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概率論的基本原理范文第1篇

一、調(diào)整教學(xué)內(nèi)容

教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該改變以往“重概率、輕統(tǒng)計(jì)”和“重運(yùn)算技巧、輕數(shù)學(xué)思想”的傳統(tǒng)教學(xué)思想，刪減其中一些復(fù)雜的計(jì)算，加強(qiáng)統(tǒng)計(jì)中基本理論和基本數(shù)學(xué)方法的教學(xué)。減少概率論課時(shí)，加大統(tǒng)計(jì)內(nèi)容，增加統(tǒng)計(jì)課時(shí)。

1.概率方面，古典概型概率、期望與方差等

內(nèi)容在中學(xué)接觸過(guò)，學(xué)生接受較快故可以弱化;減少概率論課時(shí)，將重點(diǎn)放在條件概率、乘積公式、全概率公式與貝葉斯公式上，加強(qiáng)隨機(jī)變量的內(nèi)容。

2.統(tǒng)計(jì)方面，突出“厚基礎(chǔ)”“重應(yīng)用”的特色，增加統(tǒng)計(jì)課時(shí)，強(qiáng)調(diào)假設(shè)檢驗(yàn)和回歸分析等原理的分析與實(shí)際應(yīng)用，著重培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用統(tǒng)計(jì)中的基本原理去解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

二、改進(jìn)教學(xué)方法

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門(mén)在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)展起來(lái)的學(xué)科，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思想方法、原理、公式的引入，最能激發(fā)學(xué)生的興趣，并印象深刻的是從貼近生活的問(wèn)題及案例引入。教師在授課過(guò)程中可從每個(gè)概念的直觀背景入手，精心選擇一些跟我們的生活密切相關(guān)而又有趣的實(shí)例，從而激發(fā)學(xué)生的興趣．調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。

1.概率論部分的教學(xué)。(1)概率論內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，學(xué)生一般不能很好地理解全概率公式與貝葉斯公式的原理。舉例:某大學(xué)學(xué)生對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的興趣程度可分為四個(gè)層次:很感興趣，較感興趣，一般，沒(méi)有興趣。最近的一項(xiàng)調(diào)研統(tǒng)計(jì)表明此四個(gè)層次的學(xué)生數(shù)之比為:1∶3∶4∶2。而這在四類(lèi)同學(xué)中該課程一次性能通過(guò)的可能性分別為:0．98，0．88，0．50，0．20。1)考試在即，在即將參加此門(mén)課程考試的學(xué)生中任抓一學(xué)生考察，試問(wèn)該生此次考試該門(mén)課程一次性通過(guò)的可能性為多大?2)考試結(jié)束，閱卷老師發(fā)現(xiàn)某名學(xué)生順利通過(guò)此次考試，試問(wèn)該生對(duì)此課程興趣層次是屬于一般的可能性有多大?身邊的例子激起了學(xué)生的興趣，通過(guò)1)的解答很快讓學(xué)生理解全概率公式，通過(guò)2)的分析讓學(xué)生理解貝葉斯公式的原理。(2)大數(shù)定理的教學(xué)。大數(shù)定理是概率論中非常重要的定理，在教學(xué)中如果僅僅將定理的內(nèi)容告訴學(xué)生，很多學(xué)生不能理解。講課時(shí)舉例子:在裝有7白球與3黑球的盒子里任意抽取一個(gè)記下結(jié)果再放回去，當(dāng)抽取白球時(shí)計(jì)1，抽到黑球時(shí)計(jì)0，不停地重復(fù)下去，就得到一組由1、0構(gòu)成的數(shù)字，如一人抽取得到:10010111010111000101111111100000001010010111011000從數(shù)據(jù)中你看不出任何特征與規(guī)律，換一個(gè)人來(lái)重復(fù)這一試驗(yàn)，他也會(huì)得到這樣一串由1、0構(gòu)成的數(shù)據(jù)，同樣雜亂無(wú)章，但結(jié)果與第一人的結(jié)果不同。雖然如此，當(dāng)做的試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)，這一串串雜亂的數(shù)中1所占的比例隨做的試驗(yàn)次數(shù)的增加愈來(lái)愈穩(wěn)定到一個(gè)值上，這個(gè)值就是盒子內(nèi)白球的比率7/10。比率的穩(wěn)定性只有在數(shù)串長(zhǎng)度足夠大(實(shí)驗(yàn)的次數(shù)足夠多)時(shí)才能表現(xiàn)出來(lái)，這就是大數(shù)定理這個(gè)名稱(chēng)的由來(lái)。歷史上概率論方面重要的學(xué)者雅各布?伯努利證明了在一定條件下“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)愈來(lái)愈大時(shí)，頻率愈來(lái)愈接近于概率”，這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為伯努利大數(shù)定理。此定理的意義在于對(duì)經(jīng)驗(yàn)規(guī)律的合理性給出了一個(gè)理論上的解釋。在現(xiàn)實(shí)生活中，很難甚至于不可能達(dá)到伯努利大數(shù)定理中的理想化條件，但大部分的情況下與之非常接近，因此伯努利證明的結(jié)論“基本上”能適應(yīng)。

2．統(tǒng)計(jì)部分的教學(xué)。學(xué)生經(jīng)常覺(jué)得統(tǒng)計(jì)部分的參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、回歸分析等內(nèi)容雜、頭緒亂。在教學(xué)過(guò)程中，可以引入案例，對(duì)每一個(gè)案例進(jìn)行分析:(1)要解決什么問(wèn)題?(2)有些什么方法，而這些方法的基本思想是什么?合理性?(3)運(yùn)用這些方法解決問(wèn)題的基本步驟是什么?(4)如何將這些方法運(yùn)用于實(shí)際問(wèn)題中?這樣能使學(xué)生理清思路，從整體上把握統(tǒng)計(jì)的基本思想，如假設(shè)檢驗(yàn)可以用食品生產(chǎn)線(xiàn)上的產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)的案例分析;回歸分析可以用資源評(píng)估的案例來(lái)分析等。

3.加強(qiáng)與其他學(xué)科的聯(lián)系，提高學(xué)生運(yùn)用能力。在教學(xué)中，通過(guò)一些實(shí)際案例將教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生所學(xué)的專(zhuān)業(yè)相結(jié)合，讓他們運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決一些專(zhuān)業(yè)上的統(tǒng)計(jì)分析問(wèn)題，如對(duì)生物、食品專(zhuān)業(yè)的學(xué)生可以讓他們將自己做的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以統(tǒng)計(jì)的方法處理，對(duì)于海洋專(zhuān)業(yè)的學(xué)生可以讓他們進(jìn)行海洋環(huán)境數(shù)據(jù)分析;對(duì)于金融專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，可以讓他們了解一些基于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的經(jīng)濟(jì)與管理模型。讓學(xué)生真正感到學(xué)有所用，不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以在實(shí)際應(yīng)用中掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，一改“授之以魚(yú)”為“授之以漁”。

概率論的基本原理范文第2篇

在水資源工程中可靠性概念應(yīng)用早于風(fēng)險(xiǎn)，近年來(lái)國(guó)內(nèi)的許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究。傅湘等用概率組合方法估算了水庫(kù)下游防洪區(qū)的洪災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)率，用系統(tǒng)分析方法建立了大型水庫(kù)汛限水位風(fēng)險(xiǎn)分析模型；馮平等研究了汛限水位對(duì)防洪和發(fā)電的影響，通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)效益比較定量給出了合理的汛限水位。

二、水庫(kù)風(fēng)險(xiǎn)分析方法研究

（一）靜態(tài)與動(dòng)態(tài)相結(jié)合的調(diào)查方法

調(diào)查方法是通過(guò)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)主體進(jìn)行實(shí)際調(diào)查并掌握風(fēng)險(xiǎn)的有關(guān)信息。

（二）微觀與宏觀相結(jié)合的系統(tǒng)方法

系統(tǒng)方法是現(xiàn)代科學(xué)研究的重要方法。它是從系統(tǒng)整體性出發(fā)，通過(guò)研究風(fēng)險(xiǎn)主體內(nèi)部各方面的關(guān)系、風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境諸要素之間的關(guān)系、風(fēng)險(xiǎn)主體同風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境的關(guān)系等，確定風(fēng)險(xiǎn)系統(tǒng)的目標(biāo)，建立系統(tǒng)整體數(shù)學(xué)模型，求解最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)決策，建立風(fēng)險(xiǎn)利益機(jī)制，進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)控制和風(fēng)險(xiǎn)處理。

（三）定性和定量相結(jié)合的分析方法

1、定性風(fēng)險(xiǎn)分析方法：主要用于風(fēng)險(xiǎn)可測(cè)度很小的風(fēng)險(xiǎn)主體。

2、定量風(fēng)險(xiǎn)分析方法：借助數(shù)學(xué)工具研究風(fēng)險(xiǎn)主體中的數(shù)量特征關(guān)系和變化，確定其風(fēng)險(xiǎn)率（或度）。

（1）基于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)分析方法

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究水庫(kù)調(diào)度中可靠性與風(fēng)險(xiǎn)率的最為有力的工具，如過(guò)去對(duì)水庫(kù)運(yùn)行的發(fā)電保證率和灌溉保證率等的計(jì)算均是建立在該基礎(chǔ)上的。該基礎(chǔ)理論和方法也適宜于解決風(fēng)險(xiǎn)率的計(jì)算。

水庫(kù)調(diào)度中風(fēng)險(xiǎn)的特點(diǎn)及分析方法：

①采用典型概率分布函數(shù)計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)率

在水庫(kù)調(diào)度中，影響風(fēng)險(xiǎn)主體的不確定性風(fēng)險(xiǎn)變量(或隨機(jī)變量)大都服從一些典型的概率分布，如三角形分布、威布爾分布、正態(tài)分布、高斯分布、伽瑪分布、皮爾遜Ⅲ型分布等。

②風(fēng)險(xiǎn)度分析法

用概率分布的數(shù)學(xué)特征如標(biāo)準(zhǔn)差σ或σ-半標(biāo)準(zhǔn)差，可說(shuō)明風(fēng)險(xiǎn)的大小。σ或σ-越大則風(fēng)險(xiǎn)越大，反之越小。因?yàn)楦怕史植荚椒稚?，?shí)際結(jié)果遠(yuǎn)離期望值的概率就越大。

σ=(DX)1/2=((Xi-MX)2/(n-1))1/2或σ-=(DX)1/2=((Xi-MX)2P(Xi))1/2

σ是僅統(tǒng)計(jì)XiMX。用σ、σ-比較風(fēng)險(xiǎn)大小雖然簡(jiǎn)單，概念明確，但σ-為某一物理量的絕對(duì)量，當(dāng)兩個(gè)比較方案的期望值相差很大時(shí)可比性差，同時(shí)比較結(jié)果可能不準(zhǔn)確。為了克服用σ-可比性差的不足，可用其相對(duì)量作為比較參數(shù)，該相對(duì)量定義為風(fēng)險(xiǎn)度FDi，即標(biāo)準(zhǔn)差與期望值的比值(方差系數(shù))：

FDi=σi/MX=σi/μi

風(fēng)險(xiǎn)度FDi越大，風(fēng)險(xiǎn)越大，反之亦然。風(fēng)險(xiǎn)度不同于風(fēng)險(xiǎn)率，前者的值可大于1，而后者只能小于等于1。

③離散狀態(tài)組合法

此法的基本原理是，首先給出各風(fēng)險(xiǎn)變量的離散型估計(jì)值，然后按照概率組合原理由這些離散的估計(jì)值來(lái)推求結(jié)果出現(xiàn)的大小及其可能性。

（2）基于馬爾柯夫過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)分析法

水庫(kù)調(diào)度中的入庫(kù)徑流過(guò)程一般服從于馬爾柯夫過(guò)程（馬氏過(guò)程）。馬氏過(guò)程是一類(lèi)變量之間和相互關(guān)聯(lián)影響的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,其基本特性是無(wú)后效性。用馬氏過(guò)程已成功地推求了水庫(kù)調(diào)度方案的發(fā)電可靠率（保證率）。

（3）蒙特卡洛模擬法（MC法）

此法是目前西方國(guó)家廣泛應(yīng)用的投資風(fēng)險(xiǎn)分析方法，其基本思路是將影響工程經(jīng)濟(jì)效果的風(fēng)險(xiǎn)變量依各自的分析分別進(jìn)行隨機(jī)取樣，然后用各變量的隨機(jī)值來(lái)計(jì)算經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)指標(biāo)值，這樣對(duì)每個(gè)變量隨機(jī)地取一次樣就可以計(jì)算出經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)指標(biāo)的一個(gè)隨機(jī)值，要作出經(jīng)濟(jì)效果評(píng)價(jià)指標(biāo)與其實(shí)現(xiàn)的累積概率的關(guān)系曲線(xiàn)，需要多次的重復(fù)試驗(yàn)，且隨隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)變量的增多，其重復(fù)模擬計(jì)算的次數(shù)也要增多，需借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。

（4）模糊數(shù)學(xué)風(fēng)險(xiǎn)分析法

水庫(kù)調(diào)度中的不確定性因素很多，如徑流、用水、庫(kù)水位變化等，常模糊不清，具有明顯的模糊現(xiàn)象和特征，因而用模糊數(shù)學(xué)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分析是非常適宜的。

（5）極限狀態(tài)法（JC法）

JC法是一階二次矩法的改進(jìn)，該法適用于隨機(jī)變量為任意分布的情況。其基本原理是：先將隨機(jī)變量的非正態(tài)分布用正態(tài)分布代替，對(duì)于此正態(tài)分布函數(shù)要求在驗(yàn)算點(diǎn)處的累計(jì)概率分布函數(shù)(CDF)值和概率密度函數(shù)(PDF)值與原來(lái)分布函數(shù)的CDF值和PDF值相同。然后根據(jù)這兩個(gè)條件求得等效正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，最后用一階二次矩法求出風(fēng)險(xiǎn)值。

（6）最大熵法

最大熵法的基礎(chǔ)是信息熵，此熵定義為信息的均值，它是對(duì)整個(gè)范圍內(nèi)隨機(jī)變量不確定性的量度。信息論中信息量的出發(fā)點(diǎn)是把獲得的信息作為消除不確定性的測(cè)度，而不確定性可用概率分布函數(shù)描述，這就將信息熵和廣泛應(yīng)用的概率論方法相聯(lián)系。又因風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)實(shí)質(zhì)上就是求風(fēng)險(xiǎn)因素的概率分布，因而可以將信息熵、風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)和概率論方法有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，建立最大熵風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)模型：先驗(yàn)信息（已知數(shù)據(jù)）構(gòu)成求極值問(wèn)題的約束條件，最大熵準(zhǔn)則得到隨機(jī)變量的概率分布。

應(yīng)用最大熵準(zhǔn)則構(gòu)造先驗(yàn)概率分布有如下優(yōu)點(diǎn)：①最大熵的解是最超然的，即在數(shù)據(jù)不充分的情況下求解，解必須和已知的數(shù)據(jù)相吻合，而又必須對(duì)未來(lái)的部分做最少的假定；②根據(jù)熵的集中原理，絕大部分可能狀態(tài)都集中在最大熵狀態(tài)附近，其預(yù)測(cè)是相當(dāng)準(zhǔn)確的；③用最大熵求得的解滿(mǎn)足一致性要求，不確定性的測(cè)度（熵）與試驗(yàn)步驟無(wú)關(guān)。

三、小結(jié)

概率論的基本原理范文第3篇

【關(guān)鍵詞】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 案例 應(yīng)用

【中圖分類(lèi)號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）10-0105-02

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)學(xué)科，是認(rèn)識(shí)各種隨機(jī)現(xiàn)象的基礎(chǔ)，它通過(guò)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察找出內(nèi)在的規(guī)律性，并對(duì)內(nèi)在規(guī)律進(jìn)行定量分析給出理論。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)具有明顯的實(shí)際背景和廣闊的應(yīng)用空間，在教學(xué)中適當(dāng)引入案例，通過(guò)分析實(shí)際案例，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，更好地掌握這門(mén)課程。

1.案例教學(xué)的要點(diǎn)

1.1案例教學(xué)與理論教學(xué)相輔相成

案例是為教學(xué)服務(wù)的，一定要處理好主次關(guān)系，只有理解基本概念和基本理論，才能展開(kāi)案例討論。將講授式授課和案例教學(xué)結(jié)合起來(lái)，這樣既能夠使學(xué)生系統(tǒng)掌握理論知識(shí)，又能夠應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)去分析和解決一些實(shí)際問(wèn)題。

1.2案例的選擇

案例的選擇要做到有的放矢，盡量選擇和課程內(nèi)容密切相關(guān)并能聯(lián)系學(xué)生專(zhuān)業(yè)實(shí)際的案例，也可以選擇一些社會(huì)生活中學(xué)生有濃厚興趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題；案例要具有代表性，要能夠從案例的解決過(guò)程中得出一般的規(guī)律，并通過(guò)案例的分析讓學(xué)生學(xué)到方法論；案例的難易程度要適中，這樣才能在有限的課堂時(shí)間內(nèi)完成教學(xué)。

1.3案例在課堂教學(xué)中的使用

在保證完成正常教學(xué)進(jìn)度的前提下插入案例，做到案例教學(xué)與課堂知識(shí)的有機(jī)結(jié)合。 教師可以從案例出發(fā)引入概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)概念、基本原理、統(tǒng)計(jì)方法，也可以選擇合適案例來(lái)說(shuō)明概率統(tǒng)計(jì)原理與方法的應(yīng)用。

2.由問(wèn)題引出概念

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課堂教學(xué)中引入知識(shí)時(shí)，由問(wèn)題出發(fā)引出新的概念、公式、定理，這樣，教師能很好地利用學(xué)生已有的或較易理解的知識(shí)進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生也能通過(guò)已經(jīng)學(xué)過(guò)的或較易理解的知識(shí)去接受和掌握新的知識(shí)和規(guī)律。比如在介紹數(shù)學(xué)期望定義時(shí)，我們采用由實(shí)際問(wèn)題引入，然后給出離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義。

首先提出案例：某車(chē)間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察，我們先觀察小張100天的生產(chǎn)情況。其中32天沒(méi)有出廢品；30天每天出一件廢品；17天每天出兩件廢品；21天每天出三件廢品。那么小張?jiān)?00中每天平均廢品數(shù)為多少？（ 這里假設(shè)小張每天出廢品數(shù)不超過(guò)3件）

學(xué)生很容易應(yīng)用算數(shù)知識(shí)得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為：

接下來(lái)讓學(xué)生思考如下問(wèn)題：若另外統(tǒng)計(jì)100天，車(chē)工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天會(huì)不會(huì)完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)會(huì)不會(huì)也是1.27呢？

學(xué)生回答：“不一定。”教師問(wèn)：“為什么不一定呢？”學(xué)生回答：“因?yàn)樾埫刻焐a(chǎn)的廢品數(shù)具有隨機(jī)性?！边@樣教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)，設(shè)車(chē)工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)x是一個(gè)隨機(jī)變量。如何定義x的平均值呢？

可以想象，一般來(lái)說(shuō)，若統(tǒng)計(jì)n天，其中n0天沒(méi)有出廢品；n1天每天出一件廢品；n2天每天出兩件廢品；n3天每天出三件廢品?？梢缘玫絥天中每天的平均廢品數(shù)為：

這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均。當(dāng)n很大時(shí)，頻率接近于概率，所以我們?cè)谇髲U品數(shù)x的平均值時(shí)，用概率代替頻率，得平均值為：

這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均，這樣得到的確定的數(shù)就是隨機(jī)變量x的平均值。于是請(qǐng)學(xué)生給出平均值的定義，從而引出數(shù)學(xué)期望。

數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)x是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是P{X=xk}=pk k=1，2，…，若級(jí)數(shù)xkpk絕對(duì)收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù)xkpk的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望又稱(chēng)為均值，記為E（X）， 即E（X）

像這樣通過(guò)實(shí)際案例引入概念，使學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)解決問(wèn)題的過(guò)程之后加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解。

3.應(yīng)用案例舉例

對(duì)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用，可以選擇一些源于課本又高于課本的案例，引導(dǎo)學(xué)生去思考，根據(jù)所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，下面以“手機(jī)話(huà)費(fèi)套餐選擇問(wèn)題”為例。

設(shè)某通訊公司有若干種手機(jī)月話(huà)費(fèi)套餐如下：

3.1神州行大眾套餐

3.1.1市話(huà)費(fèi)為月包干費(fèi)10元，送每月100分鐘市話(huà)費(fèi)；

3.1.2市話(huà)費(fèi)為月包干費(fèi)20元，送每月200分鐘市話(huà)費(fèi)；

3.1.3市話(huà)費(fèi)為月包干費(fèi)30元，送每月300分鐘市話(huà)費(fèi)；

3.1.4市話(huà)費(fèi)為月包干費(fèi)50元，送每月500分鐘市話(huà)費(fèi)。

其他費(fèi)用有來(lái)電顯示費(fèi)每月5元，超過(guò)包干市話(huà)時(shí)間后，呼入呼出每分鐘0.4元；國(guó)內(nèi)漫游每分鐘0.6元；移動(dòng)公司內(nèi)短信每條0.1元；聯(lián)通及小靈通短信每條0.15元等。這些費(fèi)用對(duì)四種套餐都是一致的。

3.2新順心卡

市話(huà)費(fèi)為每分鐘0.15元，500次被叫為每分鐘0.02元，來(lái)電顯示費(fèi)每月5元，省內(nèi)漫游每分鐘0.8元，不能進(jìn)行省際漫游。

檢查一段時(shí)間內(nèi)（如一年）某用戶(hù)每月的市話(huà)通話(huà)總時(shí)間的取值情況如下（單位：分鐘）：

試問(wèn)該用戶(hù)怎樣選擇上述套餐可以使每月的話(huà)費(fèi)最??？

這一案例中蘊(yùn)含了很多概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，比如隨機(jī)變量的分布，正態(tài)分布，隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，中心極限定理，統(tǒng)計(jì)樣本的選取，樣本均值，樣本方差等。

令Y表示某用戶(hù)的手機(jī)在一個(gè)月內(nèi)呼叫或被呼叫的市話(huà)時(shí)間總數(shù)（單位：分鐘）。則Y為隨機(jī)變量。

由中心極限定理知，該手機(jī)用戶(hù)每月市話(huà)時(shí)間大致服從正態(tài)分布。從上述樣本知，

令Y表示某用戶(hù)一個(gè)月的手機(jī)市話(huà)費(fèi)則依據(jù)不同的繳費(fèi)方式，如神州行大眾套餐，可得隨機(jī)變量Y與X的函數(shù)關(guān)系如下：

此處，常數(shù)c分別取100分鐘，200分鐘，300分鐘和500分鐘。

問(wèn)題的本質(zhì)轉(zhuǎn)化為計(jì)算手機(jī)話(huà)費(fèi)的期望值，期望值較低的付費(fèi)就較合理。由上述關(guān)系式很容易算得隨機(jī)變量Y的期望值。

另外，新順心卡的期望值：

由此可見(jiàn)，若忽略漫游、短信等其他費(fèi)用，僅考慮市話(huà)費(fèi)，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為該手機(jī)用戶(hù)選擇每月20元話(huà)費(fèi)包干時(shí)的理想消費(fèi)值最低，故應(yīng)該選擇每月20元話(huà)費(fèi)包干。

總之，案例教學(xué)法不但適用于教學(xué)主題的導(dǎo)入，也適用于對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深化和補(bǔ)充，好的案例不但能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，而且能進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解和掌握，從而達(dá)到提高課堂教學(xué)效果的目的。

參考文獻(xiàn)：

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[3]馮小杰.淺談“案例教學(xué)”的實(shí)踐操作[J].科教文匯，2008.11

概率論的基本原理范文第4篇

關(guān)鍵詞: 獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程;計(jì)數(shù)系統(tǒng);歸納法;保險(xiǎn)業(yè)

概率論是一門(mén)應(yīng)用非常廣泛的學(xué)科。在數(shù)學(xué)史上，它的產(chǎn)生是以帕斯卡和費(fèi)馬在1654 年的七封通信為標(biāo)志的。由于這些信件中所解決的問(wèn)題多是與賭博有關(guān)的點(diǎn)數(shù)問(wèn)題，因此人們總是把概率論的產(chǎn)生歸功于賭博這項(xiàng)機(jī)遇游戲。但考古學(xué)發(fā)現(xiàn)告訴我們，賭博游戲早在文明初期就已經(jīng)存在了，迄今已有幾千年的歷史，而概率論從誕生至今不過(guò)三百余年，這說(shuō)明賭博并不是概率論產(chǎn)生的決定性條件。在從賭博出現(xiàn)到概率論產(chǎn)生之間的這段“空白”期，必定還有一些十分關(guān)鍵的因素正在孕育之中。那么這些因素是什么? 換句話(huà)說(shuō)，需要具備哪些先決條件，概率論才能得以形成?

一　獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程的出現(xiàn)

對(duì)概率論而言，兩個(gè)最主要的概念就是獨(dú)立性和隨機(jī)性[1 ] 。概率論是從研究古典概型開(kāi)始的，它所涉及的研究對(duì)象是大量的獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程。通過(guò)對(duì)這些過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題的解決，概率理論體系才逐漸地建立起來(lái)。因此要考察概率論的產(chǎn)生條件，我們首先應(yīng)當(dāng)對(duì)獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程的產(chǎn)生有充分的了解。

事實(shí)上，這種過(guò)程的雛形早在原始社會(huì)就已經(jīng)存在了，那時(shí)的占卜師們使用動(dòng)物的趾骨作為占卜工具，將一個(gè)或多個(gè)趾骨投擲出去，趾骨落地后的不同形狀指示神對(duì)人事的不同意見(jiàn)。由于投擲趾骨這個(gè)過(guò)程所產(chǎn)生的結(jié)果具有不可預(yù)測(cè)性，而每次投擲的結(jié)果也互不影響，這與我們今天投擲骰子的基本原理相當(dāng)，因此趾骨可以被看作是骰子的雛形。但是由于趾骨形狀的規(guī)則性較差，各種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)率不完全相同(即不具備等可能性) ，所以趾骨產(chǎn)生的隨機(jī)過(guò)程還不是我們今天意義上的獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程。加之趾骨作為一種占卜工具，其本身具有神圣的地位，普通人不可能輕易使用，這也在某種程度上阻礙了人們對(duì)隨機(jī)過(guò)程的認(rèn)識(shí)。

隨著社會(huì)的進(jìn)步和文明的發(fā)展，骰子變得越來(lái)越普遍，不僅數(shù)量增多，規(guī)則性也日益精良，此時(shí)它已不再是一件神圣的器具而逐漸成為普通大眾的日常用具。從原理上看，只要一枚骰子是質(zhì)地均勻的，它就可以產(chǎn)生一系列標(biāo)準(zhǔn)的獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程。這些過(guò)程具備良好的性質(zhì)(獨(dú)立性、隨機(jī)性、等可能性) ，是進(jìn)行概率研究的理想對(duì)象。如果經(jīng)常接觸這些隨機(jī)過(guò)程，就很有可能從中發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律性。實(shí)際上，通過(guò)對(duì)骰子的研究我們確實(shí)發(fā)現(xiàn)了一些有趣的現(xiàn)象。在考古出土的骰子當(dāng)中，有一些被證明是用于賭博的工具，它們的形狀規(guī)則而質(zhì)地卻不均勻，也就是說(shuō)，骰子的重心并不在其幾何中心。可以想像，如果骰子的某一面較重，則其對(duì)面朝上的機(jī)率就會(huì)增大，這種骰子明顯是為了賭博時(shí)用于作弊。而從另一個(gè)角度看，如果古代人知道質(zhì)地不均勻的骰子產(chǎn)生各個(gè)結(jié)果的可能性不同，那么他們必定清楚一個(gè)均勻的骰子產(chǎn)生任何一個(gè)結(jié)果的機(jī)率是相等的。也就是說(shuō)，經(jīng)常從事賭博的人必然可以通過(guò)大量的游戲過(guò)程，意識(shí)到擲骰子所得到的結(jié)果具有某種規(guī)律性，并且這種規(guī)律性還可以通過(guò)改變骰子的質(zhì)地而得到相應(yīng)的改變。雖然古代人的這些意識(shí)還只停留在經(jīng)驗(yàn)總結(jié)的水平上，卻不得不承認(rèn)這是一種最原始的概率思想。

賭博游戲存在的時(shí)間之長(zhǎng)、范圍之廣、形式之多令人驚訝。但有如此眾多的人沉迷于這種游戲活動(dòng)，也在客觀上積累了大量的可供學(xué)者進(jìn)行研究的隨機(jī)過(guò)程。更為重要的是，

在進(jìn)行賭博的過(guò)程中，或許是受到經(jīng)濟(jì)利益的驅(qū)使，已經(jīng)開(kāi)始有人試圖解開(kāi)骰子的奧秘。意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾就是其中的一位。他本人是個(gè)大賭徒，嗜賭如命，但他卻具有極高的數(shù)學(xué)天分。在賭博的過(guò)程中，卡爾達(dá)諾充分發(fā)揮了他的數(shù)學(xué)才能，研究可以常勝不輸?shù)姆椒?。?jù)說(shuō)他曾參加過(guò)這樣一種賭法:把兩顆骰子擲出去，以每個(gè)骰子朝上的點(diǎn)數(shù)之和作為賭的內(nèi)容。那么，賭注下在多少點(diǎn)上最有利?

兩個(gè)骰子朝上的面共有36 種可能，點(diǎn)數(shù)之和分別為2～12 共11 種，從上圖可知，7 位于此六階矩陣的對(duì)角線(xiàn)上，它出現(xiàn)的概率為6/ 36 = 1/ 6 ，大于其他點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的概率，因此卡爾達(dá)諾預(yù)言說(shuō)押7 最好。這種思想今天看來(lái)很簡(jiǎn)單，但在當(dāng)時(shí)卻是很杰出的。他還以自己豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，寫(xiě)成了全面探討賭博的《機(jī)遇博奕》(Liber de Ludo Aleae 英譯為T(mén)he Book of Game of Chance) 一書(shū)，書(shū)中記載了他研究賭博的全部成果，并且明確指出骰子應(yīng)為“誠(chéng)實(shí)的”(honest) ，即六個(gè)面出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，以便在此基礎(chǔ)上研究擲多粒骰子的等可能結(jié)果數(shù)[2 ] 。

這些實(shí)例充分說(shuō)明，賭博曾對(duì)概率論的產(chǎn)生起過(guò)積極的作用。這可能就是人們?cè)谡劦礁怕收摃r(shí)總是把它與賭博聯(lián)系在一起的緣故吧。但是我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，賭博的價(jià)值并不在于其作為一種游戲的娛樂(lè)作用，而在于這種機(jī)遇游戲的過(guò)程實(shí)際上就是良好的獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程。只有出現(xiàn)了獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程，概率論才有了最初的研究對(duì)象。而概率論也的確是在解決機(jī)遇游戲中出現(xiàn)的各種問(wèn)題的基礎(chǔ)上建立起自己的理論體系的。因此在概率論的孕育期，可以作為一種模型進(jìn)行研究的機(jī)遇游戲過(guò)程即獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程的出現(xiàn)是概率論得以產(chǎn)生的一個(gè)重要前提條件。

二　先進(jìn)計(jì)數(shù)系統(tǒng)的出現(xiàn)

前面曾經(jīng)提到，獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程的出現(xiàn)并不是概率論誕生的決定性因素。職稱(chēng)論文 僅有概率思想而不能將概率結(jié)果表達(dá)出來(lái)，也不能形成完整的理論。概率論是一門(mén)以計(jì)算見(jiàn)長(zhǎng)的數(shù)學(xué)分支，計(jì)算過(guò)程中需要運(yùn)用大量的加法和乘法原理(組合數(shù)學(xué)原理) 進(jìn)行純數(shù)字運(yùn)算。對(duì)于現(xiàn)代人來(lái)說(shuō)，概率計(jì)算并不是一件難事。但是對(duì)于16 世紀(jì)以前的人來(lái)說(shuō)，計(jì)算卻是十分困難的，原因就在于古代缺乏簡(jiǎn)便的計(jì)數(shù)系統(tǒng)。當(dāng)時(shí)的計(jì)數(shù)符號(hào)既繁瑣又落后，書(shū)寫(xiě)和使用都很不方便，只能用來(lái)做簡(jiǎn)單的記錄，一旦數(shù)目增大，運(yùn)算復(fù)雜，這些原始的符號(hào)就盡顯弊端了。而沒(méi)有簡(jiǎn)便的計(jì)數(shù)符號(hào)，進(jìn)行概率計(jì)算將是十分困難的事，因此計(jì)數(shù)符號(hào)是否先進(jìn)也在一定程度上決定著概率論的形成。

對(duì)于這一點(diǎn)，現(xiàn)代人可能不容易體會(huì)得到，究竟古代的計(jì)數(shù)符號(hào)復(fù)雜到什么程度呢? 我們可以以古羅馬的計(jì)數(shù)系統(tǒng)為例來(lái)說(shuō)明。

古羅馬的計(jì)數(shù)系統(tǒng)是一種現(xiàn)在最為人們熟悉的簡(jiǎn)單分群數(shù)系，大約形成于紀(jì)元前后。羅馬人創(chuàng)造了一種由7 個(gè)基本符號(hào)組成的5 進(jìn)與10 進(jìn)的混合進(jìn)制記數(shù)法，即

I V XL C D M

15 1050 100 500 1000

在表示其他數(shù)字時(shí)采取符號(hào)重復(fù)的辦法，如Ⅲ表示3 ，XX表示20 ，CC表示200 等。但如果數(shù)字較大表示起來(lái)就相當(dāng)復(fù)雜了，比如:1999 =MDCCCCLXXXXVIIII

后來(lái)為了簡(jiǎn)化這種復(fù)雜的表示法，羅馬人又引進(jìn)了減法原則，即在一個(gè)較大的單位前放一個(gè)較小單位表示兩者之差，如Ⅳ表示4 ，CM表示900 ，則1999 =MCMXCIX

如果要計(jì)算235 ×4 = 940 ，現(xiàn)代的豎式是

而公元8 世紀(jì)時(shí)英國(guó)學(xué)者阿爾琴演算同一道題的過(guò)程則要復(fù)雜得多:古羅馬數(shù)字對(duì)于這樣一個(gè)既不含分?jǐn)?shù)和小數(shù)，數(shù)字又很簡(jiǎn)單(只有三位數(shù)) 的乘法運(yùn)算處理起來(lái)尚且如此復(fù)雜，可以想象，即使數(shù)學(xué)家有足夠的時(shí)間和耐心，要解決概率計(jì)算里涉及的大量純數(shù)字運(yùn)算也是一件太耗費(fèi)精力的事。在這種情況下想要作出成果，數(shù)學(xué)家們的時(shí)間不是用來(lái)研究理論而只能是忙于應(yīng)付這些繁重的計(jì)算工作了。顯然古羅馬的計(jì)數(shù)系統(tǒng)并不適合于進(jìn)行計(jì)算，而事實(shí)上，歐洲的代數(shù)學(xué)相比幾何學(xué)而言遲遲沒(méi)能發(fā)展起來(lái)，很大程度上也是由于受到這種落后的計(jì)數(shù)系統(tǒng)的限制。不僅僅是古羅馬數(shù)字，在人類(lèi)文明史上出現(xiàn)過(guò)的其他幾種計(jì)數(shù)系統(tǒng)(如古埃及、古巴比倫等的計(jì)數(shù)系統(tǒng)) 也由于符號(hào)過(guò)于復(fù)雜，同樣不能承擔(dān)進(jìn)行大量計(jì)算的任務(wù)。

相反，以位值制為基本原理的阿拉伯?dāng)?shù)字則比古羅馬數(shù)字以及古代其他的計(jì)數(shù)系統(tǒng)要先進(jìn)得多，它不但書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，而且非常有利于加法、乘法的運(yùn)算及小數(shù)和分?jǐn)?shù)的表示。從上面的例子可以看出，它的使用可以大大節(jié)省運(yùn)算時(shí)間，提高運(yùn)算效率。正是由于使用了這種先進(jìn)的計(jì)數(shù)符號(hào)，阿拉伯?dāng)?shù)字的發(fā)明者———古印度人的組合數(shù)學(xué)(組合數(shù)學(xué)原理是概率計(jì)算運(yùn)用較多的一種數(shù)學(xué)工具) 才得以領(lǐng)先歐洲人許多。據(jù)記載，印度人，特別是公元前三百年左右的耆那數(shù)學(xué)家就由于宗教原因開(kāi)展了對(duì)排列與組合的研究。公元四百年，印度人就已經(jīng)掌握了抽樣與骰子之間的關(guān)系(比歐洲人早一千二百年) 。而直到公元8 世紀(jì)時(shí)，商業(yè)活動(dòng)和戰(zhàn)爭(zhēng)才將這種先進(jìn)的數(shù)字符號(hào)帶到了西班牙，這些符號(hào)又經(jīng)過(guò)了八百年的演化，終于在16 世紀(jì)定型為今天的樣子。

數(shù)字符號(hào)的簡(jiǎn)單與否對(duì)概率論究竟有什么樣的影響，我們不妨舉例說(shuō)明:

問(wèn):有n 個(gè)人，當(dāng)n 為多少時(shí)，至少有兩人生日相同的概率大于二分之一?

假設(shè)所有人生日均不相同的概率為P ，則

P = (365/ 365) ×(364/ 365) ×?×[ (365 - n + 1) / 365 ]

而題中所求之概率P(n) = 1 - P = 1 - (365/ 365) ×(364/365) ×?×[ (365 - n + 1) / 365 ]

通過(guò)計(jì)算得出結(jié)論，當(dāng)n = 23 時(shí)，P(n) = 0. 51 > 0. 5 ，因此答案為23。

這是概率論中著名的“生日問(wèn)題”，也是一種很典型的概率計(jì)算問(wèn)題。從它的計(jì)算過(guò)程中我們不難看出，數(shù)字運(yùn)算在概率論中占有重要的地位。如果使用古羅馬的計(jì)數(shù)法，這樣一個(gè)概率問(wèn)題從表達(dá)到計(jì)算都會(huì)相當(dāng)繁瑣，以至于它的求解幾乎是不可能的。

對(duì)于阿拉伯?dāng)?shù)字的偉大功績(jī)， 大數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace) 有如下評(píng)價(jià):“用不多的記號(hào)表示全部的數(shù)的思想，賦予它的除了形式上的意義外，還有位置上的意義。它是如此絕妙非常，正是由于這種簡(jiǎn)易難以估量??我們顯然看出其引進(jìn)之多么不易?！盵3 ] 阿拉伯?dāng)?shù)字的出現(xiàn)為概率的表達(dá)和計(jì)算掃清了阻礙，如果沒(méi)有這些簡(jiǎn)便的符號(hào)，概率論可能還只停留在概率思想的階段。正是由于使用了可以簡(jiǎn)潔地表示分?jǐn)?shù)和小數(shù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，才使概率思想得以通過(guò)形式化的符號(hào)清晰地表現(xiàn)出來(lái)并逐漸形成理論體系。在概率論的孕育階段，這種形式化的過(guò)程是十分必要的，它使得對(duì)概率的理解和計(jì)算成為可能，因此先進(jìn)的計(jì)數(shù)系統(tǒng)對(duì)概率論的形成和發(fā)展都起著重要的作用。

三　概率論產(chǎn)生的方法論基礎(chǔ)———?dú)w納法

除了需要具備上述因素以外，概率論的形成還需要具備歸納思維。概率論是一門(mén)具有明顯二重性的理論體系:“一方面它反映了從大量機(jī)遇現(xiàn)象中抽象出來(lái)的穩(wěn)定的規(guī)律性;另一方面它關(guān)系著人們對(duì)證明命題的證據(jù)或方法的相信程度”。[ 4 ]這兩方面特性都以歸納法作為最基本的研究方法，因此可以說(shuō)，歸納法是概率論的方法論基礎(chǔ)，概率論的產(chǎn)生必須在歸納法被廣泛運(yùn)用的前提下才成為可能。歸納法雖然是與演繹法同時(shí)存在的邏輯方法，但在文藝復(fù)興以前，占主導(dǎo)地位的推理方式是演繹思維(不具有擴(kuò)展性) ，歸納思維是不受重視的。直到文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)以后，這種狀況才被打破。歸納法因其具有擴(kuò)展性而逐漸成為進(jìn)行科學(xué)發(fā)現(xiàn)的主導(dǎo)方法。

從演繹到歸納，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上是一種思維方式的轉(zhuǎn)變過(guò)程，雖然轉(zhuǎn)變是在潛移默化中完成的，但轉(zhuǎn)變本身對(duì)概率論的出現(xiàn)卻起著決定性的作用。我們可以通過(guò)考察“概率論”(probability) 一詞的詞根“可能的”(probable) 來(lái)說(shuō)明這種轉(zhuǎn)變。在古希臘“， probable”并不是今天的這個(gè)含義，它曾意味著“可靠的”或“可取的”，比如說(shuō)一位醫(yī)生是“probable”就是指這位醫(yī)生是可以信賴(lài)的。但到了中世紀(jì)，這個(gè)詞的含義發(fā)生了變化，它已經(jīng)和權(quán)威聯(lián)系在一起了。當(dāng)時(shí)的人們?cè)谂袛嗍虑榈臅r(shí)候不是依靠思考或證據(jù)而是盲目地相信權(quán)威，相信更早的先人所說(shuō)的話(huà)。在這種情況下，如果說(shuō)某個(gè)命題或某個(gè)事件是“probable”，就是說(shuō)它可以被權(quán)威的學(xué)者或《圣經(jīng)》之類(lèi)的權(quán)威著作所證明。而經(jīng)過(guò)了文藝復(fù)興之后，人們終于意識(shí)到對(duì)自然界進(jìn)行探索(而不是崇拜權(quán)威) 才是最有價(jià)值的事，正如伽利略所說(shuō)的那樣:“當(dāng)我們得到自然界的意志時(shí)，權(quán)威是沒(méi)有意義的?！盵5 ] 因此，“probable”才逐漸與權(quán)威脫離了關(guān)系。15、16 世紀(jì)時(shí)它已經(jīng)具有了今天的含義“可能的”，不過(guò)這種可能性不再是權(quán)威而是基于人們對(duì)自然界的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)之上的。

“probable”一詞的演化體現(xiàn)了人們認(rèn)識(shí)事物方式的轉(zhuǎn)變過(guò)程。當(dāng)然這并不是說(shuō)，文藝復(fù)興以前沒(méi)有歸納思維。留學(xué)生論文當(dāng)一個(gè)人看到天黑的時(shí)候他會(huì)自然想到太陽(yáng)落山了，因?yàn)槊刻焯?yáng)落山后天都會(huì)黑。這種歸納的能力是與生俱來(lái)的，即使中世紀(jì)的人們思想受到了禁錮，這種能力卻還不至消失。而拋棄了權(quán)威的人們比先輩們的進(jìn)步之處在于，他們是用歸納法(而不是演繹法) 來(lái)研究自然界和社會(huì)現(xiàn)象的。他們將各種現(xiàn)象當(dāng)作是自然或社會(huì)的“特征”，進(jìn)而把特征看作是某種更深層的內(nèi)存原因的外在表現(xiàn)。通過(guò)使用歸納推理進(jìn)行研究，他們就可以發(fā)現(xiàn)這些內(nèi)在原因，從而達(dá)到揭開(kāi)自然界奧秘和了解社會(huì)運(yùn)行規(guī)律的目的。于是在好奇心的驅(qū)使之下，歸納思維被充分地激發(fā)出來(lái)。而這一點(diǎn)恰恰是概率論得已實(shí)現(xiàn)的必要條件。從概率論的第一重特性中可以看出，概率論所研究的對(duì)象是大量的隨機(jī)現(xiàn)象，如賭博游戲中擲骰子的點(diǎn)數(shù)，城市人口的出生和死亡人數(shù)等等。這些多數(shù)來(lái)自于人們社會(huì)活動(dòng)的記錄都為概率論進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究提供了必須的數(shù)據(jù)資料。雖然這些記錄的收集與整理其目的并不在于發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，但善于運(yùn)用歸納思維的人卻能從中挖掘出有價(jià)值的研究素材。例如，早在16 世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾就在頻繁的賭博過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了骰子的某些規(guī)律性并在《機(jī)遇博奕》一書(shū)中加以闡述;17 世紀(jì)，英國(guó)商人J·格龍?zhí)赝ㄟ^(guò)對(duì)定期公布的倫敦居民死亡公告的分析研究，發(fā)現(xiàn)了死亡率呈現(xiàn)出的某種規(guī)律性[6 ] ;萊布尼茲在對(duì)法律案件進(jìn)行研究時(shí)也注意到某個(gè)地區(qū)的犯罪率在一定時(shí)期內(nèi)趨向于一致性。如果沒(méi)有很好的歸納分析的能力，想要從大量繁雜的數(shù)據(jù)中抽象出規(guī)律是不可能的。而事實(shí)上，在17 世紀(jì)60 年代左右，歸納法作為一種研究方法已經(jīng)深入人心，多數(shù)科學(xué)家和社會(huì)學(xué)家都在不自覺(jué)地使用歸納的推理方法分析統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。除了上述兩人(格龍?zhí)睾腿R布尼茲) 外，統(tǒng)計(jì)工作還吸引了如惠更斯、伯努利、哈雷等一大批優(yōu)秀學(xué)者。正是由于許多人都具備了運(yùn)用歸納法進(jìn)行推理的能力，才能夠把各自領(lǐng)域中看似毫無(wú)秩序的資料有目的地進(jìn)行整理和提煉，并得到極為相似的結(jié)論:隨機(jī)現(xiàn)象并不是完全無(wú)規(guī)律的，大量的隨機(jī)現(xiàn)象的集合往往表現(xiàn)出某種穩(wěn)定的規(guī)律性。概率論的統(tǒng)計(jì)規(guī)律正是在這種情況下被發(fā)現(xiàn)的。

概率論的第二重特性同樣離不開(kāi)歸納法的使用。既然概率論反映的是人們對(duì)證明命題的證據(jù)的相信程度(即置信度) ，那么首先應(yīng)該知道證據(jù)是什么，證據(jù)從何而來(lái)。事實(shí)上，證據(jù)的獲得就是依靠歸納法來(lái)實(shí)現(xiàn)的。在對(duì)自然界特征的認(rèn)識(shí)達(dá)到一定程度的情況下，人們會(huì)根據(jù)現(xiàn)有的資料作出一些推理，這個(gè)推理的過(guò)程本身就是歸納的過(guò)程。當(dāng)假設(shè)被提出之后，所有可以對(duì)其合理性提供支持的材料就成了證據(jù)，即證據(jù)首先是相對(duì)于假設(shè)而言的。如果沒(méi)有歸納法的使用，證據(jù)也就不存在了。由于歸納推理在前提為真的情況下不能確保結(jié)論必然為真，因此證據(jù)對(duì)假設(shè)的支持度總是有限的。在這種情況下，使用歸納推理得到的命題的合理性便不能得到充分的保障。而概率論的第二重特性就是針對(duì)這個(gè)問(wèn)題的，證據(jù)究竟在多大程度上能夠?yàn)榧僭O(shè)提供支持? 這些證據(jù)本身的可信度有多少? 為解決歸納問(wèn)題而形成的概率理論對(duì)后來(lái)的自然科學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展都起到了重要的作用。

歸納法的使用為概率論的形成提供了方法論基礎(chǔ)。它一方面使得概率的統(tǒng)計(jì)規(guī)律得以被發(fā)現(xiàn)，另一方面，也使概率論本身具有了方法論意義。從時(shí)間上看，概率論正是在歸納法被普遍運(yùn)用的年代開(kāi)始萌芽的。因此，作為一種具有擴(kuò)展性的研究方法，歸納法為概率論的誕生提供了堅(jiān)實(shí)的思維保障和方法論保障，在概率論的形成過(guò)程中，這種保障具有不容忽視的地位。四　社會(huì)需求對(duì)概率論形成的促進(jìn)作用

與前面述及的幾點(diǎn)因素相比，社會(huì)因素顯然不能作為概率論產(chǎn)生的內(nèi)在因素，而只能被當(dāng)作是一種外在因素。但從概率論發(fā)展的過(guò)程來(lái)看，作為一種與實(shí)際生活緊密相關(guān)的學(xué)科，其理論體系在相當(dāng)大的程度上是基于對(duì)社會(huì)和經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的研究而形成的，因此對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決始終是概率理論形成的一種外在動(dòng)力。在這一點(diǎn)上，社會(huì)因素與概率理論形成了一種互動(dòng)的關(guān)系，它們需要彼此相結(jié)合才能得到各自的良好發(fā)展。從17、18 世紀(jì)概率論的初期階段來(lái)看，社會(huì)經(jīng)濟(jì)的需求對(duì)概率論的促進(jìn)作用是相當(dāng)巨大的[7 ] 。

在社會(huì)需求中，最主要的是來(lái)自保險(xiǎn)業(yè)的需求。保險(xiǎn)業(yè)早在奴隸社會(huì)便已有雛型，古埃及、古巴比倫、古代中國(guó)都曾出現(xiàn)過(guò)集體交納稅金以應(yīng)付突發(fā)事件的情形。到了14 世紀(jì)，隨著海上貿(mào)易的迅速發(fā)展，在各主要海上貿(mào)易國(guó)先后形成了海上保險(xiǎn)這種最早的保險(xiǎn)形式。其后，火災(zāi)保險(xiǎn)、人壽保險(xiǎn)也相繼誕生。各種保險(xiǎn)雖形式各異，但原理相同，都是靠收取保金來(lái)分擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的。以海上保險(xiǎn)為例，經(jīng)營(yíng)海上貿(mào)易的船主向保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)(保險(xiǎn)公司) 交納一筆投保金，若貨船安全抵達(dá)目的地，則投保金歸保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)所有;若途中貨船遭遇意外而使船主蒙受損失，則由保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)根據(jù)損失情況予以船主相應(yīng)的賠償。這樣做的目的是為了將海上貿(mào)易的巨大風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)由兩方(即船主與保險(xiǎn)公司) 共同承擔(dān)[8 ] 。從這個(gè)過(guò)程中可以看出，對(duì)保險(xiǎn)公司而言，只要船只不出事，那么盈利將是肯定的;對(duì)船主而言，即使船只出事，也可以不必由自己承擔(dān)全部損失。

從性質(zhì)上看，從事這種事業(yè)實(shí)際上就是一種賭博行為，兩方都面臨巨大風(fēng)險(xiǎn)。而這種涉及不確定因素的隨機(jī)事件恰恰屬于概率論的研究范圍。工作總結(jié) 由于保險(xiǎn)業(yè)是一項(xiàng)于雙方都有利的事業(yè)，因此在16、17 世紀(jì)得到了快速的發(fā)展，歐洲各主要的海上貿(mào)易國(guó)如英國(guó)、法國(guó)、意大利等都紛紛成立保險(xiǎn)公司，以支持海上貿(mào)易的發(fā)展。此外還出現(xiàn)了專(zhuān)門(mén)為他人解決商業(yè)中利率問(wèn)題的“精算師”。不過(guò)在保險(xiǎn)業(yè)剛起步的時(shí)候，并沒(méi)有合理的概率理論為保金的制定提供指導(dǎo)，最初確定投保金和賠償金的數(shù)額全憑經(jīng)驗(yàn)，因此曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)很長(zhǎng)時(shí)間的混亂局面。而這樣做的直接后果就是不可避免地導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)損失。例如在17 世紀(jì)，養(yǎng)老金的計(jì)算就是一個(gè)焦點(diǎn)問(wèn)題。荷蘭是當(dāng)時(shí)歐洲最著名的養(yǎng)老勝地和避難場(chǎng)所，但其養(yǎng)老金的計(jì)算卻極為糟糕，以致政府連年虧損。這種狀況一直持續(xù)到18 世紀(jì)，概率理論有了相當(dāng)?shù)陌l(fā)展，而統(tǒng)計(jì)工作也日漸完善之后，情況才有所改觀[9 ] 。在結(jié)合大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的前提下，運(yùn)用概率理論進(jìn)行分析和計(jì)算，由此得到的結(jié)果才更有可能保證投資者的經(jīng)濟(jì)利益。

我們可以舉一個(gè)人壽保險(xiǎn)的例子來(lái)說(shuō)明概率理論是如何應(yīng)用到保險(xiǎn)事業(yè)中來(lái)的:2500 個(gè)同年齡段的人參加人壽保險(xiǎn)，每人每年1 月交投保費(fèi)12 元。如果投保人當(dāng)年死亡，則其家屬可獲賠2000 元。假設(shè)參加投保的人死亡率為0. 002 ，那么保險(xiǎn)公司賠本的概率是多少?

從直觀上看，如果當(dāng)年的死亡人數(shù)不超過(guò)15 人，則保險(xiǎn)公司肯定獲利，反之，則賠本。不過(guò)單憑經(jīng)驗(yàn)是絕對(duì)不行的，必需有一套合理的理論來(lái)幫助處理此類(lèi)問(wèn)題。根據(jù)所給條件，每年的投保費(fèi)總收入為2500 ×12 = 30000 (元) ，當(dāng)死亡人數(shù)n ≥15 時(shí)不能盈利。令所求之概率為P ，由二項(xiàng)分布的計(jì)算公式可以得出P(n ≥15) = 0. 000069。也就是說(shuō)，如果按以上條件進(jìn)行投保并且不出現(xiàn)特別重大的意外，則保險(xiǎn)公司有幾乎百分之百的可能性會(huì)盈利。

這個(gè)問(wèn)題就是通過(guò)將概率理論運(yùn)用到關(guān)于人口死亡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果之上從而得到解決的。這個(gè)簡(jiǎn)單的例子告訴我們，概率理論對(duì)保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展有著相當(dāng)重要的指導(dǎo)作用。根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)確定在什么樣的條件下保險(xiǎn)公司才能盈利是概率理論對(duì)保險(xiǎn)業(yè)最主要的貢獻(xiàn)，它可以計(jì)算出一項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)在具備哪些條件的情況下會(huì)使保險(xiǎn)公司獲得收益，并進(jìn)而保證保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)活動(dòng)進(jìn)入良性循環(huán)的軌道。從另一方面看，最初保險(xiǎn)業(yè)的快速發(fā)展與其不具有基本的理論依據(jù)是極不協(xié)調(diào)的，這很容易導(dǎo)致保險(xiǎn)公司由于決策失誤而蒙受經(jīng)濟(jì)損失。因此保險(xiǎn)事業(yè)迫切需要有合理的數(shù)學(xué)理論作為指導(dǎo)。在當(dāng)時(shí)的社會(huì)環(huán)境下，由科學(xué)家參與解決實(shí)際問(wèn)題是非常有效的，而由保險(xiǎn)所產(chǎn)生的實(shí)際問(wèn)題確實(shí)曾吸引了當(dāng)時(shí)眾多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的目光。在1700 - 1800 年間，包括歐拉、伯努利兄弟、棣莫弗(de Moivre) 、高斯等在內(nèi)的許多著名學(xué)者都曾對(duì)保險(xiǎn)問(wèn)題進(jìn)行過(guò)研究，這些研究的成果極大地充實(shí)了概率理論本身。

可以說(shuō)，經(jīng)濟(jì)因素和概率理論在彼此結(jié)合的過(guò)程中形成了良好的互動(dòng)關(guān)系，一方面數(shù)學(xué)家們可以運(yùn)用已有的理論解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。另一方面，新問(wèn)題的出現(xiàn)也大大刺激了新理論的誕生。概率論的應(yīng)用為保險(xiǎn)業(yè)的合理化、規(guī)范化提供了保證，正是由于有了概率論作理論指導(dǎo)，保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展才能夠步入正軌。反過(guò)來(lái)，保險(xiǎn)業(yè)所出現(xiàn)的新的實(shí)際問(wèn)題，也在客觀上促進(jìn)了概率理論的進(jìn)一步完善。這樣，對(duì)于概率論的發(fā)展來(lái)說(shuō)，保險(xiǎn)業(yè)的需求便順理成章地成為了一個(gè)巨大的動(dòng)力。

五　總結(jié)

概率論的產(chǎn)生就像它的理論那樣是一種大量偶然因素結(jié)合作用下的必然結(jié)果。首先，賭博這種機(jī)遇游戲提供了一種良好的獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程，在進(jìn)行賭博的過(guò)程中，最原始的概率思想被激發(fā)出來(lái);其次，先進(jìn)的計(jì)數(shù)系統(tǒng)為概率思想的表達(dá)掃清了阻礙，也使得這些思想得以形式化并形成系統(tǒng)的理論。當(dāng)然在獲得概率思想的過(guò)程中，思維方式的轉(zhuǎn)變和研究方法的進(jìn)步才是最根本的關(guān)鍵性條件。如果沒(méi)有歸納法的使用，即使存在著良好的獨(dú)立隨機(jī)過(guò)程也不可能使人們認(rèn)識(shí)到大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中所隱藏著的規(guī)律性。此外，社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，需要借助數(shù)學(xué)工具解決許多類(lèi)似保險(xiǎn)金的計(jì)算這樣的實(shí)際問(wèn)題，而這些吸引了眾多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家們興趣的問(wèn)題對(duì)于概率論的形成是功不可沒(méi)的，它大大刺激了概率理論的發(fā)展，使概率論的理論體系得到了極大的完善。上述四個(gè)因素都是概率論產(chǎn)生的重要條件，但是它們彼此之間并沒(méi)有明顯的時(shí)間上的先后順序，最初它們的發(fā)展是各自獨(dú)立的，但是隨后這些條件逐漸結(jié)合在一起，使得原本零散的概率思想開(kāi)始系統(tǒng)化、條理化。從概率論的歷史來(lái)看，這幾種因素的結(jié)合點(diǎn)就是17 世紀(jì)末至18 世紀(jì)初，因此概率論在這個(gè)時(shí)間誕生是很自然的事。

了解概率論的產(chǎn)生條件對(duì)于我們理解概率論在當(dāng)今社會(huì)的重大意義有很好的幫助。今天，隨著概率理論的廣泛應(yīng)用，它已不僅僅是一種用于解決實(shí)際問(wèn)題的工具，而上升為具有重大認(rèn)識(shí)論意義的學(xué)科。概率論不僅改變了人們研究問(wèn)題的方法，更改變了人們看待世界的角度。這個(gè)世界不是絕對(duì)必然的，它充斥著大量的偶然性，所謂規(guī)律也只是在相當(dāng)?shù)某潭壬媳晃覀兯邮芎托湃蔚拿}而已。運(yùn)用概率，我們就可以避免由歸納法和決定論帶來(lái)的許多問(wèn)題和爭(zhēng)論?？茖W(xué)發(fā)現(xiàn)的確需要偶然性，現(xiàn)代科學(xué)向我們證明，概率理念和概率方法已經(jīng)成為進(jìn)行科學(xué)研究的一項(xiàng)重要手段。

【參　考　文　獻(xiàn)】

[1 ] Ian Hacking. An Introduction to Probability and Inductive Logic [M] . CambridgeUniversity Press ，2001. 23.

[2 ]陳希孺. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)小史[J ] . 數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，1998 ，17(2) : 61 - 62.

[3 ]張楚廷. 數(shù)學(xué)方法論[M] . 長(zhǎng)沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1989. 272 - 274.

[4 ] Ian Hacking. The Emergence of Probability[M] . Cambridge Uni-versity Press ，2001. 1.

[5 ]莫里斯·克萊因. 古今數(shù)學(xué)思想(第二冊(cè)) [M] . 上海:上海科學(xué)技術(shù)出版社，2002. 35.

[6 ]柳延延. 現(xiàn)代科學(xué)方法的兩個(gè)源頭[J ] . 自然科學(xué)史研究，1996 ，15(4) :310 - 311.

[7 ]Neil Schlager. Science and Its Times. Vol 4 :205 - 206 ，Vol 5 :205 - 208. Gale Group ， 2001.

概率論的基本原理范文第5篇

【關(guān)鍵詞】馬爾科夫預(yù)測(cè)法 初始狀態(tài)向量 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

一、引言

隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們的收入不斷提高，手中的閑散資金不斷增多，投資成為現(xiàn)代人保證閑散資金得到保值增值的重要手段，而投資股票又是眾多投資手段中最重要的一種手段。要想運(yùn)用股票來(lái)達(dá)到資產(chǎn)的保值增值，就需要對(duì)所要購(gòu)買(mǎi)的股票的價(jià)格趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，才能通過(guò)投資股票獲得收益。股票的價(jià)格波動(dòng)受到多種隨機(jī)因素的影響，股票價(jià)格變動(dòng)過(guò)程可以看作為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。對(duì)股票價(jià)格的精確預(yù)測(cè)從理論上來(lái)看是根本不可能的事情，因?yàn)楣善钡膬r(jià)格波動(dòng)受到多種因素的共同作用，沒(méi)有哪一種理論能夠考慮到任何所有可能的因素。但是在短期內(nèi)對(duì)股票價(jià)格做一個(gè)某種程度上的預(yù)測(cè)確實(shí)可以做到的。如果我們把股票價(jià)格波動(dòng)視為一種隨機(jī)過(guò)程，在眾多隨機(jī)過(guò)程中馬爾科夫過(guò)程是一種比較簡(jiǎn)單的隨機(jī)過(guò)程。本文將馬爾科夫預(yù)測(cè)法運(yùn)用到股票價(jià)格的短期預(yù)測(cè)中。并且通過(guò)驗(yàn)證可以發(fā)現(xiàn)馬爾科夫預(yù)測(cè)法在短期內(nèi)的預(yù)測(cè)效果在一定程度上是符合股票價(jià)格波動(dòng)的合理區(qū)間。

二、馬爾科夫預(yù)測(cè)法的基本原理

馬爾科夫預(yù)測(cè)法是以俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾科夫名字命名的一種數(shù)學(xué)方法，馬爾科夫預(yù)測(cè)法是應(yīng)用概率論中馬爾科夫鏈的理論和方法來(lái)研究隨機(jī)事件變化并借此分析預(yù)測(cè)對(duì)象所處狀態(tài)。它的核心思想是，如果把事件的整個(gè)隨機(jī)過(guò)程分成不同的狀態(tài)集，那么事件當(dāng)前所處的狀態(tài)是受上一個(gè)狀態(tài)影響的。也就是利用事件上一狀態(tài)來(lái)預(yù)測(cè)下一狀態(tài)。

所謂狀態(tài)就是指預(yù)測(cè)對(duì)象在某個(gè)時(shí)間出現(xiàn)的某種結(jié)果。在對(duì)股票價(jià)格趨勢(shì)預(yù)測(cè)中我們通常對(duì)股票所處的狀態(tài)有兩種劃分：一種是按照預(yù)測(cè)對(duì)象現(xiàn)階段本身所處狀態(tài)來(lái)進(jìn)行劃分。例如，對(duì)個(gè)股每日收盤(pán)價(jià)與前日的收盤(pán)價(jià)進(jìn)行比較，可劃分為三種狀態(tài)：上漲、持平、下跌；另一種是根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行人為地劃分，例如，可以將一段時(shí)期內(nèi)股票的價(jià)格劃分為若干區(qū)域，每一價(jià)格僅落入一個(gè)區(qū)域內(nèi)，則每一個(gè)區(qū)域可為一種狀態(tài)。本文運(yùn)用第二種方法，通過(guò)構(gòu)造馬爾科夫鏈來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

運(yùn)用馬爾科夫預(yù)測(cè)法進(jìn)行預(yù)測(cè)，主要是構(gòu)建馬爾科夫鏈，即找出初始狀態(tài)的概率向量和構(gòu)建狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來(lái)預(yù)測(cè)對(duì)象未來(lái)某一時(shí)間所處的狀態(tài)。假設(shè)條件：（1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移一步轉(zhuǎn)移，即都是相鄰兩個(gè)時(shí)期的狀態(tài)轉(zhuǎn)移。（2）測(cè)測(cè)期間狀態(tài)的個(gè)數(shù)保持不變。（3）無(wú)后效性，即狀態(tài)的轉(zhuǎn)移僅與它前一期的狀態(tài)和取值有關(guān)，而與前一期以前所處的狀態(tài)和取值無(wú)關(guān)。用Pij（k）表示預(yù)測(cè)對(duì)象由狀態(tài)Si經(jīng)過(guò)k次轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移至狀態(tài)sj的概率。k步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P（k）

三、多種狀態(tài)下的股價(jià)預(yù)測(cè)

以深證云南白藥2014年10月8日至2014年11月10日收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)資料為例：

四、結(jié)論

馬爾科夫預(yù)測(cè)法是對(duì)隨機(jī)過(guò)程所處狀態(tài)的一種預(yù)測(cè)方法，馬爾科夫預(yù)測(cè)法認(rèn)為事件當(dāng)前所處狀態(tài)是受上一狀態(tài)影響的。它通過(guò)構(gòu)造初始狀態(tài)向量和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來(lái)對(duì)事件當(dāng)前狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)。短期中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣不發(fā)生變化所以可以進(jìn)行預(yù)測(cè)。長(zhǎng)期來(lái)看轉(zhuǎn)移概率矩陣必定會(huì)發(fā)生變化，所以馬爾科夫預(yù)測(cè)法只適合于短期預(yù)測(cè)。如果要進(jìn)行長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，需要不斷的對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行不斷的修正，才能達(dá)到預(yù)測(cè)目的。在對(duì)股票價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，我們進(jìn)行的都是短期預(yù)測(cè)。并且在短期內(nèi)馬爾科夫預(yù)測(cè)法預(yù)測(cè)的結(jié)果在一定程度上還是可以令人滿(mǎn)意的。實(shí)際中，股票價(jià)格的變化受到了多種因素的影響，如基本面、政策面、宏觀面以及人們的心理因素等等。這時(shí)，我們?cè)谶\(yùn)用馬爾科夫預(yù)測(cè)法時(shí)需要同時(shí)考察其他影響因素來(lái)進(jìn)行綜合的分析。這時(shí)馬爾科夫預(yù)測(cè)法的預(yù)測(cè)結(jié)果也可以給我們提供一個(gè)很好的依據(jù)。

參考文獻(xiàn)

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