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摘要：作為研究隨機(jī)現(xiàn)象、統(tǒng)計(jì)規(guī)律的重要數(shù)學(xué)分支，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在社會(huì)生產(chǎn)、生活中發(fā)揮著重要的作用。然而在傳統(tǒng)的教學(xué)理念下，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)普遍存在“重理論、輕實(shí)踐”的現(xiàn)象。本文筆者將在充分結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，從具體教學(xué)案例出發(fā)，深入探究案例教學(xué)法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中所發(fā)揮的重要作用，旨在為促進(jìn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革與創(chuàng)新提供充足的理論依據(jù)與實(shí)踐借鑒。

關(guān)鍵詞：案例教學(xué)法；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；教學(xué)研究；應(yīng)用

作為研究社會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象、統(tǒng)計(jì)普遍規(guī)律的重要數(shù)學(xué)分支，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)理論其方法被普遍應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)發(fā)展、生產(chǎn)生活及國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)領(lǐng)域，從子彈的命中率問(wèn)題、航天器的碰撞概率問(wèn)題到硬幣投擲問(wèn)題、彩票中獎(jiǎng)問(wèn)題都需要用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行分析和解答。正如法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾所言：“生活中最重要的問(wèn)題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率問(wèn)題?！笨梢?jiàn)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在我們的生產(chǎn)生活中發(fā)揮著不可忽視的重要作用。這就需要高等數(shù)學(xué)中的概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)要充分結(jié)合本學(xué)科特點(diǎn)，在充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性的基礎(chǔ)上，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)效率、學(xué)習(xí)質(zhì)量、學(xué)習(xí)水平的不斷提高，為他們用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。然而，我國(guó)當(dāng)前部分高校的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中普遍存在“重理論講解、輕實(shí)踐操作，重技巧應(yīng)運(yùn)用、輕數(shù)學(xué)思維”的現(xiàn)象，使學(xué)生花費(fèi)大量精力學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)相關(guān)理論知識(shí)后，即便是得到較高的書(shū)面分?jǐn)?shù)，卻很難在實(shí)際生活中應(yīng)用所學(xué)知識(shí)靈活地解決實(shí)際問(wèn)題，而無(wú)法達(dá)到學(xué)以致用的目的。這種傳統(tǒng)的教學(xué)模式不僅不利于學(xué)生綜合素質(zhì)和全面能力的培養(yǎng)及提高，而且還會(huì)因?yàn)榭菰锏恼n堂教學(xué)扼殺學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、降低概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課堂教學(xué)的實(shí)效性。因此，新時(shí)代背景下的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)，應(yīng)從學(xué)生的認(rèn)知水平、實(shí)際情況出發(fā)，在理論與實(shí)踐緊密結(jié)合思想的指導(dǎo)加強(qiáng)實(shí)用性教學(xué)。而案例教學(xué)法，即通過(guò)在課堂教學(xué)過(guò)程中引入有代表性的、學(xué)生感興趣的、與課堂內(nèi)容緊密結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)對(duì)理論知識(shí)的分析和講解。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)用案例教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)，在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，提高將概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題解決的相關(guān)能力。

一、案例教學(xué)法的特征及優(yōu)勢(shì)

案例教學(xué)法就是教師在課堂中通過(guò)引入與教學(xué)內(nèi)容緊密結(jié)合的實(shí)際問(wèn)題，并將其作為教學(xué)案例，引導(dǎo)學(xué)生參與案例分析和討論，實(shí)現(xiàn)理論知識(shí)與生活實(shí)踐的緊密結(jié)合，并促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題及將理論知識(shí)應(yīng)用于生活實(shí)踐等相關(guān)能力的不斷提高。與其他數(shù)學(xué)課程一樣，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)也具有理解起來(lái)難度高、理論內(nèi)容豐富抽象、相關(guān)試題復(fù)雜多樣等特征。基于這些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特征，傳統(tǒng)的教學(xué)方法不僅加大了教師的教學(xué)難度，而且也不利于教學(xué)效果的提高。這就需要教師積極的創(chuàng)新教學(xué)理念和教學(xué)方法，結(jié)合案例教學(xué)法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和積極性，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的不斷提高，以最終獲得理想的教學(xué)效果。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中應(yīng)用案例教學(xué)，可以讓學(xué)生在生動(dòng)形象的實(shí)際問(wèn)題中，加深對(duì)抽象、難懂理論知識(shí)的理解。此外，學(xué)生還可以在具體案例的討論分析和探究過(guò)程中，獲得更高的學(xué)習(xí)熱情和興趣，以最終促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量和教師教學(xué)效果的全面提高。從教學(xué)的層面而言，案例教學(xué)法充分發(fā)揮了學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中的主體作用，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、合作學(xué)習(xí)能力、探究學(xué)習(xí)能力。因此，案例教學(xué)法是溝通概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論知識(shí)與生活實(shí)際相聯(lián)系的重要橋梁。

二、在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中應(yīng)用案例教學(xué)法需注意的問(wèn)題

再好的教學(xué)方法都應(yīng)該與教學(xué)內(nèi)容相適應(yīng)、與學(xué)生的認(rèn)知水平、興趣愛(ài)好相一致，案例教學(xué)法同樣也要滿足這些要求。因此，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)過(guò)程中應(yīng)用案例教學(xué)法需注意以下幾個(gè)問(wèn)題：

1、案例的選擇

案例教學(xué)法的實(shí)施過(guò)程中，要特別注重對(duì)案例的選擇。要選擇與所學(xué)理論知識(shí)聯(lián)系密切且難易程度適中、便于學(xué)生理解的案例。同時(shí)，在課堂教學(xué)中的應(yīng)用的案例，還要具有一定的延伸性和拓展性，讓學(xué)生一方面可以在生動(dòng)有趣的案例中，提高學(xué)習(xí)熱情；同時(shí)，也可以在經(jīng)典案例的指引下，開(kāi)闊思維、拓展視野。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展史上，有很多像“平分賭金”一類(lèi)的經(jīng)典案例。當(dāng)然教師也可以根據(jù)專(zhuān)業(yè)背景、社會(huì)趨勢(shì)的具體變化，審時(shí)度勢(shì)地選擇與教學(xué)內(nèi)容緊密結(jié)合的案例，以為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)輕松、自由、和諧的課堂氛圍，最終實(shí)現(xiàn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課堂教學(xué)的有效性的不斷提高。

2、案例教學(xué)的具體組織在應(yīng)用案例教學(xué)法時(shí)，教師要特別注意案例引入的時(shí)機(jī)和方法。教師要通過(guò)提出問(wèn)題的方式，先為學(xué)生設(shè)下懸念，以調(diào)動(dòng)起他們的學(xué)習(xí)欲望。然后，再帶領(lǐng)新生開(kāi)始了解和認(rèn)識(shí)新知識(shí)，等他們對(duì)新知識(shí)有了初步的了解后，再結(jié)合之前案例中的問(wèn)題，組織學(xué)生進(jìn)行討論、分析，自由發(fā)言。在學(xué)生討論過(guò)程中教師要做好巡場(chǎng)指導(dǎo)和問(wèn)題解決工作；在學(xué)生發(fā)表觀點(diǎn)后，教師要及時(shí)地就發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題做深入的分析和解答，幫助學(xué)生建立其解決實(shí)際問(wèn)題的具體思路和有效方法。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)用案例教學(xué)法的教師要特別注重對(duì)課堂時(shí)間的整體把握，要把握好案例討論和觀點(diǎn)表達(dá)的時(shí)間，要充分結(jié)合多媒體教學(xué)方式，以聲音、圖像、視頻等方式，將原本枯燥無(wú)味的理論知識(shí)形象生動(dòng)地展示出來(lái)，為學(xué)生進(jìn)一步研究和深入探討奠定基礎(chǔ)。

三、案例教學(xué)法的運(yùn)用實(shí)例

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，從每道例題到專(zhuān)題討論都可以使用案例教學(xué)法。下文筆者將結(jié)合幾個(gè)具體案例，對(duì)案例教學(xué)法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用展開(kāi)分析。結(jié)合經(jīng)典的“平分賭金問(wèn)題”，引入數(shù)學(xué)期望和古典概率的相關(guān)知識(shí)。

案例1: 保羅和德梅爾是兩個(gè)賭技術(shù)相當(dāng)?shù)馁€徒，現(xiàn)他們各出六個(gè)金幣做賭注，賭前約定：誰(shuí)先贏三局，就可以拿走所有的12枚金幣。而已知共堵了三局，保羅一勝兩負(fù)，但由于特殊原因要結(jié)束賭博，問(wèn)如何分配這十二枚金幣，才能達(dá)到最大程度的公平。在引入這一案例后，教師可以留給學(xué)生幾分鐘的時(shí)間用于思考和討論，并表達(dá)自己的意見(jiàn)。根據(jù)學(xué)生的回答發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生是根據(jù)已經(jīng)比賽的結(jié)果來(lái)對(duì)金幣進(jìn)行分配，即保羅可以拿到1/3（4枚金幣），而德梅尓可以拿到2/3（8枚金幣）。在同學(xué)們表達(dá)完自己的想法之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行深入的探討，來(lái)分析這種分法是否正確。教師引導(dǎo)學(xué)生思考如果再賭兩局會(huì)有以下四種結(jié)果：德德，德保，保德，保保。前三種情況都是德梅尓先勝三局，那么他就可以獲得12枚金幣。只有最后一種情況是保羅先勝3局，可以得到12枚金幣。因此，整體看來(lái)，德梅爾和保羅能分別獲勝的概率為 和 ，那么該案例中金幣合理的分配方法應(yīng)該是，德梅尓得到 （9枚金幣），保羅得到 （3枚金幣）。接下來(lái)教師就可以接著這個(gè)案例再進(jìn)步一步引出古典概率的相關(guān)理論知識(shí)。同時(shí)，從另一個(gè)角度而言，如果，引入一個(gè)隨機(jī)變量 ，用來(lái)代表再繼續(xù)賭兩局后德梅尓所得，則 的取值為0或12，概率分別是 和 。因此，德梅尓的期望所得為： 。接下來(lái)教師就可以順勢(shì)引出的 期望值就是 可能值和其概率相乘的累加，并引出“數(shù)學(xué)期望”的相關(guān)概念。此外，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中還有經(jīng)典的“三門(mén)問(wèn)題”，教師可以在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)對(duì)“三門(mén)問(wèn)題”的引用，以加深學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)原理和思想的認(rèn)識(shí)及理解，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)能力的進(jìn)一步提高。

案例2: 美國(guó)二十世紀(jì)70年代有一個(gè)電視節(jié)目中有三扇門(mén)，在這三扇門(mén)后面有且僅有一扇門(mén)有獎(jiǎng)品，節(jié)目參與者可以在這三扇門(mén)中任意選擇一扇門(mén)，主持人把另外兩扇門(mén)中沒(méi)有獎(jiǎng)品的一扇門(mén)打開(kāi)，然后問(wèn)參賽者：“是否要換另外一扇門(mén)，還是堅(jiān)持選擇最初的那扇門(mén)?！边@時(shí)大部分人憑直覺(jué)認(rèn)為，剩下兩扇未被打開(kāi)的門(mén)中，有獎(jiǎng)和沒(méi)獎(jiǎng)的概率都是50%，因此沒(méi)有必要再做改變。然而用概率論的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行分析卻會(huì)得出相反的結(jié)論。原因是在最初參與者進(jìn)行選擇時(shí)，能選中有獎(jiǎng)門(mén)的概率為 ，其余兩扇門(mén)的中獎(jiǎng)概率是 。然而當(dāng)主持人打開(kāi)確定沒(méi)有獎(jiǎng)品的門(mén)之后， 的概率都集中到另外一扇參與者沒(méi)選的門(mén)上，而不會(huì)與參與者最初所選進(jìn)行二次概率分配。也就是說(shuō)如果參賽者能堅(jiān)持最初的選擇，那么中獎(jiǎng)概率僅為 ，而如果參賽者改變選擇，中獎(jiǎng)概率為 。因此，主持人打開(kāi)一扇門(mén)之后，如果參賽者改變最初的選擇，則會(huì)提高中獎(jiǎng)概率。

參考文獻(xiàn)：

【1】謝安，淺析概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)改革【J】，統(tǒng)計(jì)教育2005（04）：331-334.

作者：帕提古麗·木沙 米合甫孜·胡達(dá)拜地 單位：和田師范專(zhuān)科學(xué)校數(shù)學(xué)與信息學(xué)院