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1理論推導(dǎo)

在r-z柱坐標(biāo)系下，假定隧道縱向沿z軸布置，徑向沿r軸布置，隧道一端位于坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)隧道長(zhǎng)l，兩端簡(jiǎn)支，則隧道兩端的坐標(biāo)為（r,0）、（r,l）。隧道斷面為圓形?？紤]隧道結(jié)構(gòu)有兩層組成，分別為襯砌和圍巖，每層的材料性能為均勻且各向同性。設(shè)隧道內(nèi)半徑為ra，圍巖外半徑為rb。隧道內(nèi)部溫度為Ta(z)，隧道外部圍巖溫度為Tb(z)，溫度荷載沿隧道環(huán)向?qū)ΨQ施加。計(jì)算考慮地應(yīng)力的作用，設(shè)隧道內(nèi)外邊界承受軸對(duì)稱的機(jī)械荷載，分別為qa(z)和qb(z)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程式中：i代表隧道層數(shù),模型結(jié)構(gòu)分2層；Ti代表隧道第i層的溫度；Ti為r和z的函數(shù)。式中：Ti(r,0)、Ti(r,l)為隧道兩端的溫度；λi為第i層的熱傳導(dǎo)系數(shù)，i=1,2。式中：ui和wi分別表示軸向和徑向位移；i=1，2；ri、i、zi為應(yīng)變分量；rzi為剪應(yīng)變。式中：E0、α0、λ0、T0分別為彈性模量、熱膨脹系數(shù)、熱傳導(dǎo)系數(shù)及溫度的參考值。將無(wú)量綱引入上述熱彈性基本方程和邊值條件，則熱傳導(dǎo)方程轉(zhuǎn)化為以上就得到了解決問(wèn)題所需要的3個(gè)微分方程及其相對(duì)應(yīng)的全部邊值條件，為了得到方程的解，運(yùn)用納維級(jí)數(shù)法，將滿足邊界條件的方程的解的形式假設(shè)為式中：系數(shù)1kiP、2kiP、1kiM～6kiM、1kiL～6kiL均可通過(guò)遞推公式推出，將求解出的系數(shù)代入式，即可求出二維穩(wěn)態(tài)隧道的溫度、位移的解析解，從而求出應(yīng)力的解析解，從而使問(wèn)題得解。隧道熱彈性分析圓形隧道有襯砌和圍巖兩部分組成，假定隧道半徑為4m，襯砌厚度為0.3m，即r1=4m,r2=4.3m。襯砌的彈性模量、泊松比、熱膨脹系數(shù)、熱傳導(dǎo)系數(shù)及剪切模量值分別。圍巖的彈性模量、泊松比、熱膨脹系數(shù)、熱傳導(dǎo)系數(shù)及剪切模量值分別。根據(jù)計(jì)算的需要，進(jìn)行無(wú)量綱化時(shí)需要的溫度、楊氏模量、熱膨脹系數(shù)、熱傳導(dǎo)系數(shù)的參考值分別取為80℃、20GPa、3.0×10-6K-1、2.60W/(m2·K)。

2邊界溫度及機(jī)械荷載的確定

假定隧道埋深200m，巖石的重度為2400kg/m3，則隧道圍巖外邊界承受的壓力qb(z)為4.8MPa，隧道內(nèi)邊界沒(méi)有承受機(jī)械荷載，即qa(z)為0。根據(jù)計(jì)算需要將隧道邊界溫度及機(jī)械荷載分解為沿隧道軸向的正弦級(jí)數(shù)式中：m值越大，分解后的正弦級(jí)數(shù)值與實(shí)際值就越接近，但當(dāng)m達(dá)到一定程度后，m值的增加并不能提高計(jì)算精度，反而會(huì)增大計(jì)算量，因此需要找到合理的m值。下面以隧道內(nèi)邊界溫度為例，確定m的合理取值。給出了m分別取5、10、20、40時(shí)，常數(shù)Ta按傅里葉級(jí)數(shù)展開后得到的效果圖。m值越大展開后的正弦級(jí)數(shù)越接近Ta的真實(shí)值。當(dāng)m值取20時(shí)，按傅里葉正弦級(jí)數(shù)展開已能夠滿足工程計(jì)算精度的要求。因此，本文中取m=20。合理的圍巖計(jì)算厚度的選擇在高地溫的環(huán)境下，巖石的原始溫度為80℃且在無(wú)限大的范圍內(nèi)保持穩(wěn)定，隧道內(nèi)部的溫度為26℃。由于隧道內(nèi)外存在明顯的溫度差，那么在隧道內(nèi)部與外部圍巖之間一定存在熱交換，且離隧道襯砌越近溫差越大，熱交換越劇烈；離隧道越遠(yuǎn)溫差越小，熱交換就越微弱。假定當(dāng)熱交換量小于一定的值時(shí)，將其忽略不計(jì)，那么隧道內(nèi)部與外部圍巖之間的熱量傳遞是存在于一定的范圍內(nèi)的。在進(jìn)行理論分析時(shí)，為了更真實(shí)、簡(jiǎn)便地進(jìn)行表達(dá)，需要找到圍巖溫度的變化范圍，即圍巖的合理計(jì)算厚度。由于隧道開挖而造成的圍巖溫度的變化范圍是一定的，且隧道內(nèi)部空氣和外部圍巖的溫度均保持不變，那么在襯砌與圍巖的接觸面上的溫度也將趨近于一個(gè)固定值，且襯砌溫度達(dá)到穩(wěn)定值時(shí)所對(duì)應(yīng)的圍巖厚度即為所需要的圍巖合理計(jì)算厚度。給出了rb分別為時(shí)所對(duì)應(yīng)的襯砌與圍巖接觸面上的溫度的無(wú)量綱值。可以看出，當(dāng)rb從4.6m變化到10.0m時(shí)，襯砌與圍巖接觸面上的溫度T(4.3,50)迅速下降，說(shuō)明圍巖厚度對(duì)襯砌溫度的影響比較明顯。當(dāng)繼續(xù)增加圍巖厚度時(shí)，曲線T(4.3,50)逐漸減小，并且在20m以后逐漸趨于穩(wěn)定。因此，取rb=24m作為研究對(duì)象，即圍巖厚度為19.7m，即可滿足計(jì)算的要求。

3溫度場(chǎng)與應(yīng)力場(chǎng)分析

在隧道內(nèi)、外邊界上，沿Z軸方向隧道兩端的溫度出現(xiàn)突變，其原因是隧道內(nèi)外邊界溫度荷載是傅里葉級(jí)數(shù)展開的近似表達(dá)。圖5給出了T(r,50)的變化曲線，可知，溫度沿厚度方向呈非線性變化，靠近隧道內(nèi)表面處溫度下降較快。這是由于圍巖和襯砌兩種材料的熱彈性參數(shù)不同，溫度在襯砌與圍巖接觸面出現(xiàn)了明顯的拐點(diǎn)。由于隧道內(nèi)外邊界處的溫度按傅里葉級(jí)數(shù)展開，使得隧道兩端的溫度與實(shí)際溫度之間存在差異。為了確定其在隧道兩端的影響范圍，給出了r分別為時(shí)無(wú)量綱溫度T/T0沿隧道z軸的變化趨勢(shì)?？梢钥闯?，在(20～25)m≤z≤(75～80)m范圍內(nèi)，溫度基本上不受隧道兩端邊界的影響，即隧道邊界溫度按級(jí)數(shù)展開對(duì)隧道兩端溫度的影響范圍約為20～25m。的無(wú)量綱分布圖。圖9、10分別給出了徑向位移U(r,50)和軸向位移W(r,50)的變化曲線圖。由于圓形隧道的溫度和應(yīng)力荷載都是對(duì)稱施加的，可以看出，徑向位移是關(guān)于斷面z=50m對(duì)稱分布，在圖8中軸向位移也是關(guān)于斷面z=50m對(duì)稱分布的，且由圖9可知，隧道的徑向位移沿隧道徑向呈非線性變化，其在襯砌及其附近的變化幅度很小。隧道軸向位移沿隧道徑向由內(nèi)而外從負(fù)值逐漸變?yōu)檎担移湓谕膺吔缣幬灰平^對(duì)值大于內(nèi)邊界處。由于隧道屬二維平面應(yīng)變問(wèn)題，軸向位移值遠(yuǎn)小于徑向位移值。

作者：王超胡浩單位:攀枝花學(xué)院