類比法教學(xué)概率統(tǒng)計(jì)論文
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匈牙利數(shù)學(xué)家玻利亞說：“類比是一個(gè)偉大的引路人?！鳖惐茸鳛橐环N思維方法，其側(cè)重的不是邏輯性、確定性、嚴(yán)格性，而是創(chuàng)造性、猜測性、靈活性。概率統(tǒng)計(jì)中的許多概念都可以通過類比引出并揭示其本質(zhì)。此外，我們可利用原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)借助類比法，有效地掌握新知識(shí)，并將這些知識(shí)有機(jī)系統(tǒng)地統(tǒng)一起來。
1.1隨機(jī)事件的關(guān)系運(yùn)算與集合的關(guān)系運(yùn)算的類比由于事件可以看成由某些樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合，因此可將二者類比學(xué)習(xí)。例如：集合A∪B表示其中任意一個(gè)元素x僅屬于A或者僅屬于B或者屬于A和B的公共部分，我們可以形象地用韋氏圖來表示。此時(shí)若將A和B看作是事件，則事件A∪B表示“事件A和事件B至少有一個(gè)發(fā)生”，記作A+B，即概率論中事件的和等同于集合論中集合的并集。同樣的類比方法，我們可將集合論中集合的交集類比到概率論中事件的積中去。在教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生先回顧集合之間的各種關(guān)系運(yùn)算，隨之再引出相應(yīng)的事件間的關(guān)系運(yùn)算，最后歸納總結(jié)。此外，事件運(yùn)算的性質(zhì)如交換律、結(jié)合律、分配律均可對(duì)照集合的相應(yīng)性質(zhì)進(jìn)行類比學(xué)習(xí)。
1.2離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的類比對(duì)于離散型隨機(jī)變量，學(xué)生感覺較容易，但對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，往往學(xué)生感覺抽象難理解。由于分布列在離散型隨機(jī)變量中的地位與密度函數(shù)在連續(xù)型隨機(jī)變量中的地位等同，因此對(duì)于離散型隨機(jī)變量中的邊緣分布列與聯(lián)合分布列的關(guān)系可以過渡到連續(xù)型隨機(jī)變量中邊緣密度函數(shù)與聯(lián)合密度函數(shù)的關(guān)系中去，此外諸如隨機(jī)變量的獨(dú)立性的充要條件以及期望與方差的計(jì)算均可輕松過渡。具體我們可通過“把連續(xù)的問題離散化”這種方法，實(shí)際是將對(duì)離散型隨機(jī)變量中對(duì)分布列的求和變成對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量中的密度函數(shù)求積分即可。表1我們將對(duì)其中的部分性質(zhì)及計(jì)算作一個(gè)簡要的類比。
1.3一維隨機(jī)變量與二維隨機(jī)變量的降維類比任何學(xué)習(xí)都是循序漸進(jìn)的，一般來說低維空間的知識(shí)相對(duì)簡單，容易被學(xué)生接受，所以最好的方法是從低維空間向高維空間過渡學(xué)習(xí)。降維類比法是將高維空間中的數(shù)學(xué)對(duì)象降低到低維空間中去觀察，利用低維空間中數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)類比歸納出高維數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)。我們知道一維離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)分別為:在研究二維離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，我們可用降維類比法得到其聯(lián)合分布函數(shù)分別為：通過上面的類比得知抽象的二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)與一維隨機(jī)變量有著一致的表達(dá)式，從而大大降低了學(xué)習(xí)的難度。此外，二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列與連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算均可借助一維隨機(jī)變量的相關(guān)知識(shí)引入。
2類比法在習(xí)題教學(xué)中的應(yīng)用
類比法是解題的有力工具。在習(xí)題教學(xué)中，教師若常引導(dǎo)學(xué)生用類比思維去尋找解題的方法，會(huì)起到事半功倍的效果。我們首先可以利用條件、結(jié)論或者結(jié)構(gòu)形式上的類似，聯(lián)想與之類似的概念性質(zhì)從中得到啟發(fā)。例如，在概率統(tǒng)計(jì)中有這樣一題：已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f∪x∪=ae-3xx＞00x≤≤0，求a。分析：此題若由密度函數(shù)的性質(zhì)，通過積分可求得a=3。但是我們?nèi)敉ㄟ^與指數(shù)分布的密度函數(shù)f≤x∪=λe-λxx＞00x≤≤0進(jìn)行對(duì)比，可知a=3。這樣在解題中不需要計(jì)算便可得到結(jié)果。
3、總結(jié)
總之，類比法是創(chuàng)造性地表達(dá)思維的重要手段，在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中有其特有的地位和作用。在概率論的類比法教學(xué)中，不僅要根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)提供恰當(dāng)?shù)念惐葘?duì)象，更為重要的是引導(dǎo)學(xué)生在類比中去發(fā)現(xiàn)目標(biāo)對(duì)象與類比對(duì)象的本質(zhì)區(qū)別，從而真正地認(rèn)識(shí)和理解目標(biāo)對(duì)象，否則則可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的理解與認(rèn)識(shí)。事實(shí)上，類比法在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用遠(yuǎn)不止于上述幾個(gè)方面，這里就不一一贅述。在概率論教學(xué)中若恰當(dāng)應(yīng)用類比法，可使學(xué)生將所學(xué)的知識(shí)條理化系統(tǒng)化，有利于提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。
作者：李燕楠何建營單位：中原工學(xué)院理學(xué)院
