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一、引言

混沌思想最早可以追溯到龐克萊，他在關于常微分方程定性理論的研究中發(fā)現(xiàn)的同宿軌蘊含了混沌的萌芽。經(jīng)過幾十年的蓬勃發(fā)展，到了20世紀五六十年代，混沌現(xiàn)象在眾多學科領域被發(fā)現(xiàn)，成為非線性科學的主要研究內容之一。最早在文獻中使用混沌一詞的是李天巖和約克，1975年他們在對線段動力系統(tǒng)研究中證明了一個眾所周知的結果周期3蘊含混沌，正是這一結果給離散動力系統(tǒng)提供了一個混沌定義的藍本。1989年Devaney以初值敏感依賴為核心建立另一復雜系統(tǒng)的混沌定義。此外在物理和工程中被廣泛應用的Lyapunov指數(shù)，在分形幾何中的Hausdorff維數(shù)和盒維數(shù)等等。二十世紀八十年代美國學者Schinkman和LeBaron發(fā)現(xiàn)了股票日收益序列與周收益序列中存在混沌現(xiàn)象之后，在經(jīng)濟學領域上，非線性系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象引起眾多學者的關注。例如，1988年，陳平等從美國貨幣指數(shù)中發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟混沌的經(jīng)驗證據(jù)，建立描寫復雜經(jīng)濟波動的軟邊界振子模型。在1994年進一步找到將經(jīng)濟增長和波動分解，將噪聲和信號分解研究的有效方法，從而在各種代表性的美國宏觀經(jīng)濟指數(shù)中發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟混沌的普遍證據(jù)。1992年，JoneF.Gibson等通過對離散時間的差分方程研究建立所謂白混沌模型。

二、股市價格混沌考慮

如下非線性時滯系統(tǒng)其中是維歐氏空間上的連續(xù)映射，是的一個開子集。稱閉子集A為F閉的不變集，如果有；稱F閉的不變集A是系統(tǒng)(1)的吸引集，如果存在A的一個開領域V使得對所有有。在金融證券的復雜性研究中，向量是表示市場因素。我們能觀察到的是市場數(shù)量因素的數(shù)值信號戶決定的股價指數(shù)的一維時間序列模型：其中是連續(xù)可微的市場觀察函數(shù)。通過這個時間系列模型我們獲得一個股指輸出的時間序列系統(tǒng)，它是一個具有確定變量的動力系統(tǒng)。可以通過分析時間序列的多維延遲信息可以揭示市場的混沌動力學行為。利用已知的股指時間序列構造如下的一個維向量：這里是的次迭代式。Takens提出的嵌入定理證明，只要嵌入維數(shù)足夠大，即使延遲坐標的維數(shù)，D為吸引子的分數(shù)維，在該嵌入維空間里可把原系統(tǒng)中的吸引子再現(xiàn)，即在重構的空間中的存在與原動力系統(tǒng)吸引子拓撲共軛的閉子系統(tǒng)。混沌吸引子一個最重要的特征是維數(shù)，它是描述穩(wěn)態(tài)行為所需要的狀態(tài)變量數(shù)目的下界?；煦缥拥木S數(shù)是一個分數(shù)。我們可以利用GP算法估計重構動力系統(tǒng)(3)的吸引子的維數(shù)。

三、實證分析

1.數(shù)據(jù)樣本選取。上證綜指和深成指數(shù)是我國證券市場的兩個主要指數(shù)，代表了我國證券市場的整體變動情況，因此我們將以這兩個指數(shù)為樣本數(shù)據(jù)進行復雜性分析。選取1998年1月2日到2008年1月4日上證綜指與深成指數(shù)周收盤價的對數(shù)收益率為樣本，共計492個數(shù)據(jù)；以此數(shù)據(jù)作為模型的時間系列向量。

2.數(shù)據(jù)處理及分析。將周收盤價數(shù)據(jù)轉換成對數(shù)收益數(shù)據(jù)，計算公式為：，其中，為對數(shù)收益率，本周收盤價，為前周收盤價；通過G-P算法對樣本數(shù)進行反復測試，我們發(fā)現(xiàn)較為合適的時滯為8個交易周，取延遲時間，當嵌入維數(shù)k=2，3，…，8時，計算得到混吸引子的關聯(lián)維數(shù)d(k)如下表所示：為上證指數(shù)的吸引子關聯(lián)維數(shù)，為深圳成指的吸引子關聯(lián)維數(shù)。由表1可知，當嵌入維數(shù)時，滬深兩市的股指混沌吸引子關聯(lián)維數(shù)基本飽和，其值分別為和。由于分形維數(shù)代表了決定系統(tǒng)的混沌吸引子的自由度，滬深兩市股指收益率序列的分形維數(shù)在2和3之間，說明我國證券市場的混沌吸引子是存在的，股指波動較復雜，市場較活躍。李雅普諾夫指數(shù)是刻畫系統(tǒng)復雜性的另一指標，它體現(xiàn)混沌系統(tǒng)對初始條件敏感依賴程度。最大李雅普諾夫指數(shù)的數(shù)值是判斷系統(tǒng)混沌現(xiàn)象存在的直接依據(jù)。在關聯(lián)維數(shù)計算的基礎上，通過Wolf算法來求解李雅普諾夫指數(shù)。我們得出上證綜指這一時間序列的最大李雅普諾夫指數(shù)=0.532，深成指數(shù)的最大李雅普諾夫指數(shù)=0.476。由于滬深兩市最大李雅普諾夫指數(shù)都大于零，這也證實了我國證券市場的運行具有混沌特性。

四、總結

通過實證研究，可以看到我國股票市場確實存在混沌現(xiàn)象。這使我們認識到股價收益率的變化遵循某種確定性規(guī)律，其變動應該可以通過某種具有混沌性質的離散動力系統(tǒng)進行預測。股票價格的這種復雜的非線性動力學結構表明在人們對市場信息的消化吸收是非均衡的，獲取市場信息的方式與途徑是非對稱的，這些市場信息一般都是以非線性的方式呈現(xiàn)。因此這不一致的非線性因素都將反映在股票價格上，使其變化呈現(xiàn)出復雜的非線性動力學性態(tài)。股市指數(shù)的混沌分析是通過對樣本數(shù)據(jù)的分析，利用相空間重構技術而得出的。類似地我們可以采用對個股的股價進行混沌模型的構造，對股價進行預測。

總之，股市的混沌行為與自然界的其它混沌現(xiàn)象一樣是具有確定性的動力系統(tǒng)模型，通過該混沌動力系統(tǒng)模型的研究可以對其做有限時間的股價預報。雖然這種對初始條件極為敏感的系統(tǒng)不可能得到完美的預測值，然而在它的可預測能力丟失之前，特別當時間長度較短時，其預測性還是可以獲得的，而且比基于一般統(tǒng)計方法的預測能力更好。