xué)問(wèn)題變得十分復(fù)雜。而事實(shí)上，軟土路基呈現(xiàn)出空間非線性沉降變形規(guī)律，土體的變形協(xié)調(diào)條件和應(yīng)力平衡條件也十分復(fù)雜。這些問(wèn)題已經(jīng)很少能用數(shù)學(xué)方法求得精確解或通過(guò)模擬試驗(yàn)得到定量解，大多數(shù)課題必須借助于計(jì)算機(jī)和計(jì)算數(shù)學(xué)用數(shù)值分析的方法求出近似解。目前用于地基沉降量分析的數(shù)值方法主要是差分法、有限元法和邊界元法，其發(fā)展趨勢(shì)是有限元法與差分法或與邊界元法相結(jié)合解決課題，以發(fā)揮各種方法的優(yōu)越性。

2分析方法解析

2.1差分法

差分法的基本精神就是將研究區(qū)域用差分網(wǎng)格離散，對(duì)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)通過(guò)差商代替導(dǎo)數(shù)把固結(jié)微分方程化成差分方程，然后結(jié)合初始條件和邊界條件，求解線性方程組得到數(shù)值解。

以平面問(wèn)題為例，差分法可得到所研究平面內(nèi)在各個(gè)時(shí)間的孔隙壓力的分布，因此可以導(dǎo)出初始沉降Si與任何時(shí)間t的總沉降S或固結(jié)沉降量Sc。由于土的豎向應(yīng)變?yōu)?/p>

（2.1）

地基中沿著某一鉛垂線的沉降為：

（2.2）

H為有效壓縮層厚度。由于上式中采用不排水指標(biāo)，，，所以孔隙壓力，應(yīng)用總應(yīng)力來(lái)計(jì)算?？偝两禐椋?/p>

（2.3）

式中，E和隨有效應(yīng)力而變化，因此上式可算得任意時(shí)間的總沉降。任何時(shí)間的固結(jié)沉降為。當(dāng)計(jì)算最終總沉降時(shí)，式中的孔隙壓力。

2.1有限元法

有限元是地基和結(jié)構(gòu)作為一個(gè)整體來(lái)分析，將其劃分網(wǎng)格，形成離散體結(jié)構(gòu)，形成有限數(shù)目的區(qū)域單元，這些單元體只在結(jié)點(diǎn)處有力的聯(lián)系。材料的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系可表示為

（2.4）

由虛位移原理可建立單元體的結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，進(jìn)而寫(xiě)出總體平衡方程：

（2.5）

式中，分別為勁度矩陣，結(jié)點(diǎn)位移列陣和結(jié)點(diǎn)荷載列陣。然后結(jié)合初始和邊界條件求解線性方程組，在荷載作用下算得任一時(shí)刻地基和結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的位移和應(yīng)力，得到問(wèn)題的數(shù)值解。有限元法可以將地基作為二維甚至三維問(wèn)題來(lái)考慮，反映了側(cè)向變形的影響[1]。

（1）彈性有限元法

土的彈性應(yīng)力——應(yīng)變數(shù)學(xué)模型包括線性和非線性彈性模型兩種。用線性彈性模型計(jì)算地基的位移和沉降，只適用于不排水加荷情況，并且對(duì)破壞要有較大的安全系數(shù)，一般不發(fā)生屈服的情況。實(shí)際上土體中的應(yīng)力狀態(tài)都可能發(fā)生屈服，其應(yīng)力——應(yīng)變的關(guān)系是非線性的。此外，除了理論建模還可通過(guò)試驗(yàn)擬合的途徑，即根據(jù)土體的應(yīng)力應(yīng)變?cè)囼?yàn)曲線，用彈性系數(shù)的連續(xù)變化來(lái)逼近真實(shí)的試驗(yàn)曲線建立起各種不同形式的非線性彈性模型[49]，第一種是以E（彈性模量）和μ（泊松比）兩個(gè)彈性常數(shù)表達(dá)的，稱E-μ彈性模型，第二種是以K（彈性體積模量）和G（剪切模量）兩個(gè)彈性常數(shù)表達(dá)的，稱K－G模型。另外一種是南京水利科學(xué)研究所采用的非線性的變彈性體模型，它的特點(diǎn)是不用常規(guī)的彈性常數(shù)，改用兩個(gè)非線性函數(shù)，來(lái)表達(dá)應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。

典型的E-μ彈性模型是Duncan-Chang的雙曲線模型。Duncan-Chang的雙曲線模型可以考慮應(yīng)力歷史對(duì)變形的影響，若應(yīng)力低于或高于前期固結(jié)應(yīng)力，則采用不同的彈性模量計(jì)算公式。它還可考慮土與結(jié)構(gòu)共同工作，考慮復(fù)雜的邊界條件，考慮施工逐級(jí)加荷，考慮土層的各向異性等。

土體在路堤荷載作用下的變形過(guò)程，伴隨著主應(yīng)力大小的不斷變化及主應(yīng)力方向的不斷偏轉(zhuǎn)，土的彈性模量及泊松比也隨之改變。路基真實(shí)應(yīng)力場(chǎng)為初始應(yīng)力場(chǎng)疊加上由路堤填筑荷載引起的附加應(yīng)力場(chǎng)。假定路堤填筑荷載引起的附加應(yīng)力場(chǎng)可近似采用同樣荷載作用下在線彈性半空間無(wú)限體所產(chǎn)生的附加應(yīng)力場(chǎng)。采用鄧肯－張非線性模型描述土體本構(gòu)關(guān)系，由于路基縱向應(yīng)變?yōu)榱?，則其增量形式的本構(gòu)關(guān)系可表示為[2]：

（2.6）

式中：，分別為切線彈性模量和切線泊松比，可表示為：

鄧肯－張模型含有8個(gè)參數(shù)須三軸排水試驗(yàn)確定。

K-G彈性模型用三軸等向壓縮試驗(yàn)測(cè)p和體積應(yīng)變，由此建立K的公式。Naylor取切線體積模量為p的線性函數(shù)，即：

（3.34）

由三軸剪切試驗(yàn)可建立切線模量的公式：

（3.35）

參數(shù)均由三軸試驗(yàn)確定。

（2）彈塑性有限元法

土的彈塑性模型將土的應(yīng)變分為可以恢復(fù)的彈性應(yīng)變和不可恢復(fù)的塑性應(yīng)變兩部分。彈性應(yīng)變?cè)隽靠梢杂脧椥岳碚撚?jì)算，塑性應(yīng)變?cè)隽靠梢杂迷隽克苄岳碚撉蠼?。土的彈塑性?jì)算模型一般分為理想塑性和硬（軟）化塑性模型2種。

彈性非線性模型是假定全部變形都是彈性的，用改變彈性常數(shù)的方法來(lái)反映非線性；彈塑性模型則把總的變形分成彈性變形和塑性變形兩部分，用虎克定律計(jì)算彈性變形部分，用塑性理論來(lái)求解塑性變形部分。典型的彈塑性應(yīng)力－應(yīng)變模型有：劍橋模型、修正劍橋模型、拉德模型、橢圓－拋物雙屈服面模型、沈珠江雙屈服面彈塑性模型、“空間準(zhǔn)滑面”模型（SMP模型）等[3]。

3結(jié)語(yǔ)

土的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系非常復(fù)雜，任何模型都有它的局限性。過(guò)去利用E-μ彈性模型和K-G彈性模型，雖然對(duì)壩和地基的應(yīng)力應(yīng)變分析都曾作出有意義的貢獻(xiàn)，但它們都忽視了土的剪脹性和應(yīng)力路徑的影響。而劍橋模型只適用于只有剪縮而沒(méi)有剪脹的正常固結(jié)粘土與松砂。計(jì)算時(shí)要找出一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)全面正確地表達(dá)土的這種特性是難以想象的。

參 考 文 獻(xiàn)

1 錢(qián)家歡，殷宗澤. 土工原理與計(jì)算（第二版）. 北京：中國(guó)水利水電出版社，1996

2 費(fèi)正華，鄧水明. 應(yīng)用鄧肯－張非線性模型近似計(jì)算路基沉降. 中南公路工程，2001

3 河海大學(xué)，江蘇寧滬高速公路股份有限公司. 交通土建軟土地基工程手冊(cè). 北京：人民交通出版社，2001

4 Casagrande,A. Classification and Identification of soils,Trans.ASCE,113,1948:901-991

數(shù)值方法范文第4篇

關(guān)鍵詞： 特殊角三角函數(shù)值 數(shù)形結(jié)合 函數(shù)圖像 函數(shù)單調(diào)性

高一下學(xué)期一開(kāi)始，教學(xué)內(nèi)容就進(jìn)入了三角函數(shù)。這一節(jié)公式很多，需要記憶的東西很多，但是只要學(xué)生能夠每天定時(shí)定量地練習(xí)題目，公式自然能夠熟練應(yīng)用，而且爛熟于心。而且學(xué)生本身對(duì)公式也比較重視，因?yàn)楣降母鞣N靈活運(yùn)用，能夠激發(fā)學(xué)生的興趣。他們做完一道題目之后，會(huì)互相討論，看還有沒(méi)有其他方法。這源于筆者平時(shí)在教學(xué)過(guò)程中不斷地鼓勵(lì)學(xué)生去思考、去總結(jié)，不但要學(xué)會(huì)，而且要會(huì)學(xué)；把新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)的“提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和探究學(xué)習(xí)能力”這一思想。盡管公式學(xué)生已經(jīng)很熟悉了，但是仍有學(xué)生會(huì)在三角函數(shù)的題目上卡住。為什么呢？因?yàn)檫@一節(jié)還出現(xiàn)了大量的特殊角，如30°，45°，120°，甚至還有75°。學(xué)生覺(jué)得特殊角不如公式靈活，只能去死記硬背。因?yàn)閷?duì)特殊角不熟悉，導(dǎo)致他們看到，卻不知道這就是tan60°；看到cos120°，還要苦想該用哪個(gè)誘導(dǎo)公式來(lái)誘導(dǎo)。雖然他們不止一次地體會(huì)到特殊角的重要性，但是他們?nèi)圆荒芙邮苡脖尺@樣傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法。隨著高一課程的結(jié)束，高二的解析幾何、立體幾何中仍舊會(huì)出現(xiàn)這些特殊角?，F(xiàn)在學(xué)生若是沒(méi)有記住，到了高二的時(shí)候怎么辦？

針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，筆者查閱了很多資料，大概是這個(gè)問(wèn)題基本都是靠硬背來(lái)解決，因此所能找到的資料甚少。一個(gè)偶然的機(jī)會(huì)，筆者看到學(xué)生在算sin30°的時(shí)候，畫(huà)了一個(gè)30°的直角三角形，很顯然這個(gè)方法不能解決sin210°，但是筆者還是表?yè)P(yáng)了這個(gè)學(xué)生，因?yàn)樗谙朕k法解決問(wèn)題。這個(gè)發(fā)現(xiàn)使筆者體會(huì)到，通過(guò)高一上函數(shù)部分的強(qiáng)化，學(xué)生現(xiàn)在已經(jīng)有了畫(huà)圖解決問(wèn)題的思想，能不能用數(shù)形結(jié)合的辦法來(lái)解決這個(gè)一直讓學(xué)生比較頭痛的問(wèn)題呢？其實(shí)學(xué)生在特殊角這部分暴露的問(wèn)題很明顯，對(duì)［0，90°］范圍內(nèi)的角度接觸時(shí)間較久，比較熟悉，只是對(duì)高中階段才推廣的“大”角比較陌生。通過(guò)跟學(xué)生共同探討，筆者發(fā)現(xiàn)以下幾個(gè)方法比較適用。

一、利用三角函數(shù)圖像

y=sinx， y=cosx， y=tanx的圖像，在教材里面有三節(jié)內(nèi)容，對(duì)它們的圖像和性質(zhì)研究是三角函數(shù)部分的重點(diǎn)內(nèi)容。因此，若學(xué)生產(chǎn)能夠畫(huà)出它們的圖像，不要說(shuō)cos150°，哪怕是sin225°，或者是更大的角，也能夠一眼看出。但這種方法的前提條件是，學(xué)生必須得記住這三個(gè)三角函數(shù)圖像。

二、 利用直角坐標(biāo)系

以sin225°為例，在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出225°所在的終邊，再做出它的延長(zhǎng)線，這樣在第一象限內(nèi)就出現(xiàn)了一個(gè)以它的延長(zhǎng)線為終邊的角，而此時(shí)學(xué)生就可選取非常熟悉的45°為此延長(zhǎng)線的代表角。接下來(lái)做的事情，只需在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)P（x，y）。由圖像可知，兩線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故此，兩線上的點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)均互為相反數(shù)，則在原線上可以作出P點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′（x，y），由任意角三角函數(shù)的定義即可得出sin225°==- =- sin45°=- 。通過(guò)剛才的推導(dǎo)過(guò)程，也可以得出這樣的結(jié)論：若兩角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則它們的正弦值（或余弦值）互為相反數(shù)。這個(gè)結(jié)論的得出，讓學(xué)生知道了第三象限的角與他們熟悉的［0，90°］的角的關(guān)系，自然他們想到了第二象限和第四象限。

通過(guò)剛才的推導(dǎo)可知：若兩角終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則它們的余弦值互為相反數(shù)，正弦值相等。從另一個(gè)方面來(lái)看，這兩個(gè)角為互補(bǔ)的關(guān)系，所以剛才得出的結(jié)論也可敘述為：互補(bǔ)的兩角正弦值相等，余弦值相反。第四象限的角推導(dǎo)過(guò)程與上述過(guò)程類似。通過(guò)作出其關(guān)于x軸的對(duì)稱軸可知：若兩角終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則它們的余弦值相等，正弦值互為相反數(shù)。

綜上可知，若要解決特殊角的三角函數(shù)值，只需要在坐標(biāo)系中，畫(huà)出它的終邊所在的位置，通過(guò)做它關(guān)于原點(diǎn)（或x軸、或y軸）對(duì)稱線，找出第一象限我們非常熟悉的角，判斷出符號(hào)即可。

三、利用函數(shù)單調(diào)性

對(duì)于某些連［0，90°］都記不住的學(xué)生，除了用本文一開(kāi)始提出的畫(huà)特殊三角形以外，還可以利用三角函數(shù)本身的單調(diào)性。由于特殊角的三角函數(shù)值只有幾個(gè)數(shù)值：0，，，，1，聯(lián)系y=sinx在［0，90°］內(nèi)單調(diào)遞增，故對(duì)號(hào)入座，sin0°=0，sin30°=，sin45°=，sin60°=，sin90°=1，相應(yīng)余弦值則可通過(guò)直角三角形里得出的結(jié)論，互余的兩角正余弦值互換得到。對(duì)于數(shù)值比較麻煩的15°和75°，我們可以通過(guò)構(gòu)造成兩角和或兩角差的方法，快速算出它們對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值。

筆者提出了這幾個(gè)方法后，很多學(xué)生都不再覺(jué)得特殊角三角函數(shù)值很難背了。究其原因，是在筆者提出的方法的基礎(chǔ)上，他們非常熟練地運(yùn)用函數(shù)圖像、函數(shù)單調(diào)性等函數(shù)知識(shí)。這些方法中所涉及的數(shù)形結(jié)合思想，鍛煉了他們的數(shù)學(xué)思維能力，記憶的過(guò)程也成為了他們思考問(wèn)題的過(guò)程。學(xué)生覺(jué)得學(xué)有所得，學(xué)有所用，這些特殊角三角函數(shù)值的記憶過(guò)程不再是枯燥無(wú)趣的幾個(gè)數(shù)字，而是生動(dòng)形象的圖像、函數(shù)知識(shí)。而且，在這一過(guò)程中所涉及的數(shù)形結(jié)合方法，其本身就是高中數(shù)學(xué)階段重要方法之一。

參考文獻(xiàn)：

數(shù)值方法范文第5篇

【關(guān)鍵詞】地鐵；火災(zāi)；數(shù)值模擬

隨著城市的發(fā)展，地鐵已經(jīng)成為城市交通的命脈。人們大多喜歡乘坐地鐵出行，高峰時(shí)期地鐵中人員密度非常大。由于地鐵火災(zāi)的特征不同于地面建筑，當(dāng)?shù)罔F發(fā)生火災(zāi)時(shí)及易造成嚴(yán)重的財(cái)產(chǎn)損失和人員傷亡。地鐵火災(zāi)實(shí)驗(yàn)很難進(jìn)行，為了便于問(wèn)題的探討，常選擇數(shù)值模擬的方法來(lái)對(duì)其進(jìn)行研究。[1]

1.地鐵車(chē)站模型選擇

為了便于問(wèn)題的研究，地鐵站火災(zāi)模擬中選取沈陽(yáng)地區(qū)典型淺埋島式地鐵車(chē)站為研究對(duì)象。車(chē)站公共區(qū)域通風(fēng)空調(diào)系統(tǒng)按站廳、站臺(tái)均勻送-回（排）風(fēng)設(shè)計(jì)（閉式系統(tǒng)）。站臺(tái)層設(shè)置軌底排風(fēng)風(fēng)道，排風(fēng)口與剎車(chē)電阻箱對(duì)齊；軌頂排風(fēng)風(fēng)道，排風(fēng)口與列車(chē)空調(diào)冷凝器對(duì)齊；站臺(tái)排風(fēng)風(fēng)道。車(chē)站空調(diào)回（排）風(fēng)機(jī)兼作車(chē)站公共區(qū)消防排煙風(fēng)機(jī)，回（排）風(fēng)風(fēng)道兼作排煙風(fēng)道。站廳層送風(fēng)風(fēng)量為66000 m3/h，站臺(tái)層排煙量為132000m3/h。地鐵車(chē)站公共區(qū)域剖面如圖1所示，車(chē)站主體兩層結(jié)構(gòu)均在地面以下。

2.地鐵車(chē)站計(jì)算區(qū)域

合理簡(jiǎn)化計(jì)算區(qū)域，在不影響整體研究效果的情況下，適當(dāng)?shù)慕档陀?jì)算成本。站廳與站臺(tái)層之間的結(jié)構(gòu)不作為計(jì)算區(qū)域（即忽略兩層的導(dǎo)熱作用）。站臺(tái)層長(zhǎng)120m，候車(chē)區(qū)計(jì)算層高3.5m，寬11.8m；隧道出入口4個(gè)，尺寸為3.75m×5.26m；軌頂排煙口24個(gè)，尺寸為1m×0.6m；軌底排煙口48個(gè)，尺寸為0.8m×0.3m；送回風(fēng)口72個(gè)，尺寸為0.5m×0.5m。站廳層長(zhǎng)88m，寬19.3m，計(jì)算層高3.5m；送風(fēng)口30個(gè)，尺寸為0.5m×0.5m；車(chē)站出入口4個(gè)，尺寸為4.5m×2.5m。

3.火源邊界條件設(shè)置

世界各國(guó)對(duì)于各種可燃物的釋熱速率并沒(méi)有明確的界定，根據(jù)香港地鐵工程技術(shù)人員的保守估計(jì)，地鐵車(chē)站公共區(qū)火災(zāi)釋熱速率為2MW[2]；而英國(guó)Building Research Establish出版的報(bào)告中顯示，在人員聚集的公共場(chǎng)所可能的火災(zāi)釋熱速率為2～2.5MW。根據(jù)文獻(xiàn)[3]，本次研究地鐵車(chē)站公共區(qū)域火災(zāi)釋熱速率5分鐘后穩(wěn)定在5MW的火災(zāi)情景。

4.數(shù)值實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證

數(shù)值模擬方法是否正確常常需要通過(guò)相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，但是地鐵站火災(zāi)實(shí)驗(yàn)很難進(jìn)行。下面驗(yàn)證的過(guò)程是用地鐵站火災(zāi)數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)的方法，針對(duì)已有隧道火災(zāi)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行的對(duì)比，以表明火災(zāi)數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)方法的正確。

4.1模型建立

Kumar曾對(duì)隧道火災(zāi)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試，隧道尺寸長(zhǎng)390m、寬5m、高4m[4，5]。火源釋熱速率在10s內(nèi)，從0線性增長(zhǎng)到7.225MW。根據(jù)上述條件建立相應(yīng)物理模型，在此基礎(chǔ)上采用與地鐵站火災(zāi)數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)相同的方法來(lái)進(jìn)行對(duì)比?？傆?jì)算時(shí)間為120s，截取部分計(jì)算區(qū)域，對(duì)數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析。

4.2數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果

自然通風(fēng)情況下，120s時(shí)火源中心X=2.5m截面處，可以看到強(qiáng)烈對(duì)流產(chǎn)生的溫度分布和速度矢量分布，基本以火源為中心成對(duì)稱分布；熱煙氣向上運(yùn)動(dòng)，并在隧道頂部形成熱煙氣層向隧道兩端擴(kuò)散，最大擴(kuò)散速度為7m/s；由于煙羽流的作用，煙氣層下方的空氣向著火源方向運(yùn)動(dòng)，速度較慢小于2m/s，與文獻(xiàn)[5]的計(jì)算值相似。

4.3數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)與實(shí)驗(yàn)測(cè)試對(duì)比

圖2為距火源10m處，隧道中心線上的溫度分布和速度分布與文獻(xiàn)[5]的計(jì)算值和Kumar實(shí)測(cè)值的對(duì)比。速度分布相近，趨勢(shì)相同；溫度分布稍有偏差，主要是沒(méi)有考慮輻射傳熱而引起的溫度稍高，但總體趨勢(shì)相同。綜上所述，數(shù)值模擬方法可以較好的描述火災(zāi)的發(fā)展過(guò)程。

5.總結(jié)與展望

在地鐵站火災(zāi)數(shù)值模擬研究中，地鐵站物理模型的選擇，模擬時(shí)邊界條件的設(shè)置，數(shù)值模擬方法是否正確，都對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成一定的影響。物理模型的選擇可以根據(jù)已有或在建的項(xiàng)目來(lái)構(gòu)建，邊界條件的設(shè)置可以根據(jù)相關(guān)研究來(lái)確定，數(shù)值模擬方法是否正確就要和實(shí)際燃燒實(shí)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行對(duì)比。

研究地鐵站發(fā)生火災(zāi)時(shí)，不同防排煙系統(tǒng)模式下，溫度場(chǎng)、速度場(chǎng)、以及火災(zāi)煙氣蔓延和排煙效果，以及列車(chē)活塞風(fēng)對(duì)地鐵站火災(zāi)溫度場(chǎng)、速度場(chǎng)以及煙氣蔓延的影響，對(duì)火災(zāi)中人員安全疏散起到了指導(dǎo)作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐碩.地鐵火災(zāi)煙氣蔓延研究初探.中國(guó)科技縱橫，2011年7月（下）總第122期.

[2]李啟榮，黎少其.地鐵火災(zāi)系統(tǒng)保障研究.香港：城市軌道交通研究，2001.

[3]楊昀，曹麗英.地鐵火災(zāi)場(chǎng)景設(shè)計(jì)探討.自然災(zāi)害學(xué)報(bào)，2006，Vol.15（4）：122～125.