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探索勾股定理范文第1篇

一、新、老課程“勾股定理”的比較

1.課程內(nèi)容的變化

新課程相對于老教材增加了“螞蟻怎樣走最近”這一節(jié)，并在教材中增加勾股定理的歷史的相關(guān)素材，書中提供了較為豐富的歷史或現(xiàn)實(shí)的例子來展示勾股定理的應(yīng)用。

2.教學(xué)要求的變化

老教材對勾股定理的教學(xué)要求是：（1）使學(xué)生掌握勾股定理及其逆定理；（2）能夠熟練地運(yùn)用勾股定理，由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長，會用勾股定理判斷一個三角形是不是直角三角形。

新課程下的勾股定理教學(xué)要求是：（1）經(jīng)歷探索勾股定理及一個三角形是直角三角形的條件的過程，發(fā)展合情推理能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想；（2）掌握勾股定理，了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法，并能運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題；（3）掌握判斷一個三角形是直角三角形的條件，并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題；（4）通過實(shí)例了解勾股定理的歷史和應(yīng)用，體會勾股定理的文化價值。

由上可知，新課程下的勾股定理在已知直角三角形兩邊求第三邊中，給出的兩邊數(shù)據(jù)相對于老教材簡單得多，刪去了煩瑣的計(jì)算過程，勾股定理逆定理的理論證明，利用勾股定理的逆定理解題的數(shù)據(jù)均不會過大，通過古埃及的結(jié)繩來說明，省去了煩瑣的證明過程。新課程中加強(qiáng)了勾股定理的實(shí)際運(yùn)用，利用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問題成了重點(diǎn)，例如：“螞蟻怎樣走最近”這一節(jié)突出了勾股定理及逆定理的實(shí)用性。書中提供了較為豐富的歷史或現(xiàn)實(shí)的例子，來展示它們的應(yīng)用，體現(xiàn)它們的文化價值，并且在知識發(fā)生過程中，作了較高要求。

3.課程關(guān)注點(diǎn)的變化

老課程比較關(guān)注運(yùn)用勾股定理及逆定理的相關(guān)運(yùn)算，即已知直角三角形兩邊長求第三邊和判定一個三角形是否是直角三角形。新課程則強(qiáng)調(diào)了勾股定理在現(xiàn)實(shí)生活中起著重要作用，是數(shù)形結(jié)合的典范。

二、教學(xué)中應(yīng)注意的問題及建議

1.重視實(shí)際情景

新課程創(chuàng)設(shè)實(shí)際情景，讓學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)生活中勾股定理的應(yīng)用，從實(shí)際情景抽象出勾股定理。因此，建議為學(xué)生創(chuàng)設(shè)豐富的實(shí)際情景，使學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)生的過程。在證明勾股定理逆定理中，可將一根繩子打上13個結(jié)，將繩子分成12等分，讓三位同學(xué)上講臺，一位同學(xué)握住第1和第13個結(jié)，一位握住第4個結(jié)，一位握第8個結(jié)，創(chuàng)設(shè)此情景，讓學(xué)生自己思考、分析，從而判斷此三角形為直角三角形，最后歸納出勾股定理逆定理。

2.重視數(shù)形結(jié)合

新教材里，勾股定理的探索和驗(yàn)證過程中，數(shù)形結(jié)合有較多體現(xiàn)，滲透了代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形之間的關(guān)系。因此，建議在教學(xué)中應(yīng)注意滲透這種思想，鼓勵學(xué)生從代數(shù)表示聯(lián)想到有關(guān)的幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)的代數(shù)表示，有助于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。例如：在探索勾股定理過程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由正方形的面積想到a2、b2、c2，而在勾股定理的驗(yàn)證過程中，教師又應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)a2、b2、c2想到正方形的面積。

3.重視實(shí)際應(yīng)用

對于勾股定理，新教材不僅要求能從實(shí)際情景中抽象出勾股定理，而且要能將它用于實(shí)際問題中，從而體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。因此，建議在教學(xué)中充分利用教科書中的素材讓學(xué)生體會這種應(yīng)用，如古埃及人利用結(jié)繩的方法做出直角，利用勾股定理求出螞蟻的最短路線等。

4.重視學(xué)生經(jīng)歷探索勾股定理的過程

新教材中安排了探索勾股定理、驗(yàn)證勾股定理、探索直角三角形的條件等活動。因此，建議在教學(xué)中不要直接給出結(jié)論，要鼓勵學(xué)生，通過觀察、實(shí)踐、推理、交流等獲得結(jié)論，發(fā)展空間觀念和推理能力。例如教科書設(shè)計(jì)了在方格紙上通過計(jì)算面積的方法探索勾股定理的活動，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過由特殊到一般的探索得到結(jié)論。

5.重視自主探究與合作交流

新教材自始至終為學(xué)生提供自主探索、合作交流、積極思考的空間和機(jī)會，課堂上引導(dǎo)學(xué)生主動參與探究或?qū)W習(xí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，調(diào)動學(xué)生的積極思維，督促每個學(xué)生都在這個過程中積極參與，從而培養(yǎng)探索與創(chuàng)新的精神。

6.重視愛國主義的滲透

探索勾股定理范文第2篇

關(guān)鍵詞：勾股定理；教科書；呈現(xiàn)方式；教學(xué)建議

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）04-0136-03

一、勾股定理史話概述

據(jù)史書記載，中國的大禹在治理洪水的過程中利用勾股定理測量兩地的地勢差，是世界上有史記載的第一位與勾股定理有關(guān)的人，又有研究表明：古巴比倫時期數(shù)學(xué)泥版文獻(xiàn)中的一些幾何或代數(shù)問題表明，勾股定理早在公元前兩千年就在兩河流域的美索不達(dá)米亞文明中得到了廣泛應(yīng)用。在中國古代，勾股定理的特例以及一般情形的敘述見于公元前2世紀(jì)成書的天文數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》“故折矩以為勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，這是說長方形當(dāng)寬3、長4時，對角線長為5，已明確直角三角形最簡單的邊長關(guān)系，《周髀算經(jīng)》經(jīng)文中已經(jīng)包含了勾股定理的一般證明。在稍后一點(diǎn)的《九章算術(shù)》一書中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書中的《勾股章》說：“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進(jìn)行開方，便可以得到弦。”把這段話列成算式，即為：弦2=勾2+股2，即：c2=a2+b2。2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會徽就是趙爽所用的弦圖。劉徽的證明見于他的《九章算術(shù)》注“勾自為朱方，股自為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪”。劉徽原圖已失傳，清代數(shù)學(xué)家李銳（1769-1817）對其作了復(fù)原。

二、三種版本教科書中勾股定理的呈現(xiàn)方式的比較

勾股定理作為數(shù)學(xué)界的一朵奇葩，在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中占有重要的地位。因此，當(dāng)今應(yīng)用比較廣泛的三種版本教科書，分別是人民教育出版社版、北京師范大學(xué)出版社版以及華東師范大學(xué)出版社版（以下分別簡稱人教版、北師版以及華師版），對于勾股定理的講解都有著各自的特色。

1.勾股定理的引入。三版教科書在勾股定理這一章的開始階段，都介紹了中國有關(guān)勾股定理的數(shù)學(xué)史。從而能夠激發(fā)學(xué)生對于中國數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)家的自豪感，滿載激情與興趣投入到新課的學(xué)習(xí)中。人教版數(shù)學(xué)教科書給出了畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家的用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系。給出相應(yīng)的圖形，引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)這種數(shù)量關(guān)系。加入了西方數(shù)學(xué)史內(nèi)容，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識更加廣闊。在北師版數(shù)學(xué)教科書中，給出了一個具體的實(shí)際生活中的例子，引導(dǎo)學(xué)生自己去探討。在華師版數(shù)學(xué)教科書中，利用經(jīng)常使用的兩塊直角三角板三邊長度的測量去發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的關(guān)系。良好的開端是成功的一半。一個成功的新課引入，要包括以下幾部分：①能吸引學(xué)生的注意力；②能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；③能承上啟下，使學(xué)生有目的地進(jìn)入新課的學(xué)習(xí)；④能為新課的展開創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境。人教版數(shù)學(xué)教科書引入方面的設(shè)計(jì)包括了這四個部分，尤其利用畢達(dá)哥拉斯的例子，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行新課的學(xué)習(xí)。

2.勾股定理的過程展示。新課講解的過程展示，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡與理解的重要環(huán)節(jié)。教學(xué)過程的展示就是一個體現(xiàn)材料，呈現(xiàn)語言、知識以及任務(wù)的過程。人教版數(shù)學(xué)教科書通過趙爽弦圖體現(xiàn)了數(shù)學(xué)材料，把數(shù)學(xué)史很好的結(jié)合到了課堂中，讓同學(xué)們理解與認(rèn)識勾股定理背后的文化意義，對于學(xué)生文化素養(yǎng)的提升具有著積極的作用。北師版和華師版數(shù)學(xué)教科書則發(fā)揮了學(xué)生的主動性，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)新知識，體現(xiàn)了新課改的主題。各教科書各有所長，從不同方面讓學(xué)生認(rèn)識與理解勾股定理。

3.勾股定理的習(xí)題設(shè)計(jì)。習(xí)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對數(shù)學(xué)知識的復(fù)習(xí)鞏固與升華的重要環(huán)節(jié)。在三版數(shù)學(xué)教科書中，習(xí)題設(shè)計(jì)都和實(shí)際生活相聯(lián)系，也就是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的實(shí)際應(yīng)用。勾股定理的證明方法有很多種，人教版與華師版數(shù)學(xué)教科書直接就給出了一般的習(xí)題，而北師版數(shù)學(xué)教科書則加入了數(shù)學(xué)史，比如，“如圖是美國總統(tǒng)Garfield于1876年給出的一種驗(yàn)證勾股定理的辦法，你能利用它驗(yàn)證勾股定理嗎？”，“意大利文藝復(fù)興時代的著名畫家達(dá)芬奇對勾股定理也曾進(jìn)行了研究”等等。這就多了精神與文化層次的內(nèi)容，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及對文化發(fā)展的探索。課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿記憶，動手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要方式。因此，習(xí)題的功能也應(yīng)與之相匹配。而數(shù)學(xué)史的融入能夠起到很好的促進(jìn)作用，讓學(xué)生帶著對數(shù)學(xué)史的認(rèn)識與探索，去自主發(fā)現(xiàn)、實(shí)踐、探索與交流知識，從而極大的促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，自己也能發(fā)現(xiàn)與得到偉大數(shù)學(xué)家探索到的知識。

4.勾股定理的閱讀材料。數(shù)學(xué)教材中閱讀材料內(nèi)容豐富、圖文并茂，集趣味性、知識性、史料性、教育性于一身，是對教學(xué)內(nèi)容的補(bǔ)充和拓展，是對學(xué)生進(jìn)行思想教育的極好內(nèi)容。因此，好的全面的閱讀材料對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起到極大的推動作用。人教版數(shù)學(xué)教科書中的閱讀材料是勾股定理的證明，涉及了畢達(dá)哥拉斯的證明、弦圖的另一種證明以及美國總統(tǒng)Garfield對勾股定理的證明。北師版數(shù)學(xué)教科書的每一小節(jié)后，都有相應(yīng)的數(shù)學(xué)閱讀材料供學(xué)生閱讀，涉及到了勾股世界、勾股定理的“無字證明”以及勾股組數(shù)與費(fèi)馬大定律，讓學(xué)生能夠全面地了解勾股定理的文化背景。華師版數(shù)學(xué)教科書中閱讀材料包括勾股定理史話和美麗的勾股數(shù)。其共同特點(diǎn)是通過閱讀材料，對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)史教育，滲透了德育教育，從而使學(xué)生對數(shù)學(xué)家的成就產(chǎn)生自豪感，從而起到督促自己學(xué)習(xí)的作用。不同的就是材料的選取，人教版的閱讀材料僅從證明方面對勾股定理作了補(bǔ)充介紹，而北師版和華師版閱讀材料涉及的面很廣，不僅介紹了勾股定理的證明，更多地體現(xiàn)出了勾股定理發(fā)現(xiàn)與發(fā)展這一長遠(yuǎn)歷史背后的文化，讓學(xué)生能夠整體把握勾股定理的發(fā)展歷程。

三、勾股定理的教學(xué)建議

新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念之一是要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值。在這個理念的倡導(dǎo)下，各版數(shù)學(xué)教科書的各個板塊都蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)知識的歷史文化。人教版數(shù)學(xué)教科書在引入方面設(shè)計(jì)得很好，但是在過程展示中沒有體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性。因此，當(dāng)數(shù)學(xué)教師講解趙爽弦圖時，可以引導(dǎo)學(xué)生自己去證明。從而使學(xué)生經(jīng)歷思考的過程，對知識的理解也更深刻。習(xí)題的講解中，教師應(yīng)多融入數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生鉆研的精神，習(xí)題也不再干枯無趣，而是充滿了樂趣與挑戰(zhàn)。人教版數(shù)學(xué)教科書閱讀材料有些片面，這就要求教師要具備相應(yīng)的數(shù)學(xué)史知識，要掌握勾股定理的整個發(fā)展歷程，從而把數(shù)學(xué)史融入課堂。北師版數(shù)學(xué)教科書整體設(shè)計(jì)得很好，唯一不足就是過程展示中沒能很好的體現(xiàn)材料，教材中只利用了兩個直角三角板三邊長度的測量結(jié)果去找尋三邊的關(guān)系，教師可以加入古埃及人利用繩子打結(jié)得到直角三角形的例子，然后在引導(dǎo)學(xué)生去測量直角三角板三邊的長度。北師版數(shù)學(xué)教科書習(xí)題設(shè)計(jì)得很有水平，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該充分認(rèn)識與利用這些習(xí)題，從而更好的促進(jìn)教學(xué)。華師版數(shù)學(xué)教科書也是在過程展示中沒能很好地體現(xiàn)材料，也利用了測量直角三角形三邊長。接著又提到了正方形瓷磚拼成的地面這個例子，僅僅這樣去講解這個例子，顯得很枯燥，可以加入一些中西方的數(shù)學(xué)史增加趣味，活躍課堂氣氛，達(dá)到良好的教學(xué)效果。數(shù)學(xué)史對于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有著積極的推動作用，能夠激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，認(rèn)識到數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程以及數(shù)學(xué)家的探索精神，從而促進(jìn)學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。因此，不管是哪版教科書，只是起到數(shù)學(xué)教學(xué)載體的作用，教師可以參考教材，但不能完全依賴教材。這就需要教師具有良好的數(shù)學(xué)涵養(yǎng)，對于數(shù)學(xué)知識背后的歷史與文化有充分的認(rèn)識，從而才能很好地適應(yīng)與投入到新課程改革中，才能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的人文價值。

參考文獻(xiàn)：

[1]林群.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（八年級下）[M].北京：人民教育出版社，2008.

探索勾股定理范文第3篇

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)活動；動手操作；合作交流；數(shù)形結(jié)合

教材簡介：

本課教材選自蘇科版《數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動（八上）》初中數(shù)學(xué)教材中勾股定理與平方根一節(jié)。

教材分析：

勾股定理是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個非常重要的定理，之前學(xué)生們運(yùn)用方格紙，通過計(jì)算面積的方法探索了勾股定理。本課不只要求學(xué)生掌握驗(yàn)證方法，更重要的是通過豐富有趣的拼圖活動，通過教師的指導(dǎo)、同伴的合作和學(xué)生親自動手剪紙、拼圖、驗(yàn)證等一系列數(shù)學(xué)活動，體會數(shù)形結(jié)合的思想，體會勾股定理的數(shù)學(xué)價值和文化價值。

教學(xué)目標(biāo)：

1.經(jīng)歷綜合運(yùn)用已有知識解決問題的過程，在此過程中加深對勾股定理、整式運(yùn)算、面積等的認(rèn)識。

2.經(jīng)歷不同的拼圖方法驗(yàn)證勾股定理的過程，體驗(yàn)解決同一問題方法的多樣性，進(jìn)一步體會勾股定理的文化價值。

3.通過獲得成功的體驗(yàn)和克服困難的經(jīng)歷，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。通過豐富有趣的拼圖活動增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：

重點(diǎn)：通過拼圖驗(yàn)證勾股定理及勾股定理的應(yīng)用過程，使學(xué)生獲得一些研究問題與合作交流的方法經(jīng)驗(yàn)。

難點(diǎn)：利用數(shù)形結(jié)合的方法驗(yàn)證勾股定理。

教學(xué)方法：

引導(dǎo)、操作、合作、探究，多媒體輔助教學(xué)

教學(xué)過程：

本節(jié)課主要是通過幾個活動讓學(xué)生體驗(yàn)并探究勾股定理的一些驗(yàn)證方法，首先通過情景創(chuàng)設(shè)激發(fā)學(xué)生探究的激情。

情境創(chuàng)設(shè)：

1.你知道勾股定理的內(nèi)容嗎？說說看。

畫直角三角形并寫出勾股定理的表達(dá)式。

2.你知道關(guān)于勾股定理的哪些歷史故事？你知道勾股定理的來歷和有多少種證法嗎？

課件展示畢達(dá)哥拉斯的雕像圖片和地磚圖片，講述畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理的故事。

3.前面我們運(yùn)用方格紙，通過計(jì)算面積的方法探索了勾股定

理。今天我們再來探究勾股定理的其他驗(yàn)證方法。

活動一：

活動準(zhǔn)備：用硬紙板各剪4個完全相同的直角三角形（不妨設(shè)兩直角邊分別為a、b，且a≤b，斜邊為c），再剪2個邊長分別為c和（b-a）的正方形。

活動要求：你能選用這些中的部分圖形拼成一個大正方形嗎？

你能用拼成的圖形驗(yàn)證勾股定理嗎？

學(xué)生小組合作交流探究并展示。（了解學(xué)生拼圖的情況及利用自己的拼圖驗(yàn)證勾股定理的情況。教師在巡視過程中，相機(jī)指導(dǎo)，并讓學(xué)生展示自己的拼圖及讓學(xué)生講解驗(yàn)證勾股定理的方法，并根據(jù)不同學(xué)生的不同狀況給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生整理結(jié)論。）

通過對弦圖的分析，得到面積的關(guān)系

c2=（b－a）2＋4ab 化簡得：a2+b2=c2

課件介紹三國時期東吳人趙爽的“勾股圓方圖”，也稱為“弦圖”，并出示趙爽弦圖和世界數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)。

活動二：

四個直角三角形還可以怎么擺成正方形呢？

學(xué)生先獨(dú)立探究，再小組活動交流，并上黑板展示拼圖方法和驗(yàn)證：由面積關(guān)系得到：（a+b）2＝c2＋4× ab，化簡得：a2+b2=c2。

活動三：

你能用兩個直角邊分別為a、b，且a≤b，斜邊為c的直角三角形和一個直角邊為c的等腰直角三角形拼圖并驗(yàn)證勾股定理嗎？

如圖：兩個全等的直角三角形ABC和BEF的三邊長分別為a、

b、c可得面積關(guān)系 （a+b）2＝ c2＋2× ab

化簡得：a2+b2=c2

課件介紹：“總統(tǒng)證法”――美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德。

活動總結(jié)交流：活動二和活動三的證法其實(shí)完全相同。

課件展示與欣賞畢達(dá)哥拉斯證法和印度婆什迦羅的證明，并讓學(xué)生展示課前查找資料了解到的證明方法。

活動四：制作五巧板驗(yàn)證勾股定理。

步驟：

1.做一個RtABC，以斜邊AB為邊向內(nèi)做正方形ABDE，并在正方形內(nèi)畫圖，使DFBI，CG=BC，HGAC，這樣就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。

沿這些線剪開，就得了一幅五巧板。

2.取兩幅五巧板，將其中的一幅拼成一個以C為邊長的正方

形，將另外一幅五巧板拼成兩個邊長分別為a、b的正方形，你能拼出來嗎？（給學(xué)生充分的時間進(jìn)行拼圖、思考、交流經(jīng)驗(yàn)，對于有困難的學(xué)生教師要給予適當(dāng)引導(dǎo)。）

歸納小結(jié)，形成技能。今天這節(jié)課你有何收獲？

（如驗(yàn)證勾股定理的方法、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想、我國古代科學(xué)家的成就、合作交流的方法與經(jīng)驗(yàn)………）

課后作業(yè)：

上網(wǎng)查找有關(guān)利用拼圖來驗(yàn)證勾股定理證明的方法，每人至少能說出一種與本課提到的不一樣的方法，若有好的方法可用小論文的形式寫出來。

教學(xué)反思：

本課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，讓學(xué)生通過制作拼圖，通過動手操作，合作交流，發(fā)現(xiàn)問題，讓學(xué)習(xí)內(nèi)容問題化，讓教材成為學(xué)生核心學(xué)習(xí)活動鮮活的材料。

探索勾股定理范文第4篇

【關(guān)鍵詞】勾股定理；體驗(yàn)探究；勾股定理的證法；剪切拼圖法；風(fēng)車證法；勾股數(shù)組

一、創(chuàng)設(shè)思維情境，引出并體驗(yàn)勾股定理

數(shù)學(xué)教學(xué)是師生之間、同學(xué)之間交流、互動與共同發(fā)展的過程.我們的教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探究、交流，主動地豐富自己的數(shù)學(xué)知識和能力。為此，在我的教學(xué)過程中將自己所任課的班分成5個研究性學(xué)習(xí)小組，各組有人負(fù)責(zé)，并聘請老師參加和指導(dǎo)。

勾股定理是一個古老而有趣的問題，幾乎每位同學(xué)都知道“勾三股四弦五”這個定理的特例。即若直角三角形兩直角邊長分別為3和4，斜邊長為5，則存在32+42=52這種關(guān)系。

在RtABC中，記AB=a，AC=b，AB=c，是否存在a2+b2=c2這種關(guān)系呢？為體驗(yàn)這個事實(shí)，我們再作些直角三角形，并測量所求結(jié)果。

（1）a=5，b=12，c=___.

（2）a=2，b=4，c=___.（精確到0.1）

（3）a=6，c=10，b=___.

（4）b=24，c=25，a=___.

第（1）、（2）題，作直角三角形，測量的結(jié)果分別是13，4.5，第三題可先作直徑為10的半圓，量出弦BC=6，測得b=8，且∠ACB為直角。第（4）題與第三題類同，測得a=7。

體驗(yàn)是“人們存在的方式”，是人的“素質(zhì)形成與發(fā)展的核心環(huán)節(jié)”，只有讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷體驗(yàn)，才會激起學(xué)生無休止的好奇心、探索欲和創(chuàng)造力。經(jīng)過上述反復(fù)體驗(yàn)，得到勾股定理：在RtABC中，若a、b為直角邊長，c為斜邊長，則：a2+b2=c2。

進(jìn)而得到勾股定理的逆定理：在ABC中，三邊長分別為a、b、c，若a2+b2=c2，則：ABC為直角三角形。

二、探究勾股定理的證明

老師可提前布置各小組同學(xué)，去尋找勾股定理的不同證法和廣泛應(yīng)用。在數(shù)學(xué)課（或研究課）上，各小組可指派代表發(fā)言和演示，給出他們研究和探索的結(jié)果，經(jīng)過師生互相交流，大家對勾股定理的證明和應(yīng)用全面認(rèn)識和深刻的理解?？偨Y(jié)各小組的證法如下：

證法一：將四個全等的直角三角形平鋪拼圖（如圖1）如大正方形的面積與四個直角三角形的面積之和，則有：（a+b）2=c2+4×■aba2+b2=c2

證法二：將四個全等的直角三角形平鋪拼圖（如圖2），則：c2=（a-b）2+4×■aba2+b2=c2

證法三：將并排的兩個正方形進(jìn)行割補(bǔ)（如圖3）將剪掉的標(biāo)有1、2、3的三角形填補(bǔ)，在大正方形的1、2、3處。由面積等式，則：a2+b2=c2

證法四：利用射影定理證明，在RtABC中，由射影定理：

AC2=AD?AB，BC2=DB?AB

AC2+BC2=AD?AB+DB?AB

=AB（AD+DB）

=AB2

下面給出比較著名的兩個證法――證法五（如圖4）和證法六（如圖5）

在圖4中，因?yàn)榉指铋L直角邊上的正方形，使其形如風(fēng)車，所以這一方法稱為“風(fēng)車證法”。“風(fēng)車證法”的剪拼步驟如下（如圖6）：

作正方形的中心O；

過O做直線垂直AB交正方形的兩邊與M、N；

過O做直線垂直MN交正方形的另外兩邊與P、Q；

沿線段MN、PQ剪開即可。

至于為什么MN要垂直AB，我可以從平移變換的角度來考慮。簡單的說，那是因?yàn)樗倪呅蜝MOP經(jīng)平移變?yōu)镚FAH，OM平行AF；AF垂直AB，也即OM（MN）垂直AB。

在眾多剪拼方法和證明方法中，有的人還提出了一些不夠直觀甚至是錯誤的方法，對于這些方法也不要輕易放棄，教師要珍重每位同學(xué)構(gòu)思出來的方法。即使做法和結(jié)論是錯誤的，我們也要找出錯誤的原因，從中吸取經(jīng)驗(yàn)和受到啟發(fā)。要通過觀察、思考、動手試驗(yàn)等過程引導(dǎo)學(xué)生不斷探究新的數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)方法。

三、勾股數(shù)組

我們把滿足x2+y2=z2的三個正整數(shù)x、y、z叫勾股數(shù)。（x、y、z）叫做勾股數(shù)組。如果（x，y，z）=1，則這樣的勾股數(shù)組叫做基本勾股數(shù)組。例如：（3，4，5），（5，12，13），（12，35，37）等都是基本勾股數(shù)組，而（6，8，10）不是基本勾股數(shù)組.容易看出，若（x，y，z）是一個基本勾股數(shù)組，則（kx、ky，kz）都是勾股數(shù)組。

我們把邊長為勾股數(shù)的三角形叫做勾股三角形。這里我們又得到另一個應(yīng)用。

定理：勾股三角形的內(nèi)切圓的半徑一定是整數(shù).

證明：設(shè)RtABC的內(nèi)切圓半徑為r，則r=■

由于勾股數(shù)a、b、c不能同時為奇數(shù)，所以a+b-c為偶數(shù)，從而r為整數(shù)。

許多數(shù)學(xué)問題規(guī)律性很強(qiáng)，我們總希望用一些定理或公式找到更多的基本勾股數(shù)組，這里將我們師生探究勾股數(shù)得到的結(jié)論給出來。設(shè)Rt的直角邊長為x，y，斜邊長為z，且n，s，t都是正整數(shù)，則勾股數(shù)組有兩類：

x=2n+1y=2n2+2nz=2n+2n+1或 x=2sty=s2-t2z=s2+t2

列表如下：

從表中我們發(fā)現(xiàn)，第一類勾股數(shù)滿足（x，y，z）=1，都是基本的，但不是全部的.第二類勾股數(shù)組不是基本的，但它對第一類給以補(bǔ)充。我們還發(fā)現(xiàn)許多有趣的結(jié)論，如：x，y，z不可能都是奇數(shù)，它們中可以有一個偶數(shù)或全部是偶數(shù)。再如：（x，y，z）是基本勾股數(shù)組，則x，y中必有一個能被3整除，等等。

在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，給我們帶來的啟示很多，首先是這個古老問題有探究不盡的課題。它的不同證法，廣泛的應(yīng)用以及勾股數(shù)的趣味性給我們拓寬了眼界，打通了思路，不僅是對知識的傳承，更多的是激發(fā)了我們師生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，獲得更多更好的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，提高了空間想象能力和創(chuàng)造性思維。

【參考文獻(xiàn)】

探索勾股定理范文第5篇

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課以勾股定理解決實(shí)際問題為載體，通過對它的學(xué)習(xí)和研究，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的過程，幫助學(xué)生形成應(yīng)用意識，其應(yīng)用的廣泛性讓學(xué)生激發(fā)出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，能讓學(xué)生體會到學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的快樂.

二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 情境引入

師：暑假里我走過兩座橋――潤揚(yáng)大橋和南京長江三橋（多媒體顯示兩座橋的圖片），這兩座橋的夜景非常美麗，我們來仔細(xì)觀察一下，這兩座橋有什么共同的特征？

這兩座橋都是斜拉橋，斜拉橋的索塔、橋面與拉索組成許多直角三角形，如果我們知道了索塔的高，怎樣計(jì)算拉索的長呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的勾股定理的應(yīng)用――生活篇.（師板書課題：2.7勾股定理的應(yīng)用）

2. 簡單應(yīng)用

師：到了南京第二天，我決定去游玩玄武湖，到達(dá)中央路時，我發(fā)現(xiàn)玄武湖東西向隧道與中央路北段及龍?bào)绰反笾鲁芍苯侨切危ㄈ鐖D1）. 從B處到C處，如果直接走湖底隧道BC，將比繞道BA（約1.36千米）和AC（約2.95千米）減少多少行程（精確到0.1千米）？

生1：根據(jù)勾股定理可以求出BC的長度，然后用AB與AC的和減去BC，所得的結(jié)果就是減少的行程.

評析 這是一次旅行，由公路與隧道引出，貼近學(xué)生的生活，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)探索下去的興趣. 引導(dǎo)學(xué)生觀察路線的最佳選擇方案，通過運(yùn)用勾股定理，從而解決實(shí)際的問題.

師：進(jìn)入玄武湖，我們看到幾只小鳥停在樹上歡快地歌唱，其中一只小鳥從一棵樹飛到了另外一棵樹上. 這兩棵樹之間相距12米，一棵樹高16米，另一棵樹高11米，那么這只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端至少要多少米呢？

生2：作輔助線得到直角三角形，可以求出兩條直角邊分別為5米和12米，由勾股定理可以求出小鳥飛行的最短距離為13米.

評析 對于沒有直接給出直角三角形的實(shí)際問題，通過已知條件在圖形中構(gòu)造直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解決問題.

3. 深層拓展

師：我們繼續(xù)前行，看到滿池的荷花，忽然想到南宋詩人楊萬里的一首絕句“接天蓮葉無窮碧，映日荷花別樣紅”. 在池塘邊有幾個游人正在那里摘荷葉，由于靠岸邊的荷葉都已經(jīng)被摘掉了，只能去采摘離岸更遠(yuǎn)的荷葉. 這一幅場景讓我想起了《九章算術(shù)》里的一道題目，叫作“引葭赴岸”.

“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”

“有一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺. 如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B′. 水深和蘆葦長各多少尺？”

生3：可以看出這個圖形（圖2）里有直角三角形ACB′，但只知道CB′的長度為5，還有AC與AB′的關(guān)系，可以設(shè)AC = x，則AB′ = x + 1，利用勾股定理可以求出x的值.

評析 選用這個問題作為勾股定理深層拓展的主要原因有二：其一，通過這個問題的討論，學(xué)生可以進(jìn)一步了解我國古代人民的聰明才智和勾股定理的悠久歷史；其二，這個問題是引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的一個載體. 在這個題目的教學(xué)中，不僅要關(guān)注勾股定理的應(yīng)用，而且要把教學(xué)的重點(diǎn)放在引導(dǎo)學(xué)生感悟求解這個問題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

師：我們租了兩條游船，開始游覽玄武湖.一船沿北偏西60°方向行駛，速度是6千米/小時，一船沿南偏西30°方向行駛，速度是8千米/小時. 經(jīng)過多長時間我們兩船之間的距離正好是20千米呢？

生4：設(shè)時間為t，可知OA = 6t，OB = 8t，利用勾股定理得到（6t）2 + （8t）2 = 400，求出t = 2小時.

評析 這個問題同樣是只知道一個量，需要借助于時間這個未知量來建立方程，從而解決問題.

4. 鞏固訓(xùn)練

師：經(jīng)歷了這一次南京之旅，我們學(xué)到了很多知識，下面讓我們運(yùn)用這些知識來解決這樣一道生活中的問題.

如圖3，一架長為10米的梯子AB斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米. 如果梯子的頂端下滑1米，那么它的底端是否也滑動1米？

評析 學(xué)生經(jīng)過前面兩題的訓(xùn)練已經(jīng)掌握了此類題目的解法，即找出兩個量之間的關(guān)系，從而根據(jù)勾股定理列出方程，解決實(shí)際中的問題. 通過本題加深學(xué)生對勾股定理應(yīng)用的理解.

5. 提升總結(jié)

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對勾股定理有怎樣的新的認(rèn)識？你有什么收獲？

評析 讓學(xué)生再一次回顧勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，總結(jié)本節(jié)課中所用到的數(shù)學(xué)思想方法. 將實(shí)際問題通過構(gòu)造直角三角形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而通過勾股定理來解決. 6. 課后延伸

作業(yè)：課本67頁習(xí)題2.7第1題，第2題，第4題.